1ʳᵉ Bac · Sciences Maths · Chapitre 13

QCM — Dénombrement

Principes additif et multiplicatif, p-listes, arrangements, permutations, combinaisons, factorielle, formule et propriétés des coefficients binomiaux, binôme de Newton et modèles de tirages. Questions auto-corrigées avec correction détaillée.

QCM interactif

22 questions · résultats & correction à la fin · rien à installer

Question 1 / 22

Un choix se fait en \(2\) étapes indépendantes offrant \(n_1\) puis \(n_2\) possibilités. Le nombre total de choix est :

0 / 22 répondue

Réviser : les 22 questions et leur corrigé

Le corrigé complet de ce QCM, question par question — la bonne réponse est surlignée en vert, suivie d'une remarque. Pratique pour réviser ou vérifier après avoir répondu.

Question 1
Un choix se fait en \(2\) étapes indépendantes offrant \(n_1\) puis \(n_2\) possibilités. Le nombre total de choix est :
- A\(n_1+n_2\)
- ✓\(n_1\times n_2\)
- C\(n_1^{n_2}\)
- D\(\dfrac{n_1}{n_2}\)
Remarque
Principe multiplicatif : \(n_1\times n_2\) (le principe additif \(n_1+n_2\) s'applique, lui, à un choix « ou » entre deux cas disjoints).
Question 2
Le nombre de \(p\)-listes (arrangements avec répétition) d'un ensemble à \(n\) éléments est :
- ✓\(n^{p}\)
- B\(p^{n}\)
- C\(\dfrac{n!}{(n-p)!}\)
- D\(n\times p\)
Remarque
À chacune des \(p\) places, \(n\) choix possibles (avec répétition) : \(n^{p}\).
Question 3
Le nombre d'arrangements de \(p\) éléments parmi \(n\) (sans répétition) est :
- A\(n^{p}\)
- ✓\(\dfrac{n!}{(n-p)!}\)
- C\(\dfrac{n!}{p!\,(n-p)!}\)
- D\(p!\)
Remarque
\(A_n^{p}=\dfrac{n!}{(n-p)!}=n(n-1)\cdots(n-p+1)\) : arrangements ordonnés sans répétition.
Question 4
Le nombre de permutations d'un ensemble à \(n\) éléments est :
- A\(n\)
- B\(2^{n}\)
- ✓\(n!\)
- D\(n^{2}\)
Remarque
Une permutation est un arrangement de tous les éléments : \(A_n^{n}=n!\).
Question 5
Le nombre de combinaisons de \(p\) éléments parmi \(n\) est :
- A\(\dfrac{n!}{(n-p)!}\)
- ✓\(\dfrac{n!}{p!\,(n-p)!}\)
- C\(n^{p}\)
- D\(p!\,(n-p)!\)
Remarque
\(\binom{n}{p}=\dfrac{n!}{p!\,(n-p)!}\) : on choisit \(p\) éléments sans tenir compte de l'ordre.
Question 6
\(5!\) vaut :
- A\(25\)
- B\(60\)
- ✓\(120\)
- D\(720\)
Remarque
\(5!=5\times4\times3\times2\times1=120\).
Question 7
\(\dbinom{n}{0}\) vaut :
- A\(0\)
- ✓\(1\)
- C\(n\)
- D\(n!\)
Remarque
Il y a une seule façon de ne choisir aucun élément : \(\dbinom{n}{0}=1\) (de même \(\dbinom{n}{n}=1\)).
Question 8
\(\dbinom{n}{1}\) vaut :
- A\(1\)
- ✓\(n\)
- C\(n!\)
- D\(\dfrac{n}{2}\)
Remarque
Choisir \(1\) élément parmi \(n\) : \(\dbinom{n}{1}=n\).
Question 9
La propriété de symétrie des combinaisons s'écrit :
- A\(\dbinom{n}{p}=\dbinom{n}{p+1}\)
- ✓\(\dbinom{n}{p}=\dbinom{n}{n-p}\)
- C\(\dbinom{n}{p}=\dbinom{n-1}{p}\)
- D\(\dbinom{n}{p}=p\,\dbinom{n}{p-1}\)
Remarque
Choisir \(p\) éléments à prendre revient à choisir les \(n-p\) à laisser : \(\dbinom{n}{p}=\dbinom{n}{n-p}\).
Question 10
La relation de Pascal s'écrit :
- ✓\(\dbinom{n}{p}=\dbinom{n-1}{p-1}+\dbinom{n-1}{p}\)
- B\(\dbinom{n}{p}=\dbinom{n-1}{p-1}\times\dbinom{n-1}{p}\)
- C\(\dbinom{n}{p}=\dbinom{n+1}{p}+\dbinom{n+1}{p-1}\)
- D\(\dbinom{n}{p}=\dbinom{n}{p-1}+1\)
Remarque
Relation de Pascal : \(\dbinom{n}{p}=\dbinom{n-1}{p-1}+\dbinom{n-1}{p}\), à la base du triangle de Pascal.
Question 11
\(\dbinom{5}{2}\) vaut :
- A\(7\)
- ✓\(10\)
- C\(20\)
- D\(25\)
Remarque
\(\dbinom{5}{2}=\dfrac{5!}{2!\,3!}=\dfrac{5\times4}{2}=10\).
Question 12
\(A_5^{2}\) (arrangements de \(2\) parmi \(5\)) vaut :
- A\(10\)
- ✓\(20\)
- C\(25\)
- D\(120\)
Remarque
\(A_5^{2}=\dfrac{5!}{3!}=5\times4=20\).
Question 13
Pour un tirage simultané de \(p\) objets parmi \(n\) (l'ordre ne compte pas), on utilise :
- A\(n^{p}\)
- B\(A_n^{p}\)
- ✓\(\dbinom{n}{p}\)
- D\(p!\)
Remarque
Simultané \(\Rightarrow\) sans ordre et sans répétition : c'est une combinaison \(\dbinom{n}{p}\).
Question 14
Pour un tirage successif sans remise de \(p\) objets parmi \(n\) (ordonné), on utilise :
- A\(\dbinom{n}{p}\)
- ✓\(A_n^{p}\)
- C\(n^{p}\)
- D\(n!\)
Remarque
Successif \(\Rightarrow\) ordonné, sans remise \(\Rightarrow\) sans répétition : arrangement \(A_n^{p}\).
Question 15
Pour un tirage successif avec remise de \(p\) objets parmi \(n\), on utilise :
- ✓\(n^{p}\)
- B\(A_n^{p}\)
- C\(\dbinom{n}{p}\)
- D\(p^{n}\)
Remarque
Avec remise, chaque tirage offre \(n\) possibilités indépendamment : \(n^{p}\) (p-listes).
Question 16
Le nombre de façons de choisir \(3\) délégués parmi \(20\) élèves est :
- A\(60\)
- ✓\(1140\)
- C\(6840\)
- D\(8000\)
Remarque
Choix non ordonné : \(\dbinom{20}{3}=\dfrac{20\times19\times18}{3!}=1140\).
Question 17
Le nombre d'anagrammes (mots, ayant un sens ou non) du mot « MATH » (4 lettres distinctes) est :
- A\(4\)
- B\(12\)
- ✓\(24\)
- D\(16\)
Remarque
C'est le nombre de permutations de \(4\) lettres distinctes : \(4!=24\).
Question 18
La formule du binôme de Newton est \((a+b)^{n}=\)
- ✓\(\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}a^{n-k}b^{k}\)
- B\(\displaystyle\sum_{k=0}^{n}a^{k}b^{k}\)
- C\(\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}a^{k}\)
- D\(a^{n}+b^{n}\)
Remarque
\((a+b)^{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}a^{n-k}b^{k}\).
Question 19
Dans le développement de \((a+b)^{5}\), le coefficient du terme \(a^{3}b^{2}\) est :
- A\(5\)
- ✓\(10\)
- C\(15\)
- D\(20\)
Remarque
Le coefficient est \(\dbinom{5}{2}=10\) (choix des \(2\) facteurs fournissant \(b\)).
Question 20
Le nombre de parties (sous-ensembles) d'un ensemble à \(n\) éléments est :
- A\(n!\)
- ✓\(2^{n}\)
- C\(n^{2}\)
- D\(\displaystyle\sum_{k=0}^{n}k\)
Remarque
\(\operatorname{card}\mathcal P(E)=2^{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}\) (chaque élément est pris ou non).
Question 21
Par convention, \(0!\) vaut :
- A\(0\)
- ✓\(1\)
- Cindéfini
- D\(-1\)
Remarque
\(0!=1\), ce qui rend cohérentes les formules d'arrangements et de combinaisons.
Question 22
Le nombre de codes de \(4\) chiffres (de \(0\) à \(9\), répétitions autorisées) est :
- ✓\(10^{4}\)
- B\(A_{10}^{4}\)
- C\(\dbinom{10}{4}\)
- D\(4^{10}\)
Remarque
Chaque position accepte \(10\) chiffres indépendamment : \(10^{4}=10\,000\) codes (p-listes).

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