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Le dénombrement apprend à compter sans énumérer, compétence clé pour les probabilités à venir. Cette fiche réunit les principes additif et multiplicatif, les p-listes, les arrangements, les permutations, les combinaisons et la formule du binôme de Newton. En 1ʳᵉ Bac Sciences Maths, tout l'enjeu est de choisir le bon modèle : deux questions suffisent, l'ordre compte-t-il et peut-on répéter. Le réflexe de langage : « et » on multiplie, « ou » (disjoint) on additionne.

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Fiche de révision · 1ʳᵉ Bac Sciences Maths

Dénombrement — Listes, arrangements, combinaisons, binôme

Math Excellence
1 · Les modèles de comptage
Principe multiplicatif
n1×n2×⋯×npn_1\times n_2\times\cdots\times n_p
pp étapes successives (« et »)
Principe additif
Card(A∪B)=CardA+CardB\mathrm{Card}(A\cup B)=\mathrm{Card}A+\mathrm{Card}B
cas disjoints (« ou »)
pp-liste
n pn^{\,p}
ordre + répétition
Arrangement
Anp=n!(n−p)!A_n^p=\dfrac{n!}{(n-p)!}
ordre, sans répétition
Permutation
Ann=n!A_n^n=n!
tout ranger · 0!=10!=1
Combinaison
Cnp=n!p! (n−p)!C_n^p=\dfrac{n!}{p!\,(n-p)!}
ni ordre ni répétition
2 · Combinaisons & binôme de Newton
Propriétés des combinaisons
  • Cn0=Cnn=1,Cn1=nC_n^0=C_n^n=1,\quad C_n^1=n
  • symétrie : Cnp=Cn n−pC_n^p=C_n^{\,n-p}
Relation de Pascal
  • Cnp+Cn p+1=Cn+1 p+1C_n^p+C_n^{\,p+1}=C_{n+1}^{\,p+1}
  • triangle de Pascal : chaque terme = somme des deux au-dessus
Formule du binôme
  • (a+b)n=∑p=0nCnp a n−pb p(a+b)^n=\displaystyle\sum_{p=0}^{n}C_n^p\,a^{\,n-p}b^{\,p}
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3
Deux sommes clés
  • a=b=1a=b=1 : ∑p=0nCnp=2n\displaystyle\sum_{p=0}^{n}C_n^p=2^n (nombre de parties)
  • a=1,b=−1a=1,b=-1 : ∑p=0n(−1)pCnp=0\displaystyle\sum_{p=0}^{n}(-1)^pC_n^p=0
3 · Formules & réflexes
« et » →×\to\times · « ou » →+\to+
pp-liste : n pn^{\,p}
Anp=n!(n−p)!A_n^p=\dfrac{n!}{(n-p)!}
permutation : n!n!, 0!=10!=1
Cnp=n!p! (n−p)!C_n^p=\dfrac{n!}{p!\,(n-p)!}
Cnp=Cn n−pC_n^p=C_n^{\,n-p}
Pascal : Cnp+Cnp+1=Cn+1p+1C_n^p+C_n^{p+1}=C_{n+1}^{p+1}
∑Cnp=2n\sum C_n^p=2^n
4 · Choisir le bon modèle
Les deux questions qui décident
  • 1. L'ordre compte-t-il ?
  • 2. Peut-on répéter un élément ?
Astuce : ordre + répétition → npn^p ; ordre seul → AnpA_n^p ; ni l'un ni l'autre → CnpC_n^p.
Tirages de pp boules
  • successif avec remise : pp-liste npn^p
  • successif sans remise : arrangement AnpA_n^p
  • simultané : combinaison CnpC_n^p
Bureau ou comité ?
  • rôles ordonnés (président, adjoint) : arrangement
  • simple sous-ensemble (comité) : combinaison
Développer une puissance
  • appliquer le binôme, coefficients = ligne de Pascal
(x+2)4=x4+8x3+24x2+32x+16(x+2)^4=x^4+8x^3+24x^2+32x+16
★ Astuces géniales
  • Deux réflexes de langage : « et » on multiplie, « ou » (disjoint) on additionne.
  • Avant tout calcul, deux questions : l'ordre compte-t-il ? peut-on répéter ? — elles fixent le modèle.
  • Tirage simultané = combinaison ; successif sans remise = arrangement ; avec remise = pp-liste.
  • AnpA_n^p et CnpC_n^p prennent les mêmes éléments ; l'ordre les sépare : Cnp=Anpp!C_n^p=\dfrac{A_n^p}{p!}.
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