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1ʳᵉ Bac · Sciences Maths · Chapitre 9

La rotation dans le plan

1 · Résumé du cours

1.1 Définition

Définition Soit Ω\Omega un point et θ\theta un réel (angle orienté). La rotation rr de centre Ω\Omega et d'angle θ\theta associe à tout point MM le point M′=r(M)M'=r(M) défini par :
  • si M=ΩM=\Omega, alors M′=ΩM'=\Omega ;
  • sinon, ΩM′=ΩM\Omega M'=\Omega M et (ΩM→,ΩM′→)=θ [2π]\big(\overrightarrow{\Omega M},\overrightarrow{\Omega M'}\big)=\theta\ [2\pi].
Autrement dit M′M' est à la même distance de Ω\Omega que MM, et l'angle orienté (ΩM→,ΩM′→)\big(\overrightarrow{\Omega M},\overrightarrow{\Omega M'}\big) vaut θ\theta.
Rotation réciproque La réciproque de la rotation rr de centre Ω\Omega et d'angle θ\theta est la rotation r−1r^{-1} de même centre Ω\Omega et d'angle −θ-\theta : elle « défait » la rotation, r−1(M′)=Mr^{-1}(M')=M.
Deux cas particuliers θ=0\theta=0 (ou 2π2\pi) donne l'identité (rien ne bouge). θ=π\theta=\pi donne la symétrie centrale de centre Ω\Omega : M′M' est le symétrique de MM par rapport à Ω\Omega.

1.2 Propriétés

Conservation des distances (isométrie) Si M′=r(M)M'=r(M) et N′=r(N)N'=r(N), alors M′N′=MNM'N'=MN. Une rotation conserve les distances : c'est une isométrie.
Conservation des angles orientés Si A′,B′,C′A',B',C' sont les images de A,B,CA,B,C, alors (A′B′→,A′C′→)=(AB→,AC→) [2π].\big(\overrightarrow{A'B'},\overrightarrow{A'C'}\big)=\big(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\big)\ [2\pi].
Rotation et vecteurs Une rotation d'angle θ\theta transforme un vecteur AB→\overrightarrow{AB} en A′B′→\overrightarrow{A'B'} de même norme, « tourné » de l'angle θ\theta : ∥A′B′→∥=∥AB→∥,(AB→,A′B′→)=θ.\big\|\overrightarrow{A'B'}\big\|=\big\|\overrightarrow{AB}\big\|,\qquad \big(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{A'B'}\big)=\theta.
Conservation du barycentre L'image du barycentre est le barycentre des images (mêmes poids) : si G=bar{(A,α),(B,β)}G=\mathrm{bar}\{(A,\alpha),(B,\beta)\}, alors r(G)=bar{(A′,α),(B′,β)}r(G)=\mathrm{bar}\{(A',\alpha),(B',\beta)\}. En particulier, l'image du milieu de [AB][AB] est le milieu de [A′B′][A'B'].
« Isométrie » = tout se conserve, sauf la position Une rotation garde longueurs, angles, milieux, aires, parallélisme, alignement : la figure image est superposable à l'originale. Seule sa position change — c'est ce qui rend les rotations si utiles en démonstration.

1.3 Images de figures usuelles

Propriété Par une rotation rr de centre Ω\Omega, d'angle θ\theta :
  • l'image d'une droite est une droite (tournée de θ\theta) ;
  • l'image d'un segment [AB][AB] est le segment [A′B′][A'B'], de même longueur ;
  • l'image d'un cercle de centre II et de rayon RR est le cercle de centre I′=r(I)I'=r(I) et de même rayon RR.
Méthode — construire l'image d'une figure Il suffit de construire l'image des points-clés (extrémités d'un segment, centre d'un cercle) : chacun tourne de θ\theta autour de Ω\Omega à distance constante. On relie ensuite les images comme la figure de départ.

2 · Exercices résolus

Triangle équilatéral

Exercice 1

ABCABC est un triangle équilatéral direct de centre OO. Identifier l'image de AA par la rotation de centre OO et d'angle 2π3\frac{2\pi}3.

Voir la correction

Dans un triangle équilatéral direct, les sommets sont sur un cercle de centre OO, régulièrement espacés d'un angle 2π3\frac{2\pi}3. La rotation de centre OO et d'angle 2π3\frac{2\pi}3 envoie donc AA sur le sommet suivant dans le sens direct : r(A)=Br(A)=B. (De même r(B)=Cr(B)=C et r(C)=Ar(C)=A.) ∎

Angle droit

Exercice 2

Soit rr la rotation de centre Ω\Omega et d'angle π2\frac\pi2. On note A′=r(A)A'=r(A) et B′=r(B)B'=r(B). Montrer que A′B′=ABA'B'=AB et que (A′B′)⊥(AB)(A'B')\perp(AB).

Voir la correction

Longueur : une rotation est une isométrie, donc A′B′=ABA'B'=AB.

Angle : le vecteur AB→\overrightarrow{AB} est transformé en A′B′→\overrightarrow{A'B'} tourné de l'angle π2\frac\pi2 : (AB→,A′B′→)=π2\big(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{A'B'}\big)=\frac\pi2. Deux vecteurs faisant un angle droit sont orthogonaux, donc (A′B′)⊥(AB)(A'B')\perp(AB). ∎

Milieu

Exercice 3

rr est une rotation. A,B,CA,B,C ont pour images A′,B′,C′A',B',C', et II est le milieu de [BC][BC]. Que peut-on dire de r(I)r(I) ?

Voir la correction

Le milieu II est l'isobarycentre de BB et CC. Une rotation conserve le barycentre, donc r(I)r(I) est le milieu de [B′C′][B'C']. ∎

L'essentiel du chapitre
  • Rotation de centre Ω\Omega, angle θ\theta : ΩM′=ΩM\Omega M'=\Omega M et (ΩM→,ΩM′→)=θ\big(\overrightarrow{\Omega M},\overrightarrow{\Omega M'}\big)=\theta.
  • Réciproque : même centre, angle −θ-\theta. Cas particulier : θ=π\theta=\pi = symétrie centrale.
  • C'est une isométrie : conserve distances, angles orientés, milieux/barycentres, aires — la figure image est superposable.
  • Image d'un cercle : cercle de même rayon, de centre l'image du centre.
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