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La rotation est la première transformation du plan étudiée avec rigueur en Sciences Maths. Cette fiche réunit sa définition (centre, angle), son caractère d'isométrie, la conservation des distances, des angles orientés et du barycentre, ainsi que les images des figures usuelles. En 1ʳᵉ Bac SM, elle sert à démontrer des égalités de longueurs et des angles droits sans passer par les coordonnées. Le réflexe : une rotation conserve tout sauf la position — l'image d'un cercle est un cercle de même rayon.

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Fiche de révision · 1ʳᵉ Bac Sciences Maths

La rotation dans le plan — Isométrie, images de figures

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1 · Définition & cas particuliers
Rotation r(Ω,θ)r(\Omega,\theta)
ΩM′=ΩM\Omega M'=\Omega M
(ΩM→,ΩM′→)=θ [2π]\big(\overrightarrow{\Omega M},\overrightarrow{\Omega M'}\big)=\theta\ [2\pi]
Réciproque
r−1=r(Ω,−θ)r^{-1}=r(\Omega,-\theta)
même centre, angle opposé
Cas θ=0\theta=0
identité
rien ne bouge
Cas θ=π\theta=\pi
symétrie centrale
de centre Ω\Omega
Isométrie
M′N′=MNM'N'=MN
conserve les distances
Angles orientés
(A′B′→,A′C′→)=(AB→,AC→)\big(\overrightarrow{A'B'},\overrightarrow{A'C'}\big)=\big(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\big)
conservés [2π][2\pi]
2 · Propriétés (tout se conserve, sauf la position)
Isométrie
  • M′=r(M), N′=r(N)⇒M′N′=MNM'=r(M),\ N'=r(N)\Rightarrow M'N'=MN
  • conserve aussi aires, alignement, parallélisme
Angles orientés
  • conservés modulo 2π2\pi
  • la figure image est superposable
Rotation & vecteurs
  • ∥A′B′→∥=∥AB→∥\big\|\overrightarrow{A'B'}\big\|=\big\|\overrightarrow{AB}\big\|
  • (AB→,A′B′→)=θ\big(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{A'B'}\big)=\theta : vecteur « tourné » de θ\theta
Conserve le barycentre
  • G=bar{(A,α),(B,β)}⇒r(G)=bar{(A′,α),(B′,β)}G=\mathrm{bar}\{(A,\alpha),(B,\beta)\}\Rightarrow r(G)=\mathrm{bar}\{(A',\alpha),(B',\beta)\}
  • image du milieu = milieu des images
3 · Réflexes
ΩM′=ΩM\Omega M'=\Omega M et (ΩM→,ΩM′→)=θ\big(\overrightarrow{\Omega M},\overrightarrow{\Omega M'}\big)=\theta
réciproque : angle −θ-\theta
θ=π\theta=\pi : symétrie centrale
isométrie : M′N′=MNM'N'=MN
conserve les angles orientés
image du milieu = milieu de l'image
image d'un cercle : même rayon
conserve aires, alignement, parallélisme
4 · Images de figures — méthode
Image d'une droite
  • une droite, tournée de l'angle θ\theta
Image d'un segment
  • [A′B′][A'B'] de même longueur que [AB][AB]
Image d'un cercle
  • cercle de centre I′=r(I)I'=r(I), même rayon RR
Construire l'image
  • construire l'image des points-clés (extrémités, centre)
  • chacun tourne de θ\theta autour de Ω\Omega, à distance constante
Astuce : une rotation démontre longueurs et angles droits sans coordonnées.
★ Astuces géniales
  • Une rotation est une isométrie : longueurs, angles, milieux, aires — tout est conservé, seule la position change.
  • Angle θ=π\theta=\pi ⇒ symétrie centrale ; réciproque = même centre, angle −θ-\theta.
  • Pour construire une image, il suffit des points-clés : extrémités d'un segment, centre d'un cercle.
  • Outil de démonstration : prouver A′B′=ABA'B'=AB et l'angle (AB→,A′B′→)=θ(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{A'B'})=\theta sans calcul.
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