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Le produit scalaire et le produit vectoriel dans l'espace donnent les outils numériques et géométriques de la 3D. Cette fiche réunit l'expression analytique du produit scalaire, l'orthogonalité, le vecteur normal d'un plan, la distance d'un point à un plan, la sphère et le produit vectoriel avec ses aires. En 1ʳᵉ Bac Sciences Maths, il faut choisir le bon outil : le scalaire donne un nombre (angles, distances), le vectoriel donne un vecteur (normale, aires). Le réflexe : dans ax + by + cz + d = 0, on lit directement le vecteur normal de coordonnées (a, b, c).

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Fiche de révision · 1ʳᵉ Bac Sciences Maths

Produit scalaire & vectoriel dans l'espace — Plans, sphère, aires

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1 · Produit scalaire & produit vectoriel
Produit scalaire
u⃗⋅v⃗=xx′+yy′+zz′\vec u\cdot\vec v=xx'+yy'+zz'
un nombre
Norme & distance
∥u⃗∥=x2+y2+z2\|\vec u\|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}
AB=∥AB→∥AB=\|\overrightarrow{AB}\|
Orthogonalité
u⃗⊥v⃗  ⟺  u⃗⋅v⃗=0\vec u\perp\vec v\iff\vec u\cdot\vec v=0
angle droit
Produit vectoriel
u⃗∧v⃗⊥u⃗, v⃗\vec u\wedge\vec v\perp\vec u,\ \vec v
un vecteur
Analytique u⃗∧v⃗\vec u\wedge\vec v
(yz′−zy′, zx′−xz′, xy′−yx′)(yz'-zy',\ zx'-xz',\ xy'-yx')
base orthonormée directe
Nul   ⟺  \iff colinéaires
u⃗∧v⃗=0⃗\vec u\wedge\vec v=\vec0
u⃗,v⃗\vec u,\vec v colinéaires
2 · Plan, normale & distance
Vecteur normal
  • n⃗≠0⃗\vec n\neq\vec0 orthogonal à tout vecteur du plan
  • les coefficients (a,b,c)(a,b,c) sont la normale
Équation d'un plan
  • AM→⋅n⃗=0⇒ax+by+cz+d=0\overrightarrow{AM}\cdot\vec n=0\Rightarrow ax+by+cz+d=0
  • normale via n⃗=AB→∧AC→\vec n=\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}
Distance point-plan
  • d(M,P)=∣ax0+by0+cz0+d∣a2+b2+c2d(M,P)=\dfrac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}
Astuce : d=0  ⟺  M∈(P)d=0\iff M\in(P).
Deux plans
  • normales colinéaires : plans parallèles
  • normales orthogonales : plans perpendiculaires
3 · Formules & réflexes
u⃗⋅v⃗=xx′+yy′+zz′\vec u\cdot\vec v=xx'+yy'+zz'
∥u⃗∥=x2+y2+z2\|\vec u\|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}
u⃗⊥v⃗  ⟺  u⃗⋅v⃗=0\vec u\perp\vec v\iff\vec u\cdot\vec v=0
u⃗∧v⃗=(yz′−zy′,… )\vec u\wedge\vec v=(yz'-zy',\dots)
u⃗∧v⃗=0⃗  ⟺  \vec u\wedge\vec v=\vec0\iff colinéaires
plan : ax+by+cz+d=0ax+by+cz+d=0, n⃗(a,b,c)\vec n(a,b,c)
d(M,P)=∣ax0+by0+cz0+d∣a2+b2+c2d(M,P)=\dfrac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}
A(ABC)=12∥AB→∧AC→∥\mathcal{A}(ABC)=\tfrac12\|\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\|
4 · Sphère, aires & choix d'outil
Sphère
  • (x−a)2+(y−b)2+(z−c)2=R2(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2
  • centre Ω(a,b,c)\Omega(a,b,c), rayon RR
Sphère ∩\cap plan
  • poser d=d(Ω,P)d=d(\Omega,P)
  • d<R : cercle r=R2−d2r=\sqrt{R^2-d^2} ; d=Rd=R : tangent ; d>Rd>R : vide
Aires par le produit vectoriel
  • parallélogramme : ∥u⃗∧v⃗∥\|\vec u\wedge\vec v\|
  • triangle : 12∥AB→∧AC→∥\tfrac12\|\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\|
Scalaire ou vectoriel ?
  • scalaire (nombre) : angles, ⊥\perp, distances
  • vectoriel (vecteur) : normale, colinéarité, aires
★ Astuces géniales
  • Dans ax+by+cz+d=0ax+by+cz+d=0, on lit directement la normale n⃗(a,b,c)\vec n(a,b,c).
  • Produit scalaire → un nombre (angles, orthogonalité, distances) ; produit vectoriel → un vecteur (normale, colinéarité, aires).
  • Un vecteur normal à (ABC)(ABC) se fabrique par n⃗=AB→∧AC→\vec n=\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}.
  • Sphère ∩\cap plan : comparer d(Ω,P)d(\Omega,P) à RR — cercle, tangence ou vide.
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