1ʳᵉ Bac · Sciences Maths · Chapitre 10

QCM — Limites d'une fonction

Limites finies et infinies, limites usuelles, opérations sur les limites, formes indéterminées, limites de polynômes et de fonctions rationnelles, asymptotes et théorèmes de comparaison. Questions auto-corrigées avec correction détaillée.

QCM interactif

22 questions · résultats & correction à la fin · rien à installer

Question 1 / 22

\(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x}\) vaut :

0 / 22 répondue

Réviser : les 22 questions et leur corrigé

Le corrigé complet de ce QCM, question par question — la bonne réponse est surlignée en vert, suivie d'une remarque. Pratique pour réviser ou vérifier après avoir répondu.

Question 1
\(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x}\) vaut :
- A\(+\infty\)
- ✓\(0\)
- C\(1\)
- D\(-\infty\)
Remarque
Quand \(x\) devient très grand, \(\dfrac{1}{x}\) tend vers \(0\).
Question 2
\(\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}\dfrac{1}{x}\) vaut :
- A\(0\)
- ✓\(+\infty\)
- C\(-\infty\)
- D\(1\)
Remarque
Pour \(x>0\) proche de \(0\), \(\dfrac{1}{x}\) devient arbitrairement grand : \(\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}\dfrac{1}{x}=+\infty\).
Question 3
\(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x^2\) vaut :
- A\(0\)
- ✓\(+\infty\)
- C\(-\infty\)
- D\(1\)
Remarque
\(x^2\to+\infty\) lorsque \(x\to+\infty\) (et aussi lorsque \(x\to-\infty\)).
Question 4
En \(+\infty\), la limite d'une fonction polynôme est égale à la limite de :
- Ason terme constant
- ✓son terme de plus haut degré
- Cson terme de plus bas degré
- Dla somme de ses coefficients
Remarque
À l'infini, un polynôme se comporte comme son terme dominant (celui de plus haut degré).
Question 5
\(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\big(2x^2+3x-1\big)\) vaut :
- A\(-1\)
- B\(2\)
- ✓\(+\infty\)
- D\(4\)
Remarque
Terme dominant \(2x^2\to+\infty\), donc la limite est \(+\infty\).
Question 6
En \(+\infty\), la limite d'une fonction rationnelle est égale à la limite du :
- Aquotient des termes constants
- ✓quotient des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur
- Cproduit des termes dominants
- Dterme dominant du numérateur seulement
Remarque
À l'infini, on garde les termes dominants : \(\dfrac{a_nx^n+\dots}{b_px^p+\dots}\sim\dfrac{a_nx^n}{b_px^p}\).
Question 7
\(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{3x^2+1}{x^2-2}\) vaut :
- A\(0\)
- B\(1\)
- ✓\(3\)
- D\(+\infty\)
Remarque
Termes dominants : \(\dfrac{3x^2}{x^2}=3\). La limite est \(3\) (asymptote horizontale \(y=3\)).
Question 8
\(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\dfrac{1}{x}\) vaut :
- ✓\(0\)
- B\(+\infty\)
- C\(-\infty\)
- D\(-1\)
Remarque
\(\dfrac{1}{x}\to 0\) (par valeurs négatives) quand \(x\to-\infty\).
Question 9
\(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\sqrt{x}\) vaut :
- A\(0\)
- B\(1\)
- ✓\(+\infty\)
- Dn'existe pas
Remarque
\(\sqrt{x}\) croît indéfiniment : \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\sqrt{x}=+\infty\).
Question 10
Parmi ces écritures, laquelle n'est pas une forme indéterminée ?
- A\(\infty-\infty\)
- B\(\dfrac{0}{0}\)
- C\(0\times\infty\)
- ✓\(\dfrac{1}{0^{+}}\)
Remarque
\(\dfrac{1}{0^{+}}=+\infty\) (déterminé). Les vraies formes indéterminées sont \(\infty-\infty\), \(\dfrac00\), \(\dfrac{\infty}{\infty}\), \(0\times\infty\).
Question 11
\(\displaystyle\lim_{x\to 2}\dfrac{x^2-4}{x-2}\) vaut :
- A\(0\)
- B\(2\)
- ✓\(4\)
- Dn'existe pas
Remarque
Forme \(\dfrac00\) : on factorise \(\dfrac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2\to 4\).
Question 12
\(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\big(\sqrt{x^2+1}-x\big)\) vaut :
- A\(+\infty\)
- ✓\(0\)
- C\(1\)
- D\(\dfrac12\)
Remarque
Forme \(\infty-\infty\). On multiplie par le conjugué : \(\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}\to 0\).
Question 13
La courbe de \(f\) admet la droite \(y=L\) comme asymptote horizontale lorsque :
- A\(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=L\)
- ✓\(\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=L\)
- C\(\displaystyle\lim_{x\to L}f(x)=+\infty\)
- D\(f(L)=0\)
Remarque
Asymptote horizontale \(y=L\) : la limite en \(+\infty\) (ou \(-\infty\)) est le réel \(L\).
Question 14
La courbe de \(f\) admet la droite \(x=a\) comme asymptote verticale lorsque :
- ✓\(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\pm\infty\)
- B\(\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=a\)
- C\(f(a)=0\)
- D\(\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=+\infty\)
Remarque
Asymptote verticale \(x=a\) : la fonction tend vers \(\pm\infty\) quand \(x\) tend vers \(a\).
Question 15
\(\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}\) vaut :
- A\(0\)
- ✓\(1\)
- C\(+\infty\)
- D\(\dfrac12\)
Remarque
C'est une limite trigonométrique fondamentale : \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1\).
Question 16
Si, au voisinage de \(+\infty\), \(f(x)\ge g(x)\) et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}g(x)=+\infty\), alors :
- ✓\(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\)
- B\(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=0\)
- C\(f\) n'a pas de limite
- D\(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty\)
Remarque
Théorème de minoration : une fonction plus grande qu'une fonction tendant vers \(+\infty\) tend aussi vers \(+\infty\).
Question 17
Le théorème des gendarmes affirme : si \(g(x)\le f(x)\le h(x)\) et \(\lim g=\lim h=L\), alors :
- A\(\lim f=+\infty\)
- ✓\(\lim f=L\)
- C\(f\) n'a pas de limite
- D\(\lim f=\dfrac{L}{2}\)
Remarque
Encadrée par deux fonctions de même limite \(L\), \(f\) est « coincée » et tend aussi vers \(L\).
Question 18
\(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}5\) (fonction constante) vaut :
- A\(0\)
- ✓\(5\)
- C\(+\infty\)
- Dn'existe pas
Remarque
La limite d'une fonction constante est cette constante : ici \(5\).
Question 19
Si \(\lim f=3\) et \(\lim g=-2\) (limites finies en un même point), alors \(\lim(f\times g)\) vaut :
- A\(1\)
- ✓\(-6\)
- C\(-5\)
- Dforme indéterminée
Remarque
Le produit des limites finies est la limite du produit : \(3\times(-2)=-6\).
Question 20
\(\displaystyle\lim_{x\to 3^{-}}\dfrac{1}{x-3}\) vaut :
- A\(+\infty\)
- ✓\(-\infty\)
- C\(0\)
- D\(3\)
Remarque
Pour \(x<3\), \(x-3<0\) et tend vers \(0\) : \(\dfrac{1}{x-3}\to-\infty\).
Question 21
\(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{1-2x}{x+3}\) vaut :
- ✓\(-2\)
- B\(2\)
- C\(0\)
- D\(-\dfrac13\)
Remarque
Termes dominants : \(\dfrac{-2x}{x}=-2\), donc la limite est \(-2\).
Question 22
\(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{2x+1}{x^2+1}\) vaut :
- A\(2\)
- ✓\(0\)
- C\(+\infty\)
- D\(1\)
Remarque
Le degré du dénominateur (\(2\)) dépasse celui du numérateur (\(1\)) : le quotient \(\sim\dfrac{2x}{x^2}=\dfrac2x\to 0\).

Besoin de revoir la leçon avant de te tester ?

Revoir le cours « Limite d'une fonction »