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Les vecteurs de l'espace prolongent en trois dimensions le calcul vectoriel du plan. Cette fiche réunit la relation de Chasles, la colinéarité, la coplanarité, la définition vectorielle d'une droite et d'un plan, et la notion de base de l'espace. En 1ʳᵉ Bac Sciences Maths, tout le calcul du plan reste valable ; la nouveauté est la coplanarité, qui distingue « pas de vraie 3D » d'une vraie base. Le résultat structurant : trois vecteurs non coplanaires forment une base, dans laquelle tout vecteur s'écrit de façon unique.

u⃗
Fiche de révision · 1ʳᵉ Bac Sciences Maths

Vecteurs de l'espace — Colinéarité, coplanarité, bases

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1 · Vecteurs & sous-espaces
Vecteur
AB→=CD→\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}
direction, sens, norme
Relation de Chasles
AB→+BC→=AC→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}
comme dans le plan
Colinéarité
v⃗=k u⃗\vec v=k\,\vec u
même direction
Droite
AM→=t u⃗\overrightarrow{AM}=t\,\vec u
point + directeur
Plan
AM→=t u⃗+s v⃗\overrightarrow{AM}=t\,\vec u+s\,\vec v
u⃗,v⃗\vec u,\vec v non colinéaires
Base de l'espace
w⃗=au⃗+bv⃗+ct⃗\vec w=a\vec u+b\vec v+c\vec t
3 vect. non coplanaires
2 · Colinéarité & coplanarité
Alignement & parallélisme
  • A,B,CA,B,C alignés   ⟺  AB→,AC→\iff\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} colinéaires
  • (AB)∥(CD)  ⟺  AB→,CD→(AB)\parallel(CD)\iff\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD} colinéaires
Vecteurs coplanaires
  • u⃗,v⃗,w⃗\vec u,\vec v,\vec w coplanaires   ⟺  w⃗=au⃗+bv⃗\iff\vec w=a\vec u+b\vec v
  • (avec u⃗,v⃗\vec u,\vec v non colinéaires)
Idée : coplanaires = ils « tiennent » dans un même plan.
Points coplanaires
  • A,B,C,DA,B,C,D coplanaires   ⟺  AB→,AC→,AD→\iff\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD} coplanaires
  •   ⟺  AD→=aAB→+bAC→\iff\overrightarrow{AD}=a\overrightarrow{AB}+b\overrightarrow{AC}
Base de l'espace
  • 3 vecteurs non coplanaires forment une base
  • tout vecteur s'écrit alors de façon unique
3 · Formules & réflexes
Chasles : AB→+BC→=AC→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}
colinéaires : v⃗=ku⃗\vec v=k\vec u
alignés : AB→,AC→\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} colinéaires
droite : AM→=tu⃗\overrightarrow{AM}=t\vec u
plan : AM→=tu⃗+sv⃗\overrightarrow{AM}=t\vec u+s\vec v
coplanaires : w⃗=au⃗+bv⃗\vec w=a\vec u+b\vec v
base : 3 vect. non coplanaires
milieu II : IA→+IB→=0⃗\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\vec0
4 · Méthodes types
Montrer un alignement
  • exprimer AC→=k AB→\overrightarrow{AC}=k\,\overrightarrow{AB}
Montrer que 4 points sont coplanaires
  • écrire AD→=aAB→+bAC→\overrightarrow{AD}=a\overrightarrow{AB}+b\overrightarrow{AC}
Décomposer un vecteur
  • dans une base (u⃗,v⃗,t⃗)(\vec u,\vec v,\vec t), identifier les coefficients
  • outils : Chasles + milieux
Exploiter les milieux
  • II milieu ⇒IA→+IB→=0⃗\Rightarrow\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\vec0
tétraèdre : IJ→=12(AC→+BD→)\overrightarrow{IJ}=\tfrac12(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD})
★ Astuces géniales
  • Tout le calcul vectoriel du plan (Chasles, colinéarité, barycentre) reste valable dans l'espace.
  • Colinéaires → droite ; coplanaires → « pas de vraie 3D » (un même plan les contient).
  • Trois vecteurs non coplanaires forment une base : tout vecteur s'y écrit de façon unique.
  • Un milieu se traduit par IA→+IB→=0⃗\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\vec0 — le réflexe qui simplifie les sommes.
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