Aller au contenu principal
MathExcellence
← Tous les cours
10

1ʳᵉ Bac · Sciences Maths · Chapitre 10

Limite d'une fonction

1 · Résumé du cours

1.1 Limite en un point

Limite finie On dit que ff a pour limite le réel ℓ\ell quand xx tend vers x0x_0, noté lim⁡x→x0f(x)=ℓ\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=\ell, lorsque f(x)f(x) devient aussi proche que l'on veut de ℓ\ell dès que xx est suffisamment proche de x0x_0.
Limite infinie lim⁡x→x0f(x)=+∞\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty signifie que f(x)f(x) devient aussi grand que l'on veut lorsque xx s'approche de x0x_0. La droite x=x0x=x_0 est alors une asymptote verticale à Cf\mathcal C_f.
Limite à droite, à gauche lim⁡x→x0+f(x)\displaystyle\lim_{x\to x_0^+}f(x) (resp. x0−x_0^-) est la limite en ne considérant que les x>x0x>x_0 (resp. x<x0x<x_0). On a lim⁡x→x0f(x)=ℓ  ⟺  lim⁡x→x0+f(x)=lim⁡x→x0−f(x)=ℓ.\lim_{x\to x_0}f(x)=\ell\iff\lim_{x\to x_0^+}f(x)=\lim_{x\to x_0^-}f(x)=\ell.
Quand séparer gauche et droite ? Dès qu'un dénominateur s'annule ou qu'une fonction change de définition en x0x_0, la limite peut différer de part et d'autre. Pour 1x\frac1x en 00 : 10+=+∞\frac1{0^+}=+\infty mais 10−=−∞\frac1{0^-}=-\infty — la limite en 00 n'existe pas.

1.2 Limite à l'infini

Définition lim⁡x→+∞f(x)=ℓ\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=\ell signifie que f(x)f(x) se rapproche de ℓ\ell quand xx devient très grand ; la droite y=ℓy=\ell est alors une asymptote horizontale. Si lim⁡x→+∞f(x)=±∞\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=\pm\infty, ff « diverge » vers l'infini.
Limites de référence lim⁡x→+∞xn=+∞,lim⁡x→+∞1xn=0,lim⁡x→+∞x=+∞(n∈N∗).\lim_{x\to+\infty}x^n=+\infty,\qquad \lim_{x\to+\infty}\frac1{x^n}=0,\qquad \lim_{x\to+\infty}\sqrt x=+\infty\quad(n\in\mathbb{N}^*).

1.3 La définition formelle : le langage des « ε\varepsilon »

Les formulations « aussi proche que l'on veut », « aussi grand que l'on veut » sont intuitives. Le niveau Sciences Mathématiques exige de les rendre rigoureuses : on traduit « proche » par une distance mesurée à l'aide d'un réel ε>0\varepsilon>0 arbitrairement petit.

Limite finie en un point lim⁡x→x0f(x)=ℓ\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=\ell signifie : (∀ε>0) (∃α>0) (∀x∈Df)∣x−x0∣<α⟹∣f(x)−ℓ∣<ε.(\forall\varepsilon>0)\,(\exists\alpha>0)\,(\forall x\in D_f)\quad |x-x_0|<\alpha\Longrightarrow|f(x)-\ell|<\varepsilon. Pour toute marge ε\varepsilon fixée autour de ℓ\ell, on peut trouver un rayon α\alpha autour de x0x_0 tel que tous les f(x)f(x) correspondants tombent dans ] ℓ−ε, ℓ+ε []\,\ell-\varepsilon,\ \ell+\varepsilon\,[.
Limite finie à l'infini lim⁡x→+∞f(x)=ℓ:(∀ε>0) (∃A>0) (∀x∈Df)x>A⟹∣f(x)−ℓ∣<ε.\lim_{x\to+\infty}f(x)=\ell:\quad (\forall\varepsilon>0)\,(\exists A>0)\,(\forall x\in D_f)\quad x>A\Longrightarrow|f(x)-\ell|<\varepsilon. Le seuil AA dépend en général de ε\varepsilon : plus la marge exigée est fine, plus il faut aller loin sur l'axe.
Limite infinie On remplace la marge par un seuil B>0B>0 « aussi grand que l'on veut » : lim⁡x→x0f(x)=+∞: (∀B>0)(∃α>0)(∀x∈Df) ∣x−x0∣<α⇒f(x)>B,\lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty:\ (\forall B>0)(\exists\alpha>0)(\forall x\in D_f)\ |x-x_0|<\alpha\Rightarrow f(x)>B, lim⁡x→+∞f(x)=+∞: (∀B>0)(∃A>0)(∀x∈Df) x>A⇒f(x)>B.\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty:\ (\forall B>0)(\exists A>0)(\forall x\in D_f)\ x>A\Rightarrow f(x)>B.
Exemple — prouver une limite « à la main » Montrons, avec la définition, que lim⁡x→2(3x−1)=5\displaystyle\lim_{x\to2}(3x-1)=5. Soit ε>0\varepsilon>0. On cherche α>0\alpha>0 tel que ∣x−2∣<α⇒∣(3x−1)−5∣<ε|x-2|<\alpha\Rightarrow|(3x-1)-5|<\varepsilon. Or ∣(3x−1)−5∣=∣3x−6∣=3 ∣x−2∣|(3x-1)-5|=|3x-6|=3\,|x-2|. Il suffit de choisir α=ε3\alpha=\frac\varepsilon3 : alors ∣x−2∣<α⇒3∣x−2∣<3α=ε|x-2|<\alpha\Rightarrow3|x-2|<3\alpha=\varepsilon. ∎
Exemple — une limite à l'infini Montrons que lim⁡x→+∞1x=0\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac1x=0. Soit ε>0\varepsilon>0. Pour x>0x>0, ∣1x−0∣=1x<ε  ⟺  x>1ε\big|\frac1x-0\big|=\frac1x<\varepsilon\iff x>\frac1\varepsilon. Il suffit de poser A=1εA=\frac1\varepsilon : alors x>A⇒∣1x∣<εx>A\Rightarrow\big|\frac1x\big|<\varepsilon. ∎
Quand se sert-on de cette définition ? Pas pour calculer les limites courantes : pour cela on dispose des opérations et des limites de référence. La définition sert à justifier rigoureusement une limite et à démontrer les théorèmes du cours (opérations, gendarmes…) — la démarche propre aux Sciences Mathématiques.

1.4 Opérations sur les limites

Propriété Les limites d'une somme, d'un produit et d'un quotient se calculent en combinant les limites de chaque morceau (quand le résultat a un sens) : lim⁡(f+g)=lim⁡f+lim⁡g,lim⁡(f×g)=lim⁡f×lim⁡g,lim⁡fg=lim⁡flim⁡g (≠0).\lim(f+g)=\lim f+\lim g,\quad \lim(f\times g)=\lim f\times\lim g,\quad \lim\frac fg=\frac{\lim f}{\lim g}\ (\neq0).
Les quatre formes indéterminées Certaines combinaisons ne se concluent pas directement : ∞−∞,0×∞,∞∞,00.\infty-\infty,\qquad 0\times\infty,\qquad \frac\infty\infty,\qquad \frac00. Devant une F.I., il faut transformer l'expression : factoriser par le terme dominant, simplifier, ou multiplier par la quantité conjuguée.
Polynôme / fraction rationnelle à l'infini À l'infini, un polynôme a la même limite que son terme de plus haut degré ; une fraction rationnelle, la même limite que le quotient des termes de plus haut degré.
Exemple : lim⁡x→+∞2x2−x+3x2+5=lim⁡x→+∞2x2x2=2\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{2x^2-x+3}{x^2+5}=\lim_{x\to+\infty}\frac{2x^2}{x^2}=2.
Fonction composée Si lim⁡x→x0u(x)=a\displaystyle\lim_{x\to x_0}u(x)=a et lim⁡t→av(t)=ℓ\displaystyle\lim_{t\to a}v(t)=\ell, alors lim⁡x→x0(v∘u)(x)=lim⁡x→x0v(u(x))=ℓ\lim_{x\to x_0}(v\circ u)(x)=\lim_{x\to x_0}v\big(u(x)\big)=\ell (valable aussi si aa ou ℓ\ell vaut ±∞\pm\infty). C'est la règle du changement de variable t=u(x)t=u(x).
Exemple : lim⁡x→+∞3x2+1x2+x\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\sqrt{\frac{3x^2+1}{x^2+x}} : on pose t=3x2+1x2+x→3t=\frac{3x^2+1}{x^2+x}\to3, et t→3\sqrt t\to\sqrt3.

1.5 Limites de fonctions trigonométriques

Limites trigonométriques de référence lim⁡x→0sin⁡xx=1,lim⁡x→01−cos⁡xx2=12,lim⁡x→0tan⁡xx=1.\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1,\qquad \lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac12,\qquad \lim_{x\to0}\frac{\tan x}{x}=1.
Le réflexe sin⁡xx\frac{\sin x}{x} Ces limites lèvent la F.I. 00\frac00 des expressions trigonométriques en 00. On fait apparaître le motif sin⁡(□)□\frac{\sin(\square)}{\square} : par exemple sin⁡(3x)x=3⋅sin⁡(3x)3x→3\frac{\sin(3x)}{x}=3\cdot\frac{\sin(3x)}{3x}\to3.

1.6 Limites et ordre

Passage à la limite dans une inégalité Si f≤gf\le g au voisinage de x0x_0 et si les deux limites existent, alors lim⁡f≤lim⁡g\displaystyle\lim f\le\lim g.
Théorème des gendarmes Si g(x)≤f(x)≤h(x)g(x)\le f(x)\le h(x) au voisinage de x0x_0 et si lim⁡g=lim⁡h=ℓ\displaystyle\lim g=\lim h=\ell, alors lim⁡x→x0f(x)=ℓ\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=\ell.
Par comparaison Si f(x)≥g(x)f(x)\ge g(x) et lim⁡g=+∞\displaystyle\lim g=+\infty, alors lim⁡f=+∞\displaystyle\lim f=+\infty. (Symétriquement pour −∞-\infty.)

2 · Exercices résolus

Conjuguée

Exercice 1

Calculer lim⁡x→+∞(x2+x−x)\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\big(\sqrt{x^2+x}-x\big).

Voir la correction

F.I. ∞−∞\infty-\infty. On multiplie par la quantité conjuguée : x2+x−x=(x2+x)−x2x2+x+x=xx2+x+x.\sqrt{x^2+x}-x=\frac{(x^2+x)-x^2}{\sqrt{x^2+x}+x}=\frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}.

En factorisant x2+x=x1+1x\sqrt{x^2+x}=x\sqrt{1+\frac1x} (pour x>0x>0) : xx(1+1x+1)=11+1x+1 →x→+∞ 11+1=12.\frac{x}{x\big(\sqrt{1+\frac1x}+1\big)}=\frac1{\sqrt{1+\frac1x}+1}\ \xrightarrow[x\to+\infty]{}\ \frac1{1+1}=\frac12. ∎

Trigo

Exercice 2

Calculer lim⁡x→0sin⁡(5x)sin⁡(2x)\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin(5x)}{\sin(2x)}.

Voir la correction

On fait apparaître deux motifs sin⁡□□\frac{\sin\square}{\square} : sin⁡(5x)sin⁡(2x)=sin⁡(5x)5x⋅2xsin⁡(2x)⋅5x2x →x→0 1⋅1⋅52=52.\frac{\sin(5x)}{\sin(2x)}=\frac{\sin(5x)}{5x}\cdot\frac{2x}{\sin(2x)}\cdot\frac{5x}{2x}\ \xrightarrow[x\to0]{}\ 1\cdot1\cdot\frac52=\frac52. ∎

Gendarmes

Exercice 3

Montrer que lim⁡x→+∞cos⁡xx=0\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{\cos x}{x}=0.

Voir la correction

Pour tout x>0x>0, −1≤cos⁡x≤1-1\le\cos x\le1 donne −1x≤cos⁡xx≤1x-\frac1x\le\frac{\cos x}x\le\frac1x. Or lim⁡x→+∞(−1x)=lim⁡x→+∞1x=0\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\big(-\frac1x\big)=\lim_{x\to+\infty}\frac1x=0. Par le théorème des gendarmes, lim⁡x→+∞cos⁡xx=0\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{\cos x}x=0. ∎

L'essentiel du chapitre
  • Définition formelle (SM) : lim⁡x→x0f=ℓ\displaystyle\lim_{x\to x_0}f=\ell s'écrit (∀ε>0)(∃α>0) ∣x−x0∣<α⇒∣f(x)−ℓ∣<ε(\forall\varepsilon>0)(\exists\alpha>0)\ |x-x_0|<\alpha\Rightarrow|f(x)-\ell|<\varepsilon.
  • Limite en un point : distinguer gauche et droite si un dénominateur s'annule (asymptote verticale).
  • Limite à l'infini : polynôme ∼\sim terme dominant ; fraction rationnelle ∼\sim quotient des termes dominants.
  • Formes indéterminées ∞−∞, 0×∞, ∞∞, 00\infty-\infty,\ 0\times\infty,\ \frac\infty\infty,\ \frac00 : factoriser, simplifier, ou conjuguer.
  • Composée : poser t=u(x)t=u(x) et enchaîner les deux limites.
  • Trigo : sin⁡xx→1\frac{\sin x}{x}\to1, 1−cos⁡xx2→12\frac{1-\cos x}{x^2}\to\frac12.
  • Gendarmes : encadrer ff entre deux fonctions de même limite.
Fiche de révisionL’essentiel du chapitre en une page — formules, méthodes et astucesVoir la ficheQCM interactifTeste-toi sur ce chapitre — 22 questions auto-corrigéesCommencer le QCM

© Math Excellence · mathexce.com