Fiche de révision — Étude des fonctions · 1ʳᵉ Bac SM

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L'étude des fonctions rassemble en une démarche complète tout ce que l'on a appris sur les limites et la dérivation. Cette fiche réunit les asymptotes (verticale, horizontale, oblique), les branches paraboliques, la concavité via f″, les points d'inflexion et les symétries de la courbe. En 1ʳᵉ Bac Sciences Maths, le plan d'étude est toujours le même : domaine, symétries, limites, variations, concavité, tracé. Le point à ne pas confondre : un extremum concerne f′, un point d'inflexion concerne f″.

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Fiche de révision · 1ʳᵉ Bac Sciences Maths

Étude des fonctions — Asymptotes, concavité, symétries

Math Excellence

1 · Branches infinies & concavité

Asymptote verticale

x=a

\displaystyle\lim_{x\to a}f=\pm\infty

Asymptote horizontale

y=\ell

\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}f=\ell

Asymptote oblique

y=ax+b

f(x)-(ax+b)\to0

Branche parabolique

\dfrac{f(x)}x\to\pm\infty

direction

(Oy)

Convexe

f''\ge0

au-dessus des tangentes

Concave

f''\le0

au-dessous des tangentes

2 · Asymptote oblique & inflexion

Trouver l'asymptote oblique

$a=\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}x$ (réel non nul)
$b=\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\big[f(x)-ax\big]$ (fini)

f=x+\tfrac1x\Rightarrow y=x

asymptote

Branches paraboliques

$\dfrac fx\to\pm\infty$ : direction $(Oy)$
$\dfrac fx\to a$ mais $f-ax\to\pm\infty$ : direction $y=ax$

Concavité

signe de $f''$ : $\ge0$ convexe, $\le0$ concave

Point d'inflexion

$f''$ change de signe (s'annule)
la courbe traverse sa tangente

Piège : extremum

\neq

inflexion (

f'

f''

3 · Formules & réflexes

x=a

\lim f=\pm\infty

y=\ell

\lim_{\pm\infty}f=\ell

oblique :

f-(ax+b)\to0

a=\displaystyle\lim\dfrac{f(x)}x

f''\ge0

convexe

f''\le0

concave

inflexion :

f''

change de signe

extremum :

f'=0

· inflexion :

f''=0

4 · Symétries & plan d'étude

Axe de symétrie

x=a

$f(2a-x)=f(x)$
cas $a=0$ : fonction paire

Centre de symétrie

\Omega(a,b)

$f(2a-x)+f(x)=2b$
cas $\Omega=O$ : fonction impaire

Exploiter la symétrie

étudier $f$ sur la moitié du domaine
compléter la courbe par symétrie

Plan d'étude complet

domaine → symétries → limites & asymptotes
→ $f'$ : variations → $f''$ : concavité → courbe

★ Astuces géniales

Oblique : d'abord $a=\lim\dfrac fx$ , puis $b=\lim(f-ax)$ — deux limites, dans l'ordre.
Ne pas confondre extremum ( $f'$ change de signe) et inflexion ( $f''$ change de signe).
Un axe ou un centre de symétrie divise le travail par deux.
Le plan d'étude est toujours le même : domaine → symétries → limites → $f'$ → $f''$ → tracé.

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