QCM — Arithmétique dans ℤ

Le corrigé complet de ce QCM, question par question — la bonne réponse est surlignée en vert, suivie d'une remarque. Pratique pour réviser ou vérifier après avoir répondu.

1. Question 1

   « \(a\) divise \(b\) » signifie qu'il existe un entier \(k\) tel que :

   • A\(a=kb\)
   • ✓\(b=ka\)
   • C\(b=a+k\)
   • D\(a=b+k\)

   Remarque

   \(a\mid b\Leftrightarrow\exists k\in\mathbb{Z},\ b=ka\) : \(b\) est un multiple de \(a\).

2. Question 2

   Dans la division euclidienne de \(a\) par \(b>0\), \(a=bq+r\), le reste \(r\) vérifie :

   • ✓\(0\le r<b\)
   • B\(0<r\le b\)
   • C\(0\le r\le b\)
   • D\(r<0\)

   Remarque

   L'unicité du couple \((q,r)\) impose \(0\le r<b\).

3. Question 3

   Le reste de la division euclidienne de \(17\) par \(5\) est :

   • A\(1\)
   • ✓\(2\)
   • C\(3\)
   • D\(0\)

   Remarque

   \(17=3\times 5+2\), avec \(0\le 2<5\) : le reste est \(2\).

4. Question 4

   Un nombre premier est un entier \(\ge 2\) qui admet exactement :

   • Aun seul diviseur
   • ✓deux diviseurs positifs : \(1\) et lui-même
   • Ctrois diviseurs
   • Daucun diviseur

   Remarque

   Un nombre premier a exactement deux diviseurs positifs : \(1\) et lui-même.

5. Question 5

   Le nombre \(1\) :

   • Aest premier
   • ✓n'est pas premier (il n'a qu'un seul diviseur)
   • Cest le plus petit nombre premier
   • Dest premier avec lui-même seulement

   Remarque

   \(1\) n'a qu'un seul diviseur positif : il n'est pas premier. Le plus petit nombre premier est \(2\).

6. Question 6

   Le seul nombre premier pair est :

   • A\(0\)
   • ✓\(2\)
   • C\(4\)
   • Dil n'y en a pas

   Remarque

   \(2\) est premier ; tout autre nombre pair est divisible par \(2\) donc non premier.

7. Question 7

   Le nombre \(91\) est :

   • Apremier
   • ✓égal à \(7\times 13\), donc non premier
   • Cun carré parfait
   • Ddivisible par \(3\)

   Remarque

   \(91=7\times 13\) : il n'est pas premier.

8. Question 8

   \(\operatorname{PGCD}(12,18)\) vaut :

   • A\(2\)
   • B\(3\)
   • ✓\(6\)
   • D\(36\)

   Remarque

   Diviseurs communs de \(12\) et \(18\) : \(1,2,3,6\). Le plus grand est \(6\).

9. Question 9

   \(\operatorname{PPCM}(4,6)\) vaut :

   • A\(2\)
   • ✓\(12\)
   • C\(24\)
   • D\(10\)

   Remarque

   Multiples communs de \(4\) et \(6\) : \(12,24,\dots\) Le plus petit est \(12\).

10. Question 10

    Pour deux entiers naturels non nuls \(a\) et \(b\), on a la relation :

    • ✓\(\operatorname{PGCD}(a,b)\times\operatorname{PPCM}(a,b)=a\times b\)
    • B\(\operatorname{PGCD}(a,b)+\operatorname{PPCM}(a,b)=a+b\)
    • C\(\operatorname{PGCD}(a,b)=\operatorname{PPCM}(a,b)\)
    • D\(\operatorname{PPCM}(a,b)=a+b\)

    Remarque

    \(\operatorname{PGCD}(a,b)\times\operatorname{PPCM}(a,b)=a\,b\).

11. Question 11

    L'algorithme d'Euclide repose sur l'égalité (avec \(a=bq+r\)) :

    • ✓\(\operatorname{PGCD}(a,b)=\operatorname{PGCD}(b,r)\)
    • B\(\operatorname{PGCD}(a,b)=\operatorname{PGCD}(a,r)\)
    • C\(\operatorname{PGCD}(a,b)=\operatorname{PGCD}(q,r)\)
    • D\(\operatorname{PGCD}(a,b)=r\)

    Remarque

    \(\operatorname{PGCD}(a,b)=\operatorname{PGCD}(b,r)\) : on remplace le couple par \((b,r)\) jusqu'à un reste nul.

12. Question 12

    La décomposition en facteurs premiers de \(60\) est :

    • A\(2\times 3\times 10\)
    • ✓\(2^2\times 3\times 5\)
    • C\(2\times 30\)
    • D\(2^2\times 15\)

    Remarque

    \(60=2^2\times 3\times 5\) : c'est la seule décomposition en produit de nombres premiers.

13. Question 13

    Deux entiers \(a\) et \(b\) sont premiers entre eux si et seulement si :

    • Ails sont tous deux premiers
    • ✓\(\operatorname{PGCD}(a,b)=1\)
    • C\(\operatorname{PPCM}(a,b)=1\)
    • D\(a=b\)

    Remarque

    « Premiers entre eux » veut dire sans diviseur commun autre que \(1\) : \(\operatorname{PGCD}(a,b)=1\) (les nombres eux-mêmes n'ont pas à être premiers).

14. Question 14

    Si un entier \(d\) divise \(a\) et divise \(b\), alors \(d\) divise :

    • ✓\(a+b\) et \(a-b\)
    • B\(a\times b\) uniquement
    • C\(\dfrac{a}{b}\)
    • Daucun des deux

    Remarque

    \(d\mid a\) et \(d\mid b\Rightarrow d\mid(au+bv)\) pour tous entiers \(u,v\) ; en particulier \(d\mid(a+b)\) et \(d\mid(a-b)\).

15. Question 15

    Le nombre de diviseurs positifs de \(12\) est :

    • A\(4\)
    • B\(5\)
    • ✓\(6\)
    • D\(12\)

    Remarque

    Diviseurs de \(12\) : \(1,2,3,4,6,12\), soit \(6\) diviseurs (cohérent avec \(12=2^2\times3\Rightarrow(2+1)(1+1)=6\)).

16. Question 16

    Par l'algorithme d'Euclide, \(\operatorname{PGCD}(48,36)\) vaut :

    • A\(6\)
    • ✓\(12\)
    • C\(4\)
    • D\(18\)

    Remarque

    \(48=1\times36+12\), puis \(36=3\times12+0\) : le dernier reste non nul est \(12\).

17. Question 17

    Un entier divisible à la fois par \(2\) et par \(3\) est nécessairement divisible par :

    • A\(5\)
    • ✓\(6\)
    • C\(12\)
    • D\(9\)

    Remarque

    \(2\) et \(3\) sont premiers entre eux : leur produit \(6\) divise alors le nombre.

18. Question 18

    Un entier est divisible par \(3\) si et seulement si :

    • Ason dernier chiffre est \(0,3,6\) ou \(9\)
    • ✓la somme de ses chiffres est divisible par \(3\)
    • Cil est pair
    • Dil se termine par \(3\)

    Remarque

    Critère de divisibilité par \(3\) : la somme de ses chiffres est divisible par \(3\).

19. Question 19

    Si \(p\) est premier et \(p\mid ab\), alors :

    • ✓\(p\mid a\) ou \(p\mid b\)
    • B\(p\mid a\) et \(p\mid b\)
    • C\(p\mid a+b\)
    • Drien de particulier

    Remarque

    Propriété fondamentale des nombres premiers (lemme d'Euclide) : \(p\mid ab\Rightarrow p\mid a\) ou \(p\mid b\).

20. Question 20

    Le PPCM de deux entiers peut se calculer par :

    • ✓\(\operatorname{PPCM}(a,b)=\dfrac{a\,b}{\operatorname{PGCD}(a,b)}\)
    • B\(\operatorname{PPCM}(a,b)=a\,b\times\operatorname{PGCD}(a,b)\)
    • C\(\operatorname{PPCM}(a,b)=a+b\)
    • D\(\operatorname{PPCM}(a,b)=\operatorname{PGCD}(a,b)\)

    Remarque

    De \(\operatorname{PGCD}\times\operatorname{PPCM}=ab\) on tire \(\operatorname{PPCM}(a,b)=\dfrac{ab}{\operatorname{PGCD}(a,b)}\).

21. Question 21

    Le théorème fondamental de l'arithmétique affirme que tout entier \(\ge 2\) :

    • Aest premier
    • ✓se décompose de façon unique en produit de facteurs premiers
    • Cest pair ou impair
    • Dadmet un nombre pair de diviseurs

    Remarque

    Tout entier \(\ge 2\) s'écrit de manière unique (à l'ordre près) comme produit de nombres premiers.

22. Question 22

    Les entiers \(14\) et \(15\) sont :

    • Atous deux premiers
    • ✓premiers entre eux
    • Cde PGCD égal à \(7\)
    • Dde PPCM égal à \(15\)

    Remarque

    \(14=2\times7\) et \(15=3\times5\) n'ont aucun facteur commun : \(\operatorname{PGCD}(14,15)=1\), ils sont premiers entre eux (sans être eux-mêmes premiers).