QCM — Polynômes

Le corrigé complet de ce QCM, question par question — la bonne réponse est surlignée en vert, suivie d'une remarque. Pratique pour réviser ou vérifier après avoir répondu.

1. Question 1

   Le degré du polynôme \(P(x)=3x^4-2x+1\) est :

   • A\(1\)
   • B\(3\)
   • ✓\(4\)
   • D\(6\)

   Remarque

   Le degré est l'exposant le plus élevé apparaissant avec un coefficient non nul, ici \(4\).

2. Question 2

   Pour deux polynômes non nuls, \(\deg(P\times Q)\) est égal à :

   • A\(\deg P\times\deg Q\)
   • ✓\(\deg P+\deg Q\)
   • C\(\max(\deg P,\deg Q)\)
   • D\(\deg P-\deg Q\)

   Remarque

   Le degré d'un produit est la somme des degrés : \(\deg(PQ)=\deg P+\deg Q\).

3. Question 3

   Pour deux polynômes, on a toujours :

   • A\(\deg(P+Q)=\deg P+\deg Q\)
   • ✓\(\deg(P+Q)\le\max(\deg P,\deg Q)\)
   • C\(\deg(P+Q)=\deg P\times\deg Q\)
   • D\(\deg(P+Q)\ge\deg P+\deg Q\)

   Remarque

   \(\deg(P+Q)\le\max(\deg P,\deg Q)\) : il peut y avoir baisse de degré si les termes dominants se compensent.

4. Question 4

   Un réel \(a\) est une racine du polynôme \(P\) si et seulement si :

   • A\(P(a)=1\)
   • ✓\(P(a)=0\)
   • C\(P'(a)=0\)
   • D\(a=0\)

   Remarque

   \(a\) est racine \(\Leftrightarrow P(a)=0\).

5. Question 5

   Dire que \(a\) est racine de \(P\) équivaut à :

   • ✓\((x-a)\) divise \(P\)
   • B\((x+a)\) divise \(P\)
   • C\(P\) est de degré \(1\)
   • D\(P(0)=a\)

   Remarque

   \(a\) racine \(\Leftrightarrow P(x)=(x-a)Q(x)\), c'est-à-dire \((x-a)\mid P\).

6. Question 6

   Un polynôme non nul de degré \(n\) admet au plus :

   • A\(n-1\) racines
   • ✓\(n\) racines
   • C\(n+1\) racines
   • D\(2n\) racines

   Remarque

   Un polynôme non nul de degré \(n\) possède au plus \(n\) racines (comptées avec multiplicité).

7. Question 7

   Dans la division euclidienne \(P=B\,Q+R\) d'un polynôme \(P\) par \(B\neq0\), le reste \(R\) vérifie :

   • A\(\deg R>\deg B\)
   • ✓\(\deg R<\deg B\)
   • C\(\deg R=\deg B\)
   • D\(R=0\) toujours

   Remarque

   La division euclidienne impose \(R=0\) ou \(\deg R<\deg B\).

8. Question 8

   Le reste de la division d'un polynôme \(P\) par \((x-a)\) est :

   • A\(P(0)\)
   • ✓\(P(a)\)
   • C\(a\)
   • D\(0\) toujours

   Remarque

   Théorème du reste : le reste de \(P\) par \((x-a)\) est la valeur \(P(a)\).

9. Question 9

   Le schéma de Horner sert principalement à :

   • ✓calculer \(P(a)\) et effectuer la division par \((x-a)\) efficacement
   • Btrouver le degré de \(P\)
   • Cdériver un polynôme
   • Dcalculer le discriminant

   Remarque

   Le schéma de Horner évalue \(P(a)\) et fournit le quotient de \(P\) par \((x-a)\) avec peu d'opérations.

10. Question 10

    Le discriminant du trinôme \(ax^2+bx+c\) (\(a\neq0\)) est :

    • ✓\(b^2-4ac\)
    • B\(b^2+4ac\)
    • C\(4ac-b^2\)
    • D\(\sqrt{b^2-4ac}\)

    Remarque

    \(\Delta=b^2-4ac\).

11. Question 11

    Si \(\Delta>0\), le trinôme \(ax^2+bx+c\) admet :

    • Aaucune racine réelle
    • Bune racine double
    • ✓deux racines réelles distinctes
    • Dune infinité de racines

    Remarque

    \(\Delta>0\Rightarrow\) deux racines réelles distinctes \(x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a}\).

12. Question 12

    Si \(\Delta=0\), la racine (double) du trinôme est :

    • ✓\(x=\dfrac{-b}{2a}\)
    • B\(x=\dfrac{b}{2a}\)
    • C\(x=\dfrac{-b}{a}\)
    • D\(x=\dfrac{c}{a}\)

    Remarque

    \(\Delta=0\Rightarrow\) racine double \(x_0=\dfrac{-b}{2a}\).

13. Question 13

    Si \(\Delta<0\), le trinôme \(ax^2+bx+c\) :

    • Aa deux racines réelles
    • ✓n'a aucune racine réelle
    • Ca une racine double
    • Dest de degré \(1\)

    Remarque

    \(\Delta<0\Rightarrow\) aucune racine réelle (le trinôme garde un signe constant, celui de \(a\)).

14. Question 14

    Pour un trinôme \(ax^2+bx+c\) ayant deux racines \(x_1,x_2\), la somme \(S\) et le produit \(P\) valent :

    • ✓\(S=\dfrac{-b}{a}\ ,\ P=\dfrac{c}{a}\)
    • B\(S=\dfrac{b}{a}\ ,\ P=\dfrac{-c}{a}\)
    • C\(S=\dfrac{c}{a}\ ,\ P=\dfrac{-b}{a}\)
    • D\(S=b\ ,\ P=c\)

    Remarque

    \(x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}\) et \(x_1x_2=\dfrac{c}{a}\).

15. Question 15

    Les racines du polynôme \(x^2-5x+6\) sont :

    • A\(-2\) et \(-3\)
    • ✓\(2\) et \(3\)
    • C\(1\) et \(6\)
    • D\(-1\) et \(6\)

    Remarque

    \(\Delta=25-24=1\), racines \(\dfrac{5\pm1}{2}\), soit \(2\) et \(3\) (somme \(5\), produit \(6\)).

16. Question 16

    Lorsque \(\Delta\ge0\), la forme factorisée du trinôme est :

    • ✓\(a(x-x_1)(x-x_2)\)
    • B\((x-x_1)(x-x_2)\)
    • C\(a(x+x_1)(x+x_2)\)
    • D\(a(x-x_1)+(x-x_2)\)

    Remarque

    \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\) ; ne pas oublier le coefficient dominant \(a\).

17. Question 17

    Le signe du trinôme \(ax^2+bx+c\) (avec \(\Delta>0\)) est celui de \(a\) :

    • Aentre les racines
    • ✓à l'extérieur des racines
    • Cpartout
    • Dseulement en \(x=0\)

    Remarque

    « Signe de \(a\) à l'extérieur des racines, signe de \(-a\) entre les racines. »

18. Question 18

    Le trinôme \(x^2+1\) :

    • Aa deux racines réelles
    • ✓est strictement positif pour tout réel \(x\)
    • Cs'annule en \(x=1\)
    • Dchange de signe

    Remarque

    \(\Delta=0-4=-4<0\) et \(a=1>0\) : \(x^2+1>0\) pour tout \(x\).

19. Question 19

    Un polynôme constant non nul a pour degré :

    • ✓\(0\)
    • B\(1\)
    • Cnon défini
    • D\(-1\)

    Remarque

    Un polynôme constant non nul (ex. \(P(x)=5\)) est de degré \(0\) ; seul le polynôme nul n'a pas de degré défini.

20. Question 20

    Deux polynômes sont égaux si et seulement si :

    • Ails ont le même degré
    • ✓ils ont les mêmes coefficients (identification)
    • Cils ont la même racine
    • Dils prennent la même valeur en \(0\)

    Remarque

    L'égalité de deux polynômes équivaut à l'égalité de leurs coefficients terme à terme (principe d'identification).

21. Question 21

    Si \(a\) est racine d'un polynôme \(P\) de degré \(n\), alors \(P(x)=(x-a)Q(x)\) où \(Q\) est de degré :

    • A\(n\)
    • ✓\(n-1\)
    • C\(n+1\)
    • D\(1\)

    Remarque

    La mise en facteur de \((x-a)\) (degré \(1\)) abaisse le degré : \(\deg Q=n-1\).

22. Question 22

    Deux nombres de somme \(5\) et de produit \(6\) sont les racines de :

    • ✓\(x^2-5x+6\)
    • B\(x^2+5x+6\)
    • C\(x^2-6x+5\)
    • D\(x^2+5x-6\)

    Remarque

    Deux nombres de somme \(S\) et produit \(P\) sont racines de \(x^2-Sx+P\), ici \(x^2-5x+6\).