1ʳᵉ Bac · Sciences Maths · Chapitre 11

QCM — Dérivation

Nombre dérivé, tangente, dérivées usuelles, opérations sur les dérivées, dérivée d'une fonction composée, lien avec le sens de variation et les extremums. Questions auto-corrigées avec correction détaillée.

QCM interactif

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Question 1 / 22

Le nombre dérivé de \(f\) en \(a\) est défini par :

0 / 22 répondue

Réviser : les 22 questions et leur corrigé

Le corrigé complet de ce QCM, question par question — la bonne réponse est surlignée en vert, suivie d'une remarque. Pratique pour réviser ou vérifier après avoir répondu.

Question 1
Le nombre dérivé de \(f\) en \(a\) est défini par :
- ✓\(\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\)
- B\(\displaystyle\lim_{h\to 0}\big(f(a+h)-f(a)\big)\)
- C\(\dfrac{f(a)}{a}\)
- D\(f(a)\times a\)
Remarque
\(f'(a)=\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\), limite du taux d'accroissement.
Question 2
L'équation de la tangente à la courbe de \(f\) au point d'abscisse \(a\) est :
- A\(y=f'(a)\,x+f(a)\)
- ✓\(y=f'(a)(x-a)+f(a)\)
- C\(y=f(a)(x-a)+f'(a)\)
- D\(y=f'(a)(x-a)\)
Remarque
La tangente en \(a\) a pour équation \(y=f'(a)(x-a)+f(a)\) (pente \(f'(a)\), passe par \((a,f(a))\)).
Question 3
La dérivée de \(x\mapsto x^{n}\) (\(n\in\mathbb{N}^*\)) est :
- ✓\(n\,x^{n-1}\)
- B\(x^{n-1}\)
- C\(n\,x^{n+1}\)
- D\((n-1)x^{n}\)
Remarque
\((x^{n})'=n\,x^{n-1}\).
Question 4
La dérivée de \(x\mapsto\sqrt{x}\) (pour \(x>0\)) est :
- A\(\dfrac{1}{\sqrt x}\)
- ✓\(\dfrac{1}{2\sqrt x}\)
- C\(2\sqrt x\)
- D\(\dfrac{1}{2}\sqrt x\)
Remarque
\((\sqrt x)'=\dfrac{1}{2\sqrt x}\).
Question 5
La dérivée de \(x\mapsto\dfrac{1}{x}\) (pour \(x\neq 0\)) est :
- A\(\dfrac{1}{x^2}\)
- ✓\(-\dfrac{1}{x^2}\)
- C\(-\dfrac{1}{x}\)
- D\(\ln x\)
Remarque
\(\left(\dfrac1x\right)'=-\dfrac{1}{x^2}\).
Question 6
La dérivée d'un produit \((uv)'\) est égale à :
- A\(u'v'\)
- ✓\(u'v+uv'\)
- C\(u'v-uv'\)
- D\(u'v'+uv\)
Remarque
\((uv)'=u'v+uv'\).
Question 7
La dérivée d'un quotient \(\left(\dfrac{u}{v}\right)'\) est égale à :
- A\(\dfrac{u'v+uv'}{v^2}\)
- ✓\(\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\)
- C\(\dfrac{u'}{v'}\)
- D\(\dfrac{u'v-uv'}{v}\)
Remarque
\(\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\) (attention à l'ordre au numérateur et au carré au dénominateur).
Question 8
La dérivée de \(x\mapsto\sin x\) est :
- ✓\(\cos x\)
- B\(-\cos x\)
- C\(-\sin x\)
- D\(\sin x\)
Remarque
\((\sin x)'=\cos x\).
Question 9
La dérivée de \(x\mapsto\cos x\) est :
- A\(\sin x\)
- ✓\(-\sin x\)
- C\(\cos x\)
- D\(-\cos x\)
Remarque
\((\cos x)'=-\sin x\).
Question 10
La dérivée d'une fonction composée \((g\circ f)'(x)\) est :
- A\(g'(x)\,f'(x)\)
- ✓\(g'\big(f(x)\big)\times f'(x)\)
- C\(g'\big(f(x)\big)\)
- D\(g\big(f'(x)\big)\)
Remarque
Règle de la chaîne : \((g\circ f)'(x)=g'\big(f(x)\big)\times f'(x)\).
Question 11
La dérivée d'une fonction constante est :
- Ala constante elle-même
- ✓\(0\)
- C\(1\)
- D\(x\)
Remarque
Une fonction constante ne varie pas : sa dérivée est nulle.
Question 12
Si \(f'(x)>0\) sur un intervalle \(I\), alors \(f\) est sur \(I\) :
- Adécroissante
- ✓strictement croissante
- Cconstante
- Dnon monotone
Remarque
Une dérivée strictement positive sur \(I\) entraîne que \(f\) est strictement croissante sur \(I\).
Question 13
Si \(f'\) s'annule en \(x_0\) en changeant de signe, alors \(f\) présente en \(x_0\) :
- Aune asymptote
- ✓un extremum local
- Cun point d'inflexion obligatoire
- Dune discontinuité
Remarque
Changement de signe de \(f'\) \(\Rightarrow\) changement de sens de variation \(\Rightarrow\) extremum local (maximum ou minimum) en \(x_0\).
Question 14
La dérivée de \(f(x)=3x^2+2x-1\) est :
- ✓\(6x+2\)
- B\(3x+2\)
- C\(6x-1\)
- D\(6x^2+2\)
Remarque
\(f'(x)=3\times 2x+2=6x+2\).
Question 15
La dérivée de \(f(x)=(2x+1)^3\) est :
- A\(3(2x+1)^2\)
- ✓\(6(2x+1)^2\)
- C\((2x+1)^2\)
- D\(6(2x+1)\)
Remarque
Composée : \(f'(x)=3(2x+1)^2\times(2x+1)'=3(2x+1)^2\times 2=6(2x+1)^2\).
Question 16
La tangente à la courbe de \(f\) au point d'abscisse \(a\) est horizontale si et seulement si :
- A\(f(a)=0\)
- ✓\(f'(a)=0\)
- C\(f'(a)=1\)
- D\(f(a)=f'(a)\)
Remarque
Une tangente horizontale a une pente nulle : \(f'(a)=0\).
Question 17
Si \(f\) est dérivable en \(a\), alors :
- ✓\(f\) est continue en \(a\)
- B\(f\) est croissante en \(a\)
- C\(f(a)=0\)
- D\(f\) n'est pas continue en \(a\)
Remarque
La dérivabilité en \(a\) implique la continuité en \(a\) (la réciproque est fausse : \(x\mapsto|x|\) est continue mais non dérivable en \(0\)).
Question 18
La dérivée de \(f(x)=x^3\) est :
- ✓\(3x^2\)
- B\(x^2\)
- C\(3x\)
- D\(2x^3\)
Remarque
\((x^3)'=3x^2\).
Question 19
La dérivée de \(x\mapsto\tan x\) (là où elle est définie) est :
- ✓\(1+\tan^2 x\)
- B\(1-\tan^2 x\)
- C\(\dfrac{1}{\sin^2 x}\)
- D\(-\dfrac{1}{\cos^2 x}\)
Remarque
\((\tan x)'=1+\tan^2 x=\dfrac{1}{\cos^2 x}\).
Question 20
La dérivée de \(x\mapsto\sin(2x)\) est :
- A\(\cos(2x)\)
- ✓\(2\cos(2x)\)
- C\(-2\cos(2x)\)
- D\(2\cos x\)
Remarque
Composée : \((\sin(2x))'=\cos(2x)\times(2x)'=2\cos(2x)\).
Question 21
Le nombre dérivé \(f'(a)\) s'interprète graphiquement comme :
- Al'ordonnée du point \((a,f(a))\)
- ✓le coefficient directeur (pente) de la tangente en \(a\)
- Cl'aire sous la courbe
- Dla longueur de la tangente
Remarque
\(f'(a)\) est la pente de la tangente à la courbe au point d'abscisse \(a\).
Question 22
Le nombre dérivé de \(f(x)=x^2\) en \(a=3\) vaut :
- A\(3\)
- ✓\(6\)
- C\(9\)
- D\(2\)
Remarque
\(f'(x)=2x\), donc \(f'(3)=2\times 3=6\).

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