Aller au contenu principal
MathExcellence
← Tous les cours
8

1ʳᵉ Bac · Sciences Maths · Chapitre 8

Calcul trigonométrique (2)

1 · Résumé du cours

1.1 Transformation de acos⁡x+bsin⁡xa\cos x+b\sin x

Théorème Pour (a,b)≠(0,0)(a,b)\neq(0,0), on peut écrire acos⁡x+bsin⁡x=Rcos⁡(x−φ),a\cos x+b\sin x=R\cos(x-\varphi), où R=a2+b2R=\sqrt{a^2+b^2}, et φ\varphi vérifie cos⁡φ=aR\cos\varphi=\dfrac aR et sin⁡φ=bR\sin\varphi=\dfrac bR.
Pourquoi cette forme est si utile Sous la forme Rcos⁡(x−φ)R\cos(x-\varphi), la fonction x↦acos⁡x+bsin⁡xx\mapsto a\cos x+b\sin x révèle tout : son maximum vaut RR, son minimum −R-R, et l'équation acos⁡x+bsin⁡x=ma\cos x+b\sin x=m se ramène à cos⁡(x−φ)=mR\cos(x-\varphi)=\frac mR. Elle n'a donc de solution que si ∣m∣≤R|m|\le R.
Exemple Pour cos⁡x+3 sin⁡x\cos x+\sqrt3\,\sin x : R=1+3=2R=\sqrt{1+3}=2, cos⁡φ=12\cos\varphi=\frac12 et sin⁡φ=32\sin\varphi=\frac{\sqrt3}2 donnent φ=π3\varphi=\frac\pi3. Donc cos⁡x+3 sin⁡x=2cos⁡(x−π3).\cos x+\sqrt3\,\sin x=2\cos\big(x-\tfrac\pi3\big).

1.2 Équations de référence

Propriété Pour k∈Zk\in\mathbb{Z} : cos⁡x=cos⁡α  ⟺  x=α+2kπ  ou  x=−α+2kπ,\cos x=\cos\alpha\iff x=\alpha+2k\pi\ \text{ ou }\ x=-\alpha+2k\pi, sin⁡x=sin⁡α  ⟺  x=α+2kπ  ou  x=π−α+2kπ,\sin x=\sin\alpha\iff x=\alpha+2k\pi\ \text{ ou }\ x=\pi-\alpha+2k\pi, tan⁡x=tan⁡α  ⟺  x=α+kπ.\tan x=\tan\alpha\iff x=\alpha+k\pi.
Méthode — résoudre une équation
1

Se ramener à une référence

cos⁡x=cos⁡α\cos x=\cos\alpha (ou sin⁡\sin, tan⁡\tan) par factorisation, linéarisation, ou forme Rcos⁡(x−φ)R\cos(x-\varphi).

2

Écrire toutes les solutions

Ne pas oublier le +2kπ+2k\pi (ou +kπ+k\pi).

3

Filtrer par l'intervalle

Sélectionner les kk qui placent une solution dans l'intervalle imposé.

1.3 Inéquations trigonométriques

Méthode — résoudre une inéquation Par exemple cos⁡x≥12\cos x\ge\dfrac12 sur [0,2π[[0,2\pi[ :
  • résoudre d'abord l'équation associée cos⁡x=12\cos x=\frac12 (ici x=π3x=\frac\pi3 et x=5π3x=\frac{5\pi}3) ;
  • lire le cercle (ou la courbe) pour repérer l'arc où la condition est vraie ;
  • conclure par un intervalle de solutions.
Sur [0,2π[[0,2\pi[ : cos⁡x≥12  ⟺  x∈[0,π3]∪[5π3,2π[\cos x\ge\frac12\iff x\in\big[0,\frac\pi3\big]\cup\big[\frac{5\pi}3,2\pi\big[.
Le cercle tranche l'inéquation Une inéquation trigonométrique ne se « calcule » pas : elle se lit. Après avoir marqué les points d'égalité sur le cercle, il suffit de repérer l'arc où cos⁡\cos (abscisse) ou sin⁡\sin (ordonnée) respecte l'inégalité.

2 · Exercices résolus

Équation

Exercice 1

Résoudre dans [0,2π[[0,2\pi[ l'équation 2cos⁡x−1=02\cos x-1=0.

Voir la correction

2cos⁡x−1=0  ⟺  cos⁡x=12=cos⁡π32\cos x-1=0\iff\cos x=\frac12=\cos\frac\pi3. D'où x=π3+2kπx=\frac\pi3+2k\pi ou x=−π3+2kπx=-\frac\pi3+2k\pi, k∈Zk\in\mathbb{Z}.

Dans [0,2π[[0,2\pi[ : x=π3x=\frac\pi3 et x=−π3+2π=5π3x=-\frac\pi3+2\pi=\frac{5\pi}3. Donc S={π3, 5π3}S=\left\{\frac\pi3,\ \frac{5\pi}3\right\}. ∎

Forme Rcos⁡R\cos

Exercice 2

Écrire cos⁡x+3 sin⁡x\cos x+\sqrt3\,\sin x sous la forme Rcos⁡(x−φ)R\cos(x-\varphi), puis résoudre cos⁡x+3 sin⁡x=1\cos x+\sqrt3\,\sin x=1 dans [0,2π[[0,2\pi[.

Voir la correction

On a cos⁡x+3 sin⁡x=2cos⁡(x−π3)\cos x+\sqrt3\,\sin x=2\cos\big(x-\frac\pi3\big). L'équation devient 2cos⁡(x−π3)=12\cos(x-\frac\pi3)=1, soit cos⁡(x−π3)=12=cos⁡π3\cos(x-\frac\pi3)=\frac12=\cos\frac\pi3 :

x−π3=π3+2kπx-\frac\pi3=\frac\pi3+2k\pi ou x−π3=−π3+2kπx-\frac\pi3=-\frac\pi3+2k\pi, d'où x=2π3+2kπx=\frac{2\pi}3+2k\pi ou x=2kπx=2k\pi.

Dans [0,2π[[0,2\pi[ : x∈{0, 2π3}x\in\left\{0,\ \frac{2\pi}3\right\}. ∎

Inéquation

Exercice 3

Résoudre dans [0,2π[[0,2\pi[ l'inéquation 2sin⁡x−1≥02\sin x-1\ge0.

Voir la correction

2sin⁡x−1≥0  ⟺  sin⁡x≥122\sin x-1\ge0\iff\sin x\ge\frac12. L'égalité sin⁡x=12\sin x=\frac12 donne x=π6x=\frac\pi6 et x=5π6x=\frac{5\pi}6. Le sinus (ordonnée) est ≥12\ge\frac12 sur l'arc situé entre ces deux angles :

x∈[π6, 5π6]x\in\left[\frac\pi6,\ \frac{5\pi}6\right]. ∎

L'essentiel du chapitre
  • acos⁡x+bsin⁡x=Rcos⁡(x−φ)a\cos x+b\sin x=R\cos(x-\varphi), R=a2+b2R=\sqrt{a^2+b^2} : donne max, min et résout acos⁡x+bsin⁡x=ma\cos x+b\sin x=m (solution si ∣m∣≤R|m|\le R).
  • Équations : se ramener à cos⁡x=cos⁡α\cos x=\cos\alpha (ou sin⁡\sin, tan⁡\tan), écrire toutes les solutions, puis filtrer par l'intervalle.
  • Inéquations : résoudre l'égalité, puis lire le cercle pour repérer l'arc solution.
Fiche de révisionL’essentiel du chapitre en une page — formules, méthodes et astucesVoir la ficheQCM interactifTeste-toi sur ce chapitre — 22 questions auto-corrigéesCommencer le QCM

© Math Excellence · mathexce.com