QCM — Équations et inéquations trigonométriques

Le corrigé complet de ce QCM, question par question — la bonne réponse est surlignée en vert, suivie d'une remarque. Pratique pour réviser ou vérifier après avoir répondu.

1. Question 1

   L'équation \(\cos x=\cos\alpha\) a pour solutions :

   • A\(x=\alpha+2k\pi,\ k\in\mathbb{Z}\)
   • ✓\(x=\pm\alpha+2k\pi,\ k\in\mathbb{Z}\)
   • C\(x=\alpha+k\pi,\ k\in\mathbb{Z}\)
   • D\(x=\pi-\alpha+2k\pi,\ k\in\mathbb{Z}\)

   Remarque

   \(\cos x=\cos\alpha\Leftrightarrow x=\alpha+2k\pi\) ou \(x=-\alpha+2k\pi\), soit \(x=\pm\alpha+2k\pi\).

2. Question 2

   L'équation \(\sin x=\sin\alpha\) a pour solutions :

   • A\(x=\pm\alpha+2k\pi\)
   • ✓\(x=\alpha+2k\pi\) ou \(x=\pi-\alpha+2k\pi\)
   • C\(x=\alpha+k\pi\)
   • D\(x=\alpha+2k\pi\) uniquement

   Remarque

   \(\sin x=\sin\alpha\Leftrightarrow x=\alpha+2k\pi\) ou \(x=\pi-\alpha+2k\pi\), \(k\in\mathbb{Z}\).

3. Question 3

   L'équation \(\tan x=\tan\alpha\) a pour solutions :

   • ✓\(x=\alpha+k\pi,\ k\in\mathbb{Z}\)
   • B\(x=\pm\alpha+2k\pi\)
   • C\(x=\alpha+2k\pi\)
   • D\(x=\pi-\alpha+k\pi\)

   Remarque

   \(\tan\) est \(\pi\)-périodique : \(\tan x=\tan\alpha\Leftrightarrow x=\alpha+k\pi\), \(k\in\mathbb{Z}\).

4. Question 4

   Les solutions de \(\cos x=0\) sont :

   • A\(x=k\pi\)
   • ✓\(x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi\)
   • C\(x=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi\)
   • D\(x=2k\pi\)

   Remarque

   \(\cos\) s'annule en \(\dfrac{\pi}{2}\) et \(-\dfrac{\pi}{2}\), espacés de \(\pi\) : \(x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi\).

5. Question 5

   Les solutions de \(\sin x=0\) sont :

   • ✓\(x=k\pi\)
   • B\(x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi\)
   • C\(x=2k\pi\)
   • D\(x=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi\)

   Remarque

   \(\sin\) s'annule en tous les multiples de \(\pi\) : \(x=k\pi,\ k\in\mathbb{Z}\).

6. Question 6

   Les solutions de \(\cos x=1\) sont :

   • A\(x=\pi+2k\pi\)
   • ✓\(x=2k\pi\)
   • C\(x=k\pi\)
   • D\(x=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi\)

   Remarque

   \(\cos x=1\) uniquement en \(x=0\ [2\pi]\), soit \(x=2k\pi\).

7. Question 7

   Les solutions de \(\sin x=1\) sont :

   • ✓\(x=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi\)
   • B\(x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi\)
   • C\(x=2k\pi\)
   • D\(x=\pi+2k\pi\)

   Remarque

   \(\sin\) atteint son maximum \(1\) en \(\dfrac{\pi}{2}\ [2\pi]\) : \(x=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi\).

8. Question 8

   Les solutions de \(\cos x=-1\) sont :

   • A\(x=2k\pi\)
   • ✓\(x=\pi+2k\pi\)
   • C\(x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi\)
   • D\(x=k\pi\)

   Remarque

   \(\cos x=-1\) en \(x=\pi\ [2\pi]\) : \(x=\pi+2k\pi\).

9. Question 9

   Dans l'intervalle \([0,2\pi[\), l'équation \(\cos x=\dfrac12\) admet :

   • A\(1\) solution
   • ✓\(2\) solutions
   • C\(3\) solutions
   • D\(4\) solutions

   Remarque

   \(x=\dfrac{\pi}{3}\) et \(x=-\dfrac{\pi}{3}\equiv\dfrac{5\pi}{3}\) : deux solutions dans \([0,2\pi[\).

10. Question 10

    Les solutions de \(\sin x=\dfrac{\sqrt3}{2}\) sont :

    • ✓\(x=\dfrac{\pi}{3}+2k\pi\) ou \(x=\dfrac{2\pi}{3}+2k\pi\)
    • B\(x=\pm\dfrac{\pi}{3}+2k\pi\)
    • C\(x=\dfrac{\pi}{6}+2k\pi\) ou \(x=\dfrac{5\pi}{6}+2k\pi\)
    • D\(x=\dfrac{\pi}{3}+k\pi\)

    Remarque

    \(\sin x=\sin\dfrac{\pi}{3}\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{3}+2k\pi\) ou \(x=\pi-\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{2\pi}{3}+2k\pi\).

11. Question 11

    Les solutions de \(\tan x=1\) sont :

    • A\(x=\dfrac{\pi}{4}+2k\pi\)
    • ✓\(x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi\)
    • C\(x=\pm\dfrac{\pi}{4}+2k\pi\)
    • D\(x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi\)

    Remarque

    \(\tan x=\tan\dfrac{\pi}{4}\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi\).

12. Question 12

    Résoudre \(2\cos x-1=0\) revient à résoudre :

    • A\(\cos x=2\)
    • ✓\(\cos x=\dfrac12\)
    • C\(\cos x=-\dfrac12\)
    • D\(\cos x=1\)

    Remarque

    \(2\cos x-1=0\Leftrightarrow\cos x=\dfrac12\), d'où \(x=\pm\dfrac{\pi}{3}+2k\pi\).

13. Question 13

    L'équation \(\cos x=a\) admet des solutions réelles si et seulement si :

    • A\(a\ge 0\)
    • ✓\(-1\le a\le 1\)
    • C\(a\le 1\)
    • D\(a\neq 0\)

    Remarque

    Comme \(\cos x\in[-1,1]\), l'équation n'a de solution que si \(a\in[-1,1]\).

14. Question 14

    Sur \([0,2\pi]\), l'inéquation \(\cos x\ge\dfrac12\) a pour ensemble de solutions :

    • A\(\left[\dfrac{\pi}{3},\dfrac{5\pi}{3}\right]\)
    • ✓\(\left[0,\dfrac{\pi}{3}\right]\cup\left[\dfrac{5\pi}{3},2\pi\right]\)
    • C\(\left[\dfrac{\pi}{3},\pi\right]\)
    • D\(\left[0,\dfrac{\pi}{6}\right]\)

    Remarque

    \(\cos x\ge\dfrac12\) au voisinage de \(0\) : \(x\in\left[0,\dfrac{\pi}{3}\right]\cup\left[\dfrac{5\pi}{3},2\pi\right]\).

15. Question 15

    Les solutions de \(\sin x=-\dfrac12\) sont :

    • ✓\(x=-\dfrac{\pi}{6}+2k\pi\) ou \(x=\dfrac{7\pi}{6}+2k\pi\)
    • B\(x=\pm\dfrac{\pi}{6}+2k\pi\)
    • C\(x=\dfrac{\pi}{6}+2k\pi\) ou \(x=\dfrac{5\pi}{6}+2k\pi\)
    • D\(x=-\dfrac{\pi}{6}+k\pi\)

    Remarque

    \(\sin x=\sin\!\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)\Leftrightarrow x=-\dfrac{\pi}{6}+2k\pi\) ou \(x=\pi-\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{7\pi}{6}+2k\pi\).

16. Question 16

    L'équation \(\cos x=\cos\dfrac{\pi}{5}\) a pour solutions :

    • A\(x=\dfrac{\pi}{5}+2k\pi\)
    • ✓\(x=\pm\dfrac{\pi}{5}+2k\pi\)
    • C\(x=\dfrac{\pi}{5}+k\pi\)
    • D\(x=\pi-\dfrac{\pi}{5}+2k\pi\)

    Remarque

    Formule des \(\cos\) égaux : \(x=\pm\dfrac{\pi}{5}+2k\pi\).

17. Question 17

    L'expression \(a\cos x+b\sin x\) prend ses valeurs dans :

    • A\([-1,1]\)
    • ✓\(\left[-\sqrt{a^2+b^2},\ \sqrt{a^2+b^2}\right]\)
    • C\([-(a+b),\ a+b]\)
    • D\(\mathbb{R}\)

    Remarque

    En écrivant \(a\cos x+b\sin x=\sqrt{a^2+b^2}\,\cos(x-\varphi)\), l'amplitude est \(\sqrt{a^2+b^2}\), d'où cet intervalle.

18. Question 18

    L'équation \(\cos x=2\) :

    • Aa pour solution \(x=0\)
    • ✓n'a aucune solution
    • Ca une infinité de solutions
    • Da pour solution \(x=2k\pi\)

    Remarque

    \(2\notin[-1,1]\) : aucune valeur de \(x\) ne convient, l'équation n'a pas de solution.

19. Question 19

    Les solutions de \(\sin x=\sin\dfrac{\pi}{7}\) sont :

    • ✓\(x=\dfrac{\pi}{7}+2k\pi\) ou \(x=\dfrac{6\pi}{7}+2k\pi\)
    • B\(x=\pm\dfrac{\pi}{7}+2k\pi\)
    • C\(x=\dfrac{\pi}{7}+k\pi\)
    • D\(x=\dfrac{\pi}{7}+2k\pi\) uniquement

    Remarque

    \(x=\dfrac{\pi}{7}+2k\pi\) ou \(x=\pi-\dfrac{\pi}{7}=\dfrac{6\pi}{7}+2k\pi\).

20. Question 20

    Les solutions de \(\tan x=\sqrt3\) sont :

    • ✓\(x=\dfrac{\pi}{3}+k\pi\)
    • B\(x=\dfrac{\pi}{6}+k\pi\)
    • C\(x=\pm\dfrac{\pi}{3}+2k\pi\)
    • D\(x=\dfrac{\pi}{3}+2k\pi\)

    Remarque

    \(\tan\dfrac{\pi}{3}=\sqrt3\), et \(\tan\) est \(\pi\)-périodique : \(x=\dfrac{\pi}{3}+k\pi\).

21. Question 21

    Dans l'intervalle \([0,2\pi]\), l'équation \(\sin x=0\) a exactement :

    • A\(1\) solution
    • B\(2\) solutions
    • ✓\(3\) solutions
    • D\(4\) solutions

    Remarque

    \(x=0\), \(x=\pi\) et \(x=2\pi\) : trois solutions dans l'intervalle fermé \([0,2\pi]\).

22. Question 22

    Les solutions de \(\cos(2x)=\dfrac12\) sont :

    • A\(x=\pm\dfrac{\pi}{3}+2k\pi\)
    • ✓\(x=\pm\dfrac{\pi}{6}+k\pi\)
    • C\(x=\pm\dfrac{\pi}{6}+2k\pi\)
    • D\(x=\dfrac{\pi}{6}+k\pi\)

    Remarque

    \(\cos 2x=\dfrac12\Leftrightarrow 2x=\pm\dfrac{\pi}{3}+2k\pi\Leftrightarrow x=\pm\dfrac{\pi}{6}+k\pi\).