QCM — Étude de fonctions

Le corrigé complet de ce QCM, question par question — la bonne réponse est surlignée en vert, suivie d'une remarque. Pratique pour réviser ou vérifier après avoir répondu.

1. Question 1

   L'étude d'une fonction commence généralement par la détermination :

   • Ade la dérivée
   • ✓du domaine de définition
   • Cdes asymptotes
   • Ddes extremums

   Remarque

   On commence toujours par déterminer le domaine \(D_f\), qui conditionne tout le reste de l'étude.

2. Question 2

   Pour une asymptote oblique \(y=ax+b\) en \(+\infty\), le coefficient \(a\) se calcule par :

   • A\(a=\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)\)
   • ✓\(a=\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}\)
   • C\(a=\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\big(f(x)-x\big)\)
   • D\(a=f'(0)\)

   Remarque

   On calcule d'abord \(a=\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}\) (fini non nul), puis \(b=\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\big(f(x)-ax\big)\).

3. Question 3

   Une fois \(a\) trouvé, l'ordonnée à l'origine \(b\) de l'asymptote oblique est :

   • A\(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}\)
   • ✓\(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\big(f(x)-ax\big)\)
   • C\(f(a)\)
   • D\(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)\)

   Remarque

   \(b=\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\big(f(x)-ax\big)\) : la droite \(y=ax+b\) est alors asymptote oblique.

4. Question 4

   La position de la courbe par rapport à l'asymptote \(y=ax+b\) s'étudie par le signe de :

   • A\(f(x)\)
   • ✓\(f(x)-(ax+b)\)
   • C\(f'(x)\)
   • D\(ax+b\)

   Remarque

   Le signe de \(d(x)=f(x)-(ax+b)\) indique si la courbe est au-dessus (\(d>0\)) ou en dessous (\(d<0\)) de l'asymptote.

5. Question 5

   Les abscisses des points d'intersection de la courbe avec l'axe des abscisses sont les solutions de :

   • A\(f(x)=x\)
   • ✓\(f(x)=0\)
   • C\(f'(x)=0\)
   • D\(f(0)=x\)

   Remarque

   L'axe des abscisses a pour équation \(y=0\) : on résout donc \(f(x)=0\).

6. Question 6

   L'ordonnée du point d'intersection de la courbe avec l'axe des ordonnées est :

   • A\(f'(0)\)
   • ✓\(f(0)\)
   • C\(0\)
   • D\(\displaystyle\lim_{x\to 0}f(x)/x\)

   Remarque

   L'axe des ordonnées correspond à \(x=0\) : le point d'intersection (s'il existe) est \((0,f(0))\).

7. Question 7

   Si, sur un intervalle, \(f'\) est positive puis négative, la fonction présente :

   • Aun minimum
   • ✓un maximum
   • Cun point d'inflexion
   • Dune asymptote

   Remarque

   \(f\) croît puis décroît : elle atteint un maximum au point où \(f'\) s'annule en changeant de signe.

8. Question 8

   Le tableau de variations résume principalement :

   • ✓le signe de \(f'\), les variations de \(f\) et les limites/valeurs aux bornes
   • Bles coordonnées de tous les points
   • Cuniquement les asymptotes
   • Dles solutions de \(f(x)=0\)

   Remarque

   Le tableau de variations condense le signe de la dérivée, le sens de variation de \(f\) et les limites (ou valeurs) aux bornes du domaine.

9. Question 9

   Si \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=2\), la courbe admet :

   • Aune asymptote verticale \(x=2\)
   • ✓une asymptote horizontale \(y=2\)
   • Cune asymptote oblique
   • Daucune asymptote

   Remarque

   Une limite finie \(2\) en \(+\infty\) donne l'asymptote horizontale \(y=2\).

10. Question 10

    Si \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}=+\infty\), la courbe présente :

    • Aune asymptote horizontale
    • ✓une branche parabolique de direction \((Oy)\)
    • Cune asymptote oblique
    • Dune asymptote verticale

    Remarque

    Quand \(\dfrac{f(x)}{x}\to+\infty\), la courbe « monte » plus vite que toute droite : branche parabolique de direction l'axe des ordonnées.

11. Question 11

    La fonction \(f(x)=x+\dfrac{1}{x}\) admet en \(+\infty\) l'asymptote oblique :

    • ✓\(y=x\)
    • B\(y=x+1\)
    • C\(y=\dfrac1x\)
    • D\(y=1\)

    Remarque

    \(f(x)-x=\dfrac1x\to 0\) : la droite \(y=x\) est asymptote oblique (la courbe est au-dessus pour \(x>0\)).

12. Question 12

    Le domaine de définition de \(f(x)=\sqrt{x^2-1}\) est :

    • A\([-1,1]\)
    • ✓\(]-\infty,-1]\cup[1,+\infty[\)
    • C\([1,+\infty[\)
    • D\(\mathbb{R}\)

    Remarque

    Il faut \(x^2-1\ge 0\), soit \(|x|\ge 1\) : \(D_f=\,]-\infty,-1]\cup[1,+\infty[\).

13. Question 13

    L'intérêt d'étudier la parité (ou la périodicité) avant le tableau est de :

    • Atrouver les asymptotes
    • ✓réduire l'intervalle d'étude puis compléter par symétrie (ou translation)
    • Ccalculer la dérivée plus vite
    • Drésoudre \(f(x)=0\)

    Remarque

    Une symétrie (paire/impaire) ou une périodicité permet de n'étudier \(f\) que sur une partie du domaine, puis de compléter la courbe.

14. Question 14

    Si \(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=+\infty\), la courbe admet :

    • Aune asymptote horizontale \(y=a\)
    • ✓une asymptote verticale \(x=a\)
    • Cune asymptote oblique
    • Dun point d'inflexion en \(a\)

    Remarque

    Une limite infinie en un réel \(a\) traduit une asymptote verticale d'équation \(x=a\).

15. Question 15

    Au point où \(f'(a)=0\), la tangente à la courbe est :

    • Averticale
    • ✓horizontale
    • Cde pente \(1\)
    • Dconfondue avec un axe

    Remarque

    Pente nulle \(\Rightarrow\) tangente horizontale d'équation \(y=f(a)\).

16. Question 16

    Pour dresser le tableau de variations, l'étape clé est d'étudier :

    • Ale signe de \(f(x)\)
    • ✓le signe de \(f'(x)\)
    • Cles zéros de \(f''\)
    • Dles asymptotes

    Remarque

    Le sens de variation est donné par le signe de la dérivée \(f'(x)\) sur chaque intervalle du domaine.

17. Question 17

    La fonction \(f(x)=\dfrac{x^2+1}{x}\) admet :

    • ✓une asymptote verticale \(x=0\) et une asymptote oblique \(y=x\)
    • Bune asymptote horizontale \(y=1\)
    • Caucune asymptote
    • Dune asymptote oblique \(y=x+1\)

    Remarque

    \(f(x)=x+\dfrac1x\) : asymptote verticale \(x=0\) (limite infinie en \(0\)) et asymptote oblique \(y=x\) (car \(f(x)-x=\dfrac1x\to 0\)).

18. Question 18

    Pour rechercher les extremums d'une fonction dérivable, on résout d'abord :

    • A\(f(x)=0\)
    • ✓\(f'(x)=0\)
    • C\(f(x)=x\)
    • D\(f'(x)=1\)

    Remarque

    Les extremums d'une fonction dérivable se trouvent parmi les solutions de \(f'(x)=0\) (à confirmer par le changement de signe de \(f'\)).

19. Question 19

    Si \(f\) est impaire, l'étude peut se limiter à \([0,+\infty[\) car la courbe est symétrique par rapport :

    • Aà l'axe \((Oy)\)
    • ✓à l'origine \(O\)
    • Cà la droite \(y=x\)
    • Dà l'axe \((Ox)\)

    Remarque

    Fonction impaire \(\Rightarrow\) courbe symétrique par rapport à l'origine \(O\) : on étudie sur \([0,+\infty[\) puis on complète.

20. Question 20

    Un point d'inflexion d'une courbe est un point où :

    • Ala courbe atteint un extremum
    • ✓la courbe traverse sa tangente (changement de concavité)
    • Cla tangente est verticale
    • D\(f\) n'est pas définie

    Remarque

    En un point d'inflexion, la concavité change et la courbe traverse sa tangente.

21. Question 21

    Si \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}=2\) et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\big(f(x)-2x\big)=+\infty\), alors la courbe présente :

    • Al'asymptote oblique \(y=2x\)
    • ✓une branche parabolique de direction la droite \(y=2x\)
    • Cune asymptote horizontale
    • Dune asymptote verticale

    Remarque

    Le coefficient directeur \(a=2\) existe, mais \(f(x)-2x\) n'a pas de limite finie : pas d'asymptote, mais une branche parabolique de direction \(y=2x\).

22. Question 22

    Le nombre de points d'intersection de la courbe de \(f\) avec l'axe des abscisses est égal :

    • ✓au nombre de solutions de l'équation \(f(x)=0\)
    • Bau degré de \(f\)
    • Cau nombre d'asymptotes
    • Dau nombre d'extremums

    Remarque

    Chaque intersection avec \((Ox)\) correspond à une solution de \(f(x)=0\).