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La géométrie analytique de l'espace traduit droites et plans en coordonnées et en équations. Cette fiche réunit les coordonnées d'un point et d'un vecteur, le déterminant de trois vecteurs, les représentations paramétriques, l'équation cartésienne d'un plan et les positions relatives. En 1ʳᵉ Bac Sciences Maths, le déterminant est le test de « vraie 3D » : nul, les vecteurs sont coplanaires ; non nul, ils forment une base. Le réflexe pour une intersection droite-plan : reporter la paramétrisation dans l'équation et compter les solutions.

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Fiche de révision · 1ʳᵉ Bac Sciences Maths

Géométrie analytique de l'espace — Déterminant, droites, plans

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1 · Coordonnées & déterminant
Coordonnées
OM→=xı⃗+yȷ⃗+zk⃗\overrightarrow{OM}=x\vec\imath+y\vec\jmath+z\vec k
M(x,y,z)M(x,y,z)
Vecteur AB→\overrightarrow{AB}
(xB−xA, yB−yA, zB−zA)(x_B-x_A,\ y_B-y_A,\ z_B-z_A)
coordonnée par coordonnée
Milieu de [AB][AB]
(xA+xB2,yA+yB2,zA+zB2)\big(\tfrac{x_A+x_B}2,\tfrac{y_A+y_B}2,\tfrac{z_A+z_B}2\big)
moyenne des coordonnées
Déterminant 2×22\times2
∣abcd∣=ad−bc\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc
brique de base
Colinéarité
coordonnées proportionnelles
3 dét. 2×22\times2 nuls
Coplanarité
det⁡(u⃗,v⃗,w⃗)=0\det(\vec u,\vec v,\vec w)=0
≠0\neq0 : base de l'espace
2 · Droites & plans
Droite paramétrique
  • {x=xA+t ay=yA+t bz=zA+t c\begin{cases}x=x_A+t\,a\\ y=y_A+t\,b\\ z=z_A+t\,c\end{cases}
  • point AA + vecteur directeur u⃗(a,b,c)\vec u(a,b,c)
Plan — deux formes
  • paramétrique : point + deux vecteurs non colinéaires
  • cartésienne : ax+by+cz+d=0ax+by+cz+d=0
Droite = deux plans
  • {ax+by+cz+d=0a′x+b′y+c′z+d′=0\begin{cases}ax+by+cz+d=0\\ a'x+b'y+c'z+d'=0\end{cases}
  • intersection de deux plans sécants
Déterminant, test de « vraie 3D »
  • det⁡=0\det=0 : coplanaires ; det⁡≠0\det\neq0 : base
Astuce : 4 points coplanaires   ⟺  det⁡(AB→,AC→,AD→)=0\iff\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD})=0.
3 · Formules & réflexes
AB→(xB−xA,… )\overrightarrow{AB}(x_B-x_A,\dots)
milieu = moyenne des coordonnées
∣abcd∣=ad−bc\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc
colinéaires : coords proportionnelles
det⁡=0\det=0 : coplanaires
det⁡≠0\det\neq0 : base
droite : x=xA+ta,…x=x_A+ta,\dots
plan : ax+by+cz+d=0ax+by+cz+d=0
4 · Positions relatives
Deux droites
  • u⃗,u⃗′\vec u,\vec u' colinéaires : parallèles
  • sinon : sécantes (si coplanaires) ou gauches
Deux plans
  • (a,b,c)(a,b,c) proportionnels : parallèles
  • sinon : sécants selon une droite
Droite & plan
  • reporter la paramétrisation dans l'équation
  • 1 sol → sécante ; 0 → parallèle ; ∞\infty → incluse
Tester 4 points
  • calculer det⁡(AB→,AC→,AD→)\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD})
  • nul ⇒\Rightarrow coplanaires
★ Astuces géniales
  • Tout se calcule coordonnée par coordonnée (vecteur AB→\overrightarrow{AB}, milieu).
  • Le déterminant est le test de « vraie 3D » : nul → coplanaires, non nul → base.
  • Position droite/plan : reporter la paramétrisation dans l'équation, puis compter les solutions.
  • Une droite de l'espace = paramétrique OU intersection de deux plans.
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