Aller au contenu principal
MathExcellence
← Toutes les fiches

L'arithmétique dans ℤ est un chapitre où la démonstration prime sur le calcul, très caractéristique du programme Sciences Maths. Cette fiche réunit la divisibilité, la division euclidienne, le PGCD et l'algorithme d'Euclide, les nombres premiers, la décomposition en facteurs premiers et les congruences. En 1ʳᵉ Bac SM, la règle reine est qu'un diviseur commun de a et b divise toute combinaison au + bv. Le réflexe qui débloque les puissances énormes : travailler modulo n en remplaçant chaque nombre par son reste.

ℤ
Fiche de révision · 1ʳᵉ Bac Sciences Maths

Arithmétique dans Z\mathbb{Z} — Divisibilité, PGCD, premiers, congruences

Math Excellence
1 · Divisibilité & division euclidienne
Divise
a∣b  ⟺  ∃k∈Z, b=aka\mid b\iff\exists k\in\mathbb{Z},\ b=ak
bb multiple de aa
Combinaison linéaire
d∣a, d∣b⇒d∣(au+bv)d\mid a,\ d\mid b\Rightarrow d\mid(au+bv)
la règle reine
Division euclidienne
a=bq+r,\ 0\le r<b
couple (q,r)(q,r) unique
bb divise aa
reste r=0r=0
b∣a  ⟺  r=0b\mid a\iff r=0
PGCD
pgcd(a,b)=a∧b\mathrm{pgcd}(a,b)=a\wedge b
plus grand diviseur commun
PPCM
pgcd×ppcm=a×b\mathrm{pgcd}\times\mathrm{ppcm}=a\times b
relation fondamentale
2 · PGCD, PPCM & décomposition
Algorithme d'Euclide
  • pgcd(a,b)=pgcd(b,r)\mathrm{pgcd}(a,b)=\mathrm{pgcd}(b,r)
  • remplacer (a,b)(a,b) par (b,r)(b,r), recommencer
  • dernier reste non nul = PGCD
pgcd(1071,462)=21\mathrm{pgcd}(1071,462)=21
Premiers entre eux
  • pgcd(a,b)=1\mathrm{pgcd}(a,b)=1
  • d=pgcd(a,b)d=\mathrm{pgcd}(a,b) : a=da′, b=db′a=da',\ b=db' avec a′∧b′=1a'\wedge b'=1
Astuce : ab\frac ab irréductible   ⟺  a\iff a et bb premiers entre eux.
Décomposition en facteurs premiers
  • n=p1α1⋯pkαkn=p_1^{\alpha_1}\cdots p_k^{\alpha_k}, unique à l'ordre près
360=23×32×5360=2^3\times3^2\times5
Lire sur la décomposition
  • PGCD : exposant min ; PPCM : exposant max
  • nombre de diviseurs : (α1+1)⋯(αk+1)(\alpha_1+1)\cdots(\alpha_k+1)
360360 a 4×3×2=244\times3\times2=24 diviseurs
3 · Formules & réflexes
a∣b  ⟺  ∃k, b=aka\mid b\iff\exists k,\ b=ak
d∣a, d∣b⇒d∣(au+bv)d\mid a,\,d\mid b\Rightarrow d\mid(au+bv)
a=bq+r,\ 0\le r<b
Euclide : dernier reste non nul
pgcd×ppcm=ab\mathrm{pgcd}\times\mathrm{ppcm}=ab
premier : exactement 2 diviseurs
tester par les premiers p≤np\le\sqrt n
a≡b [n]  ⟺  n∣(a−b)a\equiv b\ [n]\iff n\mid(a-b)
4 · Nombres premiers & congruences
Test de primalité
  • si aucun premier p≤np\le\sqrt n ne divise nn, alors nn est premier
211211 : tester 2,3,5,7,11,132,3,5,7,11,13 → premier
Congruences modulo nn
  • a≡b [n]  ⟺  n∣(a−b)  ⟺  a\equiv b\ [n]\iff n\mid(a-b)\iff même reste
  • compatibles avec +, ×,+,\ \times, et les puissances
Le super-pouvoir des congruences
  • remplacer un nombre par son reste avant de calculer
  • chercher un cycle des puissances
7100≡2100≡1 [5]7^{100}\equiv2^{100}\equiv1\ [5] : reste 11
Disjonction & critères
  • « pour tout nn » : discuter selon le reste (bb cas)
  • divisible par 33 ou 99 : somme des chiffres
Astuce : n(n+1)(n+2)n(n+1)(n+2) divisible par 66 — reste modulo 22 et 33.
★ Astuces géniales
  • Règle reine : si dd divise aa et bb, il divise toute combinaison au+bvau+bv — souvent la différence.
  • Euclide : pgcd(a,b)=pgcd(b,r)\mathrm{pgcd}(a,b)=\mathrm{pgcd}(b,r) ; le dernier reste non nul est le PGCD.
  • Une puissance énorme modulo nn : remplacer la base par son reste, repérer le cycle.
  • Prouver « divisible pour tout nn » : discuter selon le reste (seulement bb cas à traiter).
Math Excellence · Travail — Méthode — Réussite · mathexce.com
Le cours completRevois le chapitre en détail — définitions, théorèmes et exemples résolusLire le coursQCM interactifTeste-toi sur ce chapitre — 22 questions auto-corrigéesCommencer le QCM