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Ce second volet de trigonométrie apprend à résoudre équations et inéquations et à manier la forme R cos(x − φ). Cette fiche condense les équations de référence cos x = cos α, sin x = sin α, tan x = tan α, la transformation de a cos x + b sin x en R cos(x − φ) et la lecture des solutions sur le cercle. En 1ʳᵉ Bac Sciences Maths, la difficulté est d'écrire TOUTES les familles de solutions avant de filtrer par l'intervalle. Le piège classique : oublier le terme +2kπ ou l'une des deux familles de solutions.

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Fiche de révision · 1ʳᵉ Bac Sciences Maths

Calcul trigonométrique (2) — Équations, inéquations, forme Rcos⁡R\cos

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1 · Forme Rcos⁡R\cos & équations de référence
Transformation
acos⁡x+bsin⁡x=Rcos⁡(x−φ)a\cos x+b\sin x=R\cos(x-\varphi)
(a,b)≠(0,0)(a,b)\neq(0,0)
Amplitude
R=a2+b2R=\sqrt{a^2+b^2}
max =R=R, min =−R=-R
Phase φ\varphi
cos⁡φ=aR, sin⁡φ=bR\cos\varphi=\dfrac aR,\ \sin\varphi=\dfrac bR
détermine l'angle φ\varphi
cos⁡x=cos⁡α\cos x=\cos\alpha
x=±α+2kπx=\pm\alpha+2k\pi
k∈Zk\in\mathbb{Z}
sin⁡x=sin⁡α\sin x=\sin\alpha
x=α+2kπx=\alpha+2k\pi ou π−α+2kπ\pi-\alpha+2k\pi
k∈Zk\in\mathbb{Z}
tan⁡x=tan⁡α\tan x=\tan\alpha
x=α+kπx=\alpha+k\pi
k∈Zk\in\mathbb{Z}
2 · Résoudre une équation
① Se ramener à une référence
  • cos⁡x=cos⁡α\cos x=\cos\alpha (ou sin⁡\sin, tan⁡\tan)
  • par factorisation, linéarisation, ou forme Rcos⁡(x−φ)R\cos(x-\varphi)
② Écrire toutes les solutions
  • ne pas oublier le +2kπ+2k\pi (ou +kπ+k\pi)
Piège : oublier une des deux familles de solutions.
③ Filtrer par l'intervalle
  • choisir les kk qui placent xx dans l'intervalle imposé
Via la forme Rcos⁡R\cos
  • acos⁡x+bsin⁡x=m  ⟺  cos⁡(x−φ)=mRa\cos x+b\sin x=m\iff\cos(x-\varphi)=\dfrac mR
  • solution ssi ∣m∣≤R|m|\le R
3 · Formules & réflexes
acos⁡x+bsin⁡x=Rcos⁡(x−φ)a\cos x+b\sin x=R\cos(x-\varphi)
R=a2+b2R=\sqrt{a^2+b^2}
max =R=R, min =−R=-R
cos⁡x=cos⁡α  ⟺  x=±α+2kπ\cos x=\cos\alpha\iff x=\pm\alpha+2k\pi
sin⁡x=sin⁡α  ⟺  x=α\sin x=\sin\alpha\iff x=\alpha ou π−α [2π]\pi-\alpha\ [2\pi]
tan⁡x=tan⁡α  ⟺  x=α+kπ\tan x=\tan\alpha\iff x=\alpha+k\pi
solution ssi ∣m∣≤R|m|\le R
toujours ajouter +2kπ+2k\pi
4 · Inéquations & applications
Résoudre une inéquation
  • résoudre d'abord l'égalité associée
  • lire le cercle : repérer l'arc solution
  • conclure par un intervalle
cos⁡x≥12\cos x\ge\tfrac12 sur [0,2π[[0,2\pi[ : [0,π3]∪[5π3,2π[[0,\tfrac\pi3]\cup[\tfrac{5\pi}3,2\pi[
Le cercle tranche
  • cos⁡\cos = abscisse, sin⁡\sin = ordonnée
  • repérer l'arc où l'inégalité est vraie
Astuce : une inéquation trigo se lit, elle ne se calcule pas.
Étudier x↦acos⁡x+bsin⁡xx\mapsto a\cos x+b\sin x
  • l'écrire Rcos⁡(x−φ)R\cos(x-\varphi)
  • max RR, min −R-R, variations lisibles
Bien conclure
  • vérifier les bornes de l'intervalle (ouvert/fermé)
  • toujours préciser k∈Zk\in\mathbb{Z}
★ Astuces géniales
  • La forme Rcos⁡(x−φ)R\cos(x-\varphi) révèle tout : max, min, et résout acos⁡x+bsin⁡x=ma\cos x+b\sin x=m d'un coup.
  • Une équation : ramener à cos⁡x=cos⁡α\cos x=\cos\alpha, écrire toutes les solutions, puis filtrer.
  • Une inéquation : résoudre l'égalité, puis lire le cercle pour l'arc solution.
  • Toujours conserver le +2kπ+2k\pi tant que l'intervalle n'est pas imposé.
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