1ʳᵉ Bac · Sciences Maths · Chapitre 11

Dérivation

1 · Résumé du cours

1.1 Nombre dérivé et tangente

Définition

f

est dérivable en

x_0

si le taux de variation admet une limite finie quand

x\to x_0

. Cette limite est le nombre dérivé

f'(x_0)

f'(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}.

Équation de la tangente Si

f

est dérivable en

x_0

, la courbe

\mathcal C_f

admet en ce point une tangente d'équation

y=f'(x_0)\,(x-x_0)+f(x_0).

Le nombre dérivé

f'(x_0)

est le coefficient directeur de cette tangente. Quand le second point se rapproche, la sécante pivote vers la tangente : sa pente tend vers

f'(x_0)

Approximation affine Au voisinage de

x_0

f(x)\approx f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)

: la tangente est la meilleure approximation de

f

par une fonction affine près de

x_0

1.1.1 Dérivabilité à gauche, à droite

Définition

f

est dérivable à droite (resp. à gauche) en

x_0

si le taux de variation admet une limite finie en

x_0^+

(resp.

x_0^-

) : ce sont

f'_d(x_0)

f'_g(x_0)

f

est dérivable en

x_0

si et seulement si

f'_d(x_0)=f'_g(x_0)

. Sinon, la courbe présente un point anguleux (demi-tangentes de pentes différentes).

1.2 Fonction dérivée

Définition Si

f

est dérivable en tout point d'un intervalle

I

, la fonction qui à

x

associe

f'(x)

est la fonction dérivée

f'

Dérivées des fonctions usuelles

\begin{array}{|c|c|c|}\hline f(x) & f'(x) & \text{sur}\\ \hline k\ (\text{const.}) & 0 & \mathbb{R}\\ \hline x^n\ (n\in\mathbb{N}^*) & n\,x^{n-1} & \mathbb{R}\\ \hline \tfrac1x & -\tfrac1{x^2} & \mathbb{R}^*\\ \hline \sqrt x & \tfrac1{2\sqrt x} & ]0,+\infty[\\ \hline \cos x & -\sin x & \mathbb{R}\\ \hline \sin x & \cos x & \mathbb{R}\\ \hline \tan x & 1+\tan^2x=\tfrac1{\cos^2x} & \cos x\neq0\\ \hline\end{array}

Opérations sur les dérivées

(u+v)'=u'+v',\qquad (k\,u)'=k\,u',\qquad (u\,v)'=u'v+uv',

\Big(\frac1v\Big)'=-\frac{v'}{v^2},\qquad \Big(\frac uv\Big)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}.

Dérivée d'une fonction composée Si

u

est dérivable et

v

dérivable là où il faut :

(v\circ u)'=u'\times(v'\circ u)

. En particulier :

(u^n)'=n\,u'\,u^{n-1},\quad (\sqrt u)'=\frac{u'}{2\sqrt u},\quad (\cos u)'=-u'\sin u,\quad (\sin u)'=u'\cos u.

Dérivées successives La dérivée de

f'

est la dérivée seconde

f''

; en itérant, on obtient

f''',\dots,f^{(n)}

. La dérivée seconde décrit la concavité (chapitre suivant).

1.3 Applications de la dérivation

Monotonie et signe de la dérivée Soit

f

dérivable sur un intervalle

I

$f'\ge0$ sur $I$ $\iff$ $f$ est croissante sur $I$ ;
$f'\le0$ sur $I$ $\iff$ $f$ est décroissante sur $I$ ;
$f'=0$ sur $I$ $\iff$ $f$ est constante sur $I$ .

Le signe de

f'

pilote tout Étudier une fonction, c'est d'abord étudier le signe de $f'$ . On dresse alors le tableau de variations : là où

f'>0

, flèche montante ; là où

f'<0

, flèche descendante. C'est la méthode reine — celle qu'on n'avait pas au chapitre « Généralités », faute de dérivée.

Extremum Si

f'

s'annule en changeant de signe en

x_0

(intérieur à

I

), alors

f

admet un extremum local en

x_0

: un maximum si

f'

passe de

+

-

, un minimum si

f'

passe de

-

+

. En un extremum, la tangente est horizontale :

f'(x_0)=0

1.4 Dérivabilité et continuité

Dérivable ⟹ continue Si

f

est dérivable en

x_0

, alors

f

est continue en

x_0

.
Preuve : pour

x\neq x_0

f(x)-f(x_0)=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\times(x-x_0)\to f'(x_0)\times0=0

, donc

\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)

. ∎

La réciproque est fausse Continue n'entraîne pas dérivable. Contre-exemple :

f(x)=|x|

est continue en

0

, mais

\frac{|x|}{x}=1

x>0

-1

x<0

, donc

f'_d(0)=1\neq f'_g(0)=-1

: non dérivable en

0

(point anguleux).
Retenir : dérivable

\Rightarrow

continue, et la contraposée — non continue

\Rightarrow

non dérivable — sert souvent à conclure sans calcul.

1.4.1 Tangente verticale

Définition Si

f

est continue en

x_0

et si

\displaystyle\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=+\infty

(ou

-\infty

), alors

f

n'est pas dérivable en

x_0

, mais

\mathcal C_f

admet en ce point une tangente verticale d'équation

x=x_0

.
Exemple :

f(x)=\sqrt x

0

\frac{\sqrt x}{x}=\frac1{\sqrt x}\xrightarrow[x\to0^+]{}+\infty

— demi-tangente verticale dirigée vers le haut.

2 · Exercices résolus

Quotient & tangente

Exercice 1

Calculer la dérivée de $f(x)=\dfrac{2x-1}{x^2+1}$ , puis l'équation de la tangente à $\mathcal C_f$ au point d'abscisse $0$ .

Voir la correction

Avec $u=2x-1\ (u'=2)$ et $v=x^2+1\ (v'=2x)$ : $f'(x)=\frac{u'v-uv'}{v^2}=\frac{2(x^2+1)-(2x-1)(2x)}{(x^2+1)^2}=\frac{-2x^2+2x+2}{(x^2+1)^2}.$

En $x_0=0$ : $f(0)=-1$ et $f'(0)=\frac21=2$ . La tangente est $y=2x-1$ . ∎

Variations

Exercice 2

Étudier les variations de $f(x)=x^3-3x$ sur $\mathbb{R}$ .

Voir la correction

$f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$ . Le trinôme est positif à l'extérieur des racines $-1$ et $1$ :

$f'>0$ sur $]-\infty,-1[$ et $]1,+\infty[$ : $f$ croissante ;
$f'<0$ sur $]-1,1[$ : $f$ décroissante.

$f$ admet un maximum local en $x=-1$ ( $f(-1)=2$ ) et un minimum local en $x=1$ ( $f(1)=-2$ ). ∎

Oscillateur

Exercice 3

Résoudre $y''+4y=0$ avec les conditions $y(0)=1$ et $y'(0)=2$ .

Voir la correction

Ici $\omega^2=4$ , donc $\omega=2$ et $y(x)=A\cos(2x)+B\sin(2x)$ . Alors $y'(x)=-2A\sin(2x)+2B\cos(2x)$ . Les conditions donnent $y(0)=A=1$ et $y'(0)=2B=2\Rightarrow B=1$ .

D'où $y(x)=\cos(2x)+\sin(2x)$ . ∎

L'essentiel du chapitre

Nombre dérivé = limite du taux de variation = pente de la tangente $y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$ .
Dérivable en $x_0$ $\iff$ $f'_g(x_0)=f'_d(x_0)$ (sinon point anguleux).
Maîtriser le tableau des dérivées usuelles + opérations + composée ( $(u^n)'=nu'u^{n-1}$ , $(\sqrt u)'=\frac{u'}{2\sqrt u}$ …).
Signe de $f'$ $\Rightarrow$ variations ; $f'$ change de signe $\Rightarrow$ extremum.
$y''+\omega^2y=0\Rightarrow y=A\cos(\omega x)+B\sin(\omega x)$ (oscillateur).

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