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17

1ʳᵉ Bac · Sciences Maths · Chapitre 17

Produit scalaire dans l'espace

1 · Résumé du cours

1.1 Produit scalaire dans l'espace

Définition Pour deux vecteurs u⃗\vec u et v⃗\vec v de l'espace, u⃗⋅v⃗=∥u⃗∥ ∥v⃗∥cos⁡(u⃗,v⃗^),\vec u\cdot\vec v=\|\vec u\|\,\|\vec v\|\cos\big(\widehat{\vec u,\vec v}\big), et u⃗⋅0⃗=0\vec u\cdot\vec0=0. On note u⃗⋅u⃗=∥u⃗∥2=u⃗ 2\vec u\cdot\vec u=\|\vec u\|^{2}=\vec u^{\,2}.
Expression analytique Dans un repère orthonormé (O,ı⃗,ȷ⃗,k⃗)(O,\vec\imath,\vec\jmath,\vec k), si u⃗(x,y,z)\vec u(x,y,z) et v⃗(x′,y′,z′)\vec v(x',y',z') : u⃗⋅v⃗=xx′+yy′+zz′,∥u⃗∥=x2+y2+z2.\vec u\cdot\vec v=xx'+yy'+zz',\qquad \|\vec u\|=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}. La distance vaut AB=∥AB→∥=(xB−xA)2+(yB−yA)2+(zB−zA)2AB=\|\overrightarrow{AB}\|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}.
Propriétés et orthogonalité Le produit scalaire est symétrique et bilinéaire, et u⃗⊥v⃗  ⟺  u⃗⋅v⃗=0.\vec u\perp\vec v \iff \vec u\cdot\vec v=0.

1.2 Vecteur normal et équation d'un plan

Définition Un vecteur n⃗≠0⃗\vec n\neq\vec0 est normal au plan (P)(P) s'il est orthogonal à tout vecteur de (P)(P). Géométriquement, n⃗\vec n est orthogonal à toutes les droites du plan.
Équation cartésienne d'un plan Le plan passant par A(xA,yA,zA)A(x_A,y_A,z_A) et de vecteur normal n⃗(a,b,c)\vec n(a,b,c) est l'ensemble des points M(x,y,z)M(x,y,z) tels que AM→⋅n⃗=0\overrightarrow{AM}\cdot\vec n=0, soit a(x−xA)+b(y−yA)+c(z−zA)=0  ⟺  ax+by+cz+d=0.a(x-x_A)+b(y-y_A)+c(z-z_A)=0 \iff ax+by+cz+d=0. Réciproquement, ax+by+cz+d=0ax+by+cz+d=0 (avec (a,b,c)≠0⃗(a,b,c)\neq\vec0) est un plan de vecteur normal n⃗(a,b,c)\vec n(a,b,c).
Les coefficients sont le vecteur normal Dans ax+by+cz+d=0ax+by+cz+d=0, on lit directement le vecteur normal n⃗(a,b,c)\vec n(a,b,c). D'où : deux plans sont parallèles si leurs normales sont colinéaires, perpendiculaires si leurs normales sont orthogonales.
Distance d'un point à un plan Pour (P):ax+by+cz+d=0(P):ax+by+cz+d=0 et un point M(x0,y0,z0)M(x_0,y_0,z_0) : d(M,(P))=∣ax0+by0+cz0+d∣a2+b2+c2.d\big(M,(P)\big)=\dfrac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}. Elle se mesure le long de la normale au plan.

1.3 La sphère

Définition La sphère de centre Ω(a,b,c)\Omega(a,b,c) et de rayon R>0R>0 est l'ensemble des points MM tels que ΩM=R\Omega M=R : (x−a)2+(y−b)2+(z−c)2=R2.(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=R^{2}.
Intersection d'une sphère et d'un plan Soit SS la sphère de centre Ω\Omega, rayon RR, et (P)(P) un plan ; posons d=d(Ω,(P))d=d\big(\Omega,(P)\big).
  • si d<Rd<R : l'intersection est un cercle de rayon r=R2−d2r=\sqrt{R^{2}-d^{2}} ;
  • si d=Rd=R : le plan est tangent (un seul point de contact) ;
  • si d>Rd>R : l'intersection est vide.

1.4 Produit vectoriel

Définition Le produit vectoriel de u⃗\vec u et v⃗\vec v est le vecteur u⃗∧v⃗\vec u\wedge\vec v tel que :
  • si u⃗,v⃗\vec u,\vec v sont colinéaires, u⃗∧v⃗=0⃗\vec u\wedge\vec v=\vec0 ;
  • sinon, u⃗∧v⃗\vec u\wedge\vec v est orthogonal à u⃗\vec u et à v⃗\vec v, orienté selon la règle de la main droite, de norme ∥u⃗∧v⃗∥=∥u⃗∥ ∥v⃗∥ ∣sin⁡(u⃗,v⃗^)∣\|\vec u\wedge\vec v\|=\|\vec u\|\,\|\vec v\|\,\big|\sin(\widehat{\vec u,\vec v})\big|.
Le vecteur u⃗∧v⃗\vec u\wedge\vec v est orthogonal au plan de u⃗\vec u et v⃗\vec v, et sa norme est l'aire du parallélogramme construit sur u⃗\vec u et v⃗\vec v.
Règles de calcul v⃗∧u⃗=−(u⃗∧v⃗)  (antisymeˊtrie),(λu⃗)∧v⃗=λ(u⃗∧v⃗),\vec v\wedge\vec u=-(\vec u\wedge\vec v)\ \ (\text{antisymétrie}),\qquad (\lambda\vec u)\wedge\vec v=\lambda(\vec u\wedge\vec v), u⃗∧(v⃗+w⃗)=u⃗∧v⃗+u⃗∧w⃗,u⃗∧v⃗=0⃗  ⟺  u⃗,v⃗ colineˊaires.\vec u\wedge(\vec v+\vec w)=\vec u\wedge\vec v+\vec u\wedge\vec w,\qquad \vec u\wedge\vec v=\vec0 \iff \vec u,\vec v \text{ colinéaires}.
Expression analytique En base orthonormée directe, pour u⃗(x,y,z)\vec u(x,y,z) et v⃗(x′,y′,z′)\vec v(x',y',z') : u⃗∧v⃗=( yz′−zy′ ,  zx′−xz′ ,  xy′−yx′ ).\vec u\wedge\vec v=\big(\,yz'-zy'\,,\ \ zx'-xz'\,,\ \ xy'-yx'\,\big). Chaque composante est un déterminant 2×22\times2 des deux autres lignes.
Aires L'aire du parallélogramme construit sur u⃗,v⃗\vec u,\vec v vaut ∥u⃗∧v⃗∥\|\vec u\wedge\vec v\| ; celle du triangle ABCABC vaut A(ABC)=12 ∥AB→∧AC→∥.\mathcal{A}(ABC)=\tfrac12\,\big\|\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\big\|.
Scalaire ou vectoriel : que veut-on ? Le produit scalaire donne un nombre — il sert aux angles, à l'orthogonalité, aux distances à un plan. Le produit vectoriel donne un vecteur — il sert aux directions normales, à la colinéarité et aux aires.

2 · Exercices résolus

Plan (ABC)

Exercice 1

On donne A(1,0,0)A(1,0,0), B(0,1,0)B(0,1,0), C(0,0,1)C(0,0,1). Déterminer un vecteur normal au plan (ABC)(ABC), puis une équation cartésienne de ce plan.

Voir la correction

AB→(−1,1,0)\overrightarrow{AB}(-1,1,0) et AC→(−1,0,1)\overrightarrow{AC}(-1,0,1). Un vecteur normal est n⃗=AB→∧AC→=(1⋅1−0⋅0,  0⋅(−1)−(−1)⋅1,  (−1)⋅0−1⋅(−1))=(1,1,1).\vec n=\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=\big(1\cdot1-0\cdot0,\ \ 0\cdot(-1)-(-1)\cdot1,\ \ (-1)\cdot0-1\cdot(-1)\big)=(1,1,1).

Le plan a donc une équation x+y+z+d=0x+y+z+d=0 ; il passe par A(1,0,0)A(1,0,0), d'où 1+d=01+d=0, soit d=−1d=-1. Ainsi (ABC): x+y+z−1=0(ABC):\ x+y+z-1=0. ∎

Distance

Exercice 2

Calculer la distance du point M(1,1,1)M(1,1,1) au plan (P):2x−y+2z−3=0(P):2x-y+2z-3=0.

Voir la correction

d(M,(P))=∣2⋅1−1+2⋅1−3∣22+(−1)2+22=∣0∣3=0.d\big(M,(P)\big)=\dfrac{|2\cdot1-1+2\cdot1-3|}{\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+2^{2}}}=\dfrac{|0|}{3}=0.

La distance est nulle : le point MM appartient au plan (P)(P). ∎

Aire

Exercice 3

Calculer l'aire du triangle ABCABC avec A(1,0,0)A(1,0,0), B(0,1,0)B(0,1,0), C(0,0,1)C(0,0,1).

Voir la correction

D'après l'exercice 1, AB→∧AC→=(1,1,1)\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=(1,1,1), de norme 3\sqrt3. Donc A(ABC)=12∥AB→∧AC→∥=32.\mathcal{A}(ABC)=\tfrac12\big\|\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\big\|=\dfrac{\sqrt3}2. ∎

L'essentiel du chapitre
  • Produit scalaire : u⃗⋅v⃗=xx′+yy′+zz′\vec u\cdot\vec v=xx'+yy'+zz' ; u⃗⊥v⃗  ⟺  u⃗⋅v⃗=0\vec u\perp\vec v\iff\vec u\cdot\vec v=0.
  • Plan : ax+by+cz+d=0ax+by+cz+d=0 a pour normale n⃗(a,b,c)\vec n(a,b,c) ; distance d(M,P)=∣ax0+by0+cz0+d∣a2+b2+c2d(M,P)=\frac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.
  • Sphère : (x−a)2+(y−b)2+(z−c)2=R2(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2 ; couper par un plan selon d≶Rd\lessgtr R.
  • Produit vectoriel : u⃗∧v⃗⊥u⃗,v⃗\vec u\wedge\vec v\perp\vec u,\vec v ; nul   ⟺  \iff colinéaires ; ∥u⃗∧v⃗∥=\|\vec u\wedge\vec v\|= aire du parallélogramme, d'où A(ABC)=12∥AB→∧AC→∥\mathcal{A}(ABC)=\frac12\|\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\|.
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