1ʳᵉ Bac · Sciences Maths · Chapitre 18

Les polynômes

1 · Résumé du cours

1.1 Définitions et degré

Polynôme On appelle polynôme à coefficients réels toute expression de la forme

P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_{1}x+a_{0},

où

n\in\mathbb{N}

a_{0},a_{1},\dots,a_{n}

sont des réels appelés coefficients.

Degré Si

a_{n}\neq0

, l'entier

n

est le degré de

P

, noté

\deg P

;

a_{n}

est le coefficient dominant et

a_{0}

le terme constant. Le polynôme nul (tous les coefficients nuls) n'a pas de degré (on convient parfois

\deg 0=-\infty

Exemple

P(x)=3x^{4}-x^{2}+5

est de degré

4

, de coefficient dominant

3

et de terme constant

5

. Un polynôme de degré

0

est une constante non nulle.

Égalité de deux polynômes Deux polynômes sont égaux si et seulement s'ils ont les mêmes coefficients :

\sum a_{k}x^{k}=\sum b_{k}x^{k}\iff\forall k,\ a_{k}=b_{k}.

La méthode d'identification C'est la propriété la plus utilisée du chapitre : si deux écritures d'un même polynôme coïncident pour tout $x$ , on peut identifier les coefficients terme à terme et obtenir un système d'équations. En particulier, un polynôme est nul pour tout

x

si et seulement si tous ses coefficients sont nuls.

Degré d'une somme, d'un produit Pour

P

Q

non nuls :

\deg(P+Q)\le\max(\deg P,\deg Q),\qquad \deg(P\times Q)=\deg P+\deg Q.

L'inégalité pour la somme peut être stricte : les termes dominants peuvent s'annuler (ex.

(x^{2}+x)+(-x^{2}+1)=x+1

, de degré

1

1.2 Racines d'un polynôme

Racine Un réel

\alpha

est une racine (ou un zéro) de

P

lorsque

P(\alpha)=0

Factorisation par

(x-\alpha)

Soit

P

un polynôme de degré

n\ge1

. Alors

P(\alpha)=0\iff\exists\,Q \text{ tel que } P(x)=(x-\alpha)\,Q(x),

et dans ce cas

\deg Q=n-1

Chercher une « racine évidente » Devant une équation de degré

3

ou plus, on teste d'abord les petites valeurs

x=0,\ \pm1,\ \pm2,\dots

(et les diviseurs du terme constant). Une racine trouvée = un facteur

(x-\alpha)

mis en évidence = un degré de moins à traiter.

Nombre de racines Un polynôme non nul de degré

n

admet au plus $n$ racines réelles.
Conséquence : un polynôme de degré

\le n

qui s'annule en plus de $n$ points est le polynôme nul.

1.3 Division euclidienne des polynômes

Division euclidienne Soient

A

B

deux polynômes avec

B\neq0

. Il existe un unique couple de polynômes

(Q,R)

tel que

A=B\,Q+R \quad\text{avec}\quad R=0 \ \text{ ou }\ \deg R<\deg B.

Q

est le quotient et

R

le reste.

Divisibilité

B

divise

A

si et seulement si le reste

R

est nul. En particulier,

(x-\alpha)

divise

P

si et seulement si

P(\alpha)=0

Méthode — poser la division On procède comme pour les entiers, en ordonnant les deux polynômes selon les puissances décroissantes (et en laissant un « trou » pour les degrés manquants) :

diviser le terme dominant de $A$ par celui de $B$ : c'est le premier terme de $Q$ ;
multiplier $B$ par ce terme, puis soustraire ;
recommencer avec le reste obtenu, tant que son degré est $\ge\deg B$ .

Exemple — diviser

A(x)=x^{3}-2x^{2}+3x-6

par

B(x)=x-2

\begin{aligned} x^{3}-2x^{2}+3x-6 &= (x-2)\,x^{2} + (3x-6)\\ 3x-6 &= (x-2)\times 3 + 0\end{aligned}

Donc

A(x)=(x-2)(x^{2}+3)

, avec un reste nul :

2

est bien racine de

A

(en effet

A(2)=8-8+6-6=0

1.4 Le schéma de Horner

Méthode — division rapide par

(x-\alpha)

Pour diviser

P(x)=a_{n}x^{n}+\dots+a_{0}

par

(x-\alpha)

, on n'écrit que les coefficients :

recopier $a_{n}$ ;
à chaque étape : multiplier le résultat précédent par $\alpha$ , puis ajouter le coefficient suivant ;
les nombres obtenus sont les coefficients du quotient $Q$ ; le dernier est le reste, c'est-à-dire $P(\alpha)$ .

Exemple —

P(x)=2x^{3}-3x^{2}-11x+6

divisé par

(x-3)

Coefficients :

2,\ -3,\ -11,\ 6

\alpha=3

\begin{array}{c|cccc} & 2 & -3 & -11 & 6\\ 3 & & 6 & 9 & -6\\ \hline & 2 & 3 & -2 & \mathbf{0}\end{array}

Le reste est

0

(donc

P(3)=0

) et le quotient est

Q(x)=2x^{2}+3x-2

. Ainsi

P(x)=(x-3)(2x^{2}+3x-2)

Deux usages pour le prix d'un Le schéma de Horner factorise et évalue en même temps : la dernière case donne

P(\alpha)

. C'est la façon la plus rapide de calculer l'image d'un nombre par un polynôme.

1.5 Le trinôme du second degré

Discriminant Soit

P(x)=ax^{2}+bx+c

avec

a\neq0

, et

\Delta=b^{2}-4ac

$\Delta>0$ : deux racines $x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a}$ et $P(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2})$ ;
$\Delta=0$ : une racine double $x_{0}=\dfrac{-b}{2a}$ et $P(x)=a(x-x_{0})^{2}$ ;
$\Delta<0$ : aucune racine réelle, $P$ ne se factorise pas dans $\mathbb{R}$ .

Somme et produit des racines Si

\Delta\ge0

\ x_{1}+x_{2}=-\dfrac ba,\qquad x_{1}\,x_{2}=\dfrac ca.

Signe du trinôme

P(x)

est du signe de $a$ partout, sauf entre les racines où il est du signe de

-a

. Si

\Delta<0

P

garde le signe de

a

sur tout

\mathbb{R}

2 · Exercices résolus

Factoriser & signe

Exercice 1

Soit $P(x)=x^{3}-4x^{2}+x+6$ .

Montrer que $-1$ est une racine de $P$ .
Factoriser complètement $P$ , puis résoudre $P(x)=0$ .
Étudier le signe de $P(x)$ sur $\mathbb{R}$ .

Voir la correction

1. $P(-1)=-1-4-1+6=0$ : $-1$ est bien racine.

2. On divise par $(x+1)$ avec Horner ( $\alpha=-1$ ) : $\begin{array}{c|cccc} & 1 & -4 & 1 & 6\\ -1 & & -1 & 5 & -6\\ \hline & 1 & -5 & 6 & \mathbf{0}\end{array}$ Donc $P(x)=(x+1)(x^{2}-5x+6)$ . Le trinôme a pour discriminant $\Delta=25-24=1>0$ , d'où $x=\frac{5\pm1}{2}$ , soit $2$ et $3$ . Finalement $P(x)=(x+1)(x-2)(x-3),\qquad \mathcal S=\{-1\,;\,2\,;\,3\}.$

3. Tableau de signes (coefficient dominant $1>0$ ) : $\begin{array}{c|ccccccc} x & -\infty & & -1 & & 2 & & 3 \quad +\infty\\ \hline P(x) & & - & 0 & + & 0 & - & 0 \quad +\end{array}$ Donc $P(x)\ge0$ sur $[-1;2]\cup[3;+\infty[$ . ∎

Identification

Exercice 2

Déterminer les réels $a$ , $b$ et $c$ tels que, pour tout $x\in\mathbb{R}$ , $\ x^{3}-1=(x-1)\big(ax^{2}+bx+c\big).$

Voir la correction

Développons le membre de droite : $(x-1)(ax^{2}+bx+c)=ax^{3}+(b-a)x^{2}+(c-b)x-c.$ Par identification avec $x^{3}-1=1\cdot x^{3}+0\cdot x^{2}+0\cdot x-1$ : $\begin{cases} a=1\\ b-a=0\\ c-b=0\\ -c=-1\end{cases}\Longrightarrow a=b=c=1.$ D'où l'identité remarquable $x^{3}-1=(x-1)(x^{2}+x+1)$ . ∎

Reste par évaluation

Exercice 3

Déterminer le reste de la division euclidienne de $A(x)=x^{2026}+x+1$ par $B(x)=x^{2}-1$ .

Voir la correction

$\deg B=2$ , donc le reste s'écrit $R(x)=\alpha x+\beta$ et $A(x)=(x^{2}-1)\,Q(x)+\alpha x+\beta$ .

Comme $x^{2}-1=(x-1)(x+1)$ , évaluons en $1$ puis en $-1$ (le terme en $Q$ s'annule) : $A(1)=1+1+1=3=\alpha+\beta,\qquad A(-1)=1-1+1=1=-\alpha+\beta$ (car $(-1)^{2026}=1$ , l'exposant étant pair). En additionnant : $2\beta=4$ , donc $\beta=2$ et $\alpha=1$ . Le reste est $R(x)=x+2$ . ∎

L'essentiel du chapitre

$\deg(PQ)=\deg P+\deg Q$ ; $\deg(P+Q)\le\max(\deg P,\deg Q)$ .
Identification : deux polynômes égaux ont les mêmes coefficients — c'est ce qui transforme une identité en système.
Théorème-clé : $P(\alpha)=0 \iff (x-\alpha)\mid P(x)$ . Un polynôme de degré $n$ a au plus $n$ racines.
Division euclidienne : $A=BQ+R$ avec $\deg R<\deg B$ , couple $(Q,R)$ unique.
Horner : division par $(x-\alpha)$ en une ligne ; la dernière case vaut $P(\alpha)$ .
Pour un reste par un $B$ scindé, évaluer en les racines de $B$ : bien plus rapide que la division posée.
Trinôme : $\Delta=b^{2}-4ac$ ; signe de $a$ sauf entre les racines.

Fiche de révisionL’essentiel du chapitre en une page — formules, méthodes et astucesVoir la fiche QCM interactifTeste-toi sur ce chapitre — 22 questions auto-corrigéesCommencer le QCM