1ʳᵉ Bac · Sciences Maths · Chapitre 12

Étude des fonctions

1 · Résumé du cours

1.1 Branches infinies

1.1.1 Asymptotes verticale et horizontale

Définition

Si $\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\pm\infty$ , la droite $x=a$ est une asymptote verticale à $\mathcal C_f$ ;
si $\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\ell$ (réel), la droite $y=\ell$ est une asymptote horizontale.

1.1.2 Asymptote oblique

Définition La droite

y=ax+b

(avec

a\neq0

) est une asymptote oblique à

\mathcal C_f

+\infty

(ou

-\infty

) si

\lim_{x\to+\infty}\big[f(x)-(ax+b)\big]=0.

Méthode — trouver une asymptote oblique

calculer $a=\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}$ ; si $a$ est réel non nul, continuer ;
calculer $b=\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\big[f(x)-ax\big]$ ;
si $b$ est fini, $y=ax+b$ est asymptote oblique.

1.1.3 Branches paraboliques

Définition Quand

\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=\pm\infty

, on précise la direction de la branche :

si $\displaystyle\lim\frac{f(x)}{x}=\pm\infty$ : branche parabolique de direction l'axe $(Oy)$ ;
si $\displaystyle\lim\frac{f(x)}{x}=a$ (fini) mais $\lim[f(x)-ax]=\pm\infty$ : branche parabolique de direction la droite $y=ax$ .

Une branche parabolique : la courbe part à l'infini sans se rapprocher d'aucune droite.

1.2 Concavité et points d'inflexion

Définition Sur un intervalle

I

\mathcal C_f

est :

convexe si elle est au-dessus de ses tangentes ;
concave si elle est au-dessous de ses tangentes.

Concavité et dérivée seconde Soit

f

deux fois dérivable sur

I

f''\ge0\text{ sur }I\iff\mathcal C_f\text{ convexe},\qquad f''\le0\text{ sur }I\iff\mathcal C_f\text{ concave}.

Point d'inflexion Un point d'inflexion est un point où

\mathcal C_f

change de concavité. Il correspond à un changement de signe de

f''

(en particulier,

f''

y s'annule). En un point d'inflexion, la courbe traverse sa tangente.

Ne pas confondre extremum et inflexion Un extremum annule

f'

(tangente horizontale) ; un point d'inflexion annule

f''

(changement de courbure). Ce sont deux phénomènes indépendants : la tangente en un point d'inflexion n'est pas forcément horizontale.

1.3 Éléments de symétrie

Axe de symétrie La droite d'équation

x=a

est un axe de symétrie de

\mathcal C_f

si et seulement si, pour tout

x

tel que

2a-x\in D_f

f(2a-x)=f(x).

Cas particulier :

a=0

redonne une fonction paire.

Centre de symétrie Le point

\Omega(a,b)

est un centre de symétrie de

\mathcal C_f

si et seulement si, pour tout

x

tel que

2a-x\in D_f

f(2a-x)+f(x)=2b.

Cas particulier :

\Omega=O

redonne une fonction impaire.

À quoi servent les symétries Un axe ou un centre de symétrie divise le travail par deux : on étudie

f

sur la moitié de son domaine, puis on complète la courbe par symétrie. On les repère souvent avant de tracer, en testant

f(2a-x)

2 · Exercices résolus

Asymptote & symétrie

Exercice 1

Soit $f(x)=\dfrac{x^2+1}{x}$ . Montrer que la droite $y=x$ est asymptote oblique à $\mathcal C_f$ en $+\infty$ , et que $O$ est centre de symétrie.

Voir la correction

On écrit $f(x)=x+\frac1x$ . Alors $f(x)-x=\frac1x\xrightarrow[x\to+\infty]{}0$ , donc $y=x$ est asymptote oblique.

Pour $a=0,\ b=0$ : $f(-x)+f(x)=\big(-x-\frac1x\big)+\big(x+\frac1x\big)=0=2b$ , donc $O$ est centre de symétrie ( $f$ est impaire). ∎

Concavité

Exercice 2

Étudier la concavité de $f(x)=x^3-3x^2$ et déterminer son point d'inflexion.

Voir la correction

$f'(x)=3x^2-6x$ , puis $f''(x)=6x-6=6(x-1)$ .

$f''<0$ sur $]-\infty,1[$ : $\mathcal C_f$ concave ;
$f''>0$ sur $]1,+\infty[$ : $\mathcal C_f$ convexe.

$f''$ change de signe en $x=1$ : le point $(1,f(1))=(1,-2)$ est un point d'inflexion. ∎

L'essentiel du chapitre

Asymptotes : verticale ( $\lim=\pm\infty$ en $a$ ), horizontale ( $\lim=\ell$ à l'infini), oblique ( $f(x)-(ax+b)\to0$ ).
Branches paraboliques : $\frac{f(x)}x\to\pm\infty$ (dir. $Oy$ ) ou $\to a$ avec $f-ax\to\pm\infty$ (dir. $y=ax$ ).
Concavité : signe de $f''$ ; inflexion = $f''$ change de signe (la courbe traverse sa tangente).
Symétries : axe $x=a$ si $f(2a-x)=f(x)$ ; centre $(a,b)$ si $f(2a-x)+f(x)=2b$ .

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