1ʳᵉ Bac · Sciences Maths · Chapitre 19

Statistiques

1 · Résumé du cours

1.1 Vocabulaire

Les mots de base

La population est l'ensemble étudié ; ses éléments sont les individus.
Le caractère (ou variable) est ce que l'on observe. Il est qualitatif (couleur, sport) ou quantitatif (note, taille) ; un caractère quantitatif est discret (valeurs isolées) ou continu (regroupé en classes).
L'effectif $n_{i}$ est le nombre d'individus prenant la valeur $x_{i}$ ; l'effectif total est $N=\sum n_{i}$ .
La fréquence est $f_{i}=\dfrac{n_{i}}{N}$ , avec $\sum f_{i}=1$ (soit $100\,\%$ ).

Effectifs cumulés L'effectif cumulé croissant d'une valeur est la somme des effectifs des valeurs qui lui sont inférieures ou égales. Idem pour les fréquences cumulées.

À quoi servent les cumuls ? Les effectifs cumulés répondent aux questions du type « combien d'élèves ont au plus

12

? ». C'est aussi l'outil qui permet de lire directement la médiane et les quartiles.

1.2 Indicateurs de position

Moyenne arithmétique

\bar x=\dfrac{1}{N}\sum_{i}n_{i}\,x_{i}=\sum_{i}f_{i}\,x_{i}.

Mode Le mode est la valeur (ou la classe) de plus grand effectif. Une série peut avoir plusieurs modes.

Médiane La médiane

M_{e}

est la valeur qui partage la série ordonnée en deux parties de même effectif : au moins

50\,\%

des valeurs lui sont inférieures ou égales, et au moins

50\,\%

lui sont supérieures ou égales.

Calculer la médiane On ordonne les

N

valeurs par ordre croissant.

Si $N$ est impair : $M_{e}$ est la valeur de rang $\dfrac{N+1}{2}$ .
Si $N$ est pair : $M_{e}$ est la moyenne des valeurs de rangs $\dfrac N2$ et $\dfrac N2+1$ .

Quartiles

Q_{1}

(premier quartile) est la plus petite valeur telle qu'au moins

25\,\%

des données lui soient inférieures ou égales ;

Q_{3}

(troisième quartile) correspond à

75\,\%

. La médiane est le deuxième quartile.

Moyenne ou médiane ? La moyenne tient compte de toutes les valeurs, donc elle est sensible aux valeurs extrêmes. La médiane ne l'est pas : si un seul élève a

0

et tous les autres

15

, la moyenne chute mais la médiane reste à

15

. Pour des salaires ou des notes très dispersés, la médiane est plus représentative.

1.3 Indicateurs de dispersion

Étendue et écart interquartile L'étendue est

x_{\max}-x_{\min}

. L'écart interquartile est

Q_{3}-Q_{1}

: il mesure la dispersion des

50\,\%

de valeurs centrales, sans subir les extrêmes.

Variance et écart-type

V=\dfrac1N\sum_{i}n_{i}\,(x_{i}-\bar x)^{2}\qquad\text{et}\qquad \sigma=\sqrt{V}.

\sigma

est l'écart-type : il s'exprime dans la même unité que les données, contrairement à la variance.

Formule de König–Huygens

V=\underbrace{\dfrac1N\sum_{i}n_{i}\,x_{i}^{2}}_{\text{moyenne des carrés}}\;-\;\underbrace{\bar x^{\,2}}_{\text{carré de la moyenne}}.

Toujours utiliser König–Huygens La formule de définition oblige à calculer

\bar x

, puis tous les écarts

x_{i}-\bar x

. La formule de König–Huygens ne demande que deux sommes :

\sum n_{i}x_{i}

\sum n_{i}x_{i}^{2}

. C'est bien plus rapide, et c'est elle qu'on attend dans les exercices. Contrôle : on doit toujours trouver

V\ge0

; un résultat négatif signale une erreur de calcul.

Effet d'un changement affine Si

y_{i}=a\,x_{i}+b

, alors

\bar y=a\,\bar x+b,\qquad V(y)=a^{2}\,V(x),\qquad \sigma_{y}=|a|\,\sigma_{x}.

Ajouter une constante ne change pas la dispersion ; multiplier par

a

la multiplie par

|a|

1.4 Séries regroupées en classes

Traiter des classes Quand les données sont regroupées en classes

[a_{i};b_{i}[

on remplace chaque classe par son centre $c_{i}=\dfrac{a_{i}+b_{i}}{2}$ ;
on applique les formules de $\bar x$ , $V$ et $\sigma$ avec les $c_{i}$ ;
les résultats sont alors des valeurs approchées (on a supposé les données réparties uniformément dans chaque classe).

Classe modale La classe modale est celle de plus grand effectif — à condition que toutes les classes aient la même amplitude. Sinon, il faut comparer les effectifs ramenés à l'amplitude.

2 · Exercices résolus

Série discrète

Exercice 1

Les notes obtenues par $25$ élèves sont résumées ci-dessous.

\begin{array}{l|ccccc} \text{Note } x_{i} & 8 & 10 & 12 & 14 & 16\\ \hline \text{Effectif } n_{i} & 3 & 6 & 8 & 5 & 3\end{array}

Calculer la moyenne, la médiane, le mode, puis la variance et l'écart-type.

Voir la correction

Effectif total : $N=3+6+8+5+3=25$ .

Moyenne : $\sum n_{i}x_{i}=24+60+96+70+48=298$ , donc $\bar x=\dfrac{298}{25}=11{,}92$ .

Médiane : $N=25$ est impair, donc $M_{e}$ est la valeur de rang $\frac{25+1}{2}=13$ . Les effectifs cumulés valent $3,\ 9,\ 17,\ 22,\ 25$ : le $13^{\text{e}}$ élève se trouve dans le cumul $17$ , donc $M_{e}=12$ .

Mode : l'effectif maximal est $8$ , donc le mode est $12$ .

Variance (König–Huygens) : $\sum n_{i}x_{i}^{2}=3(64)+6(100)+8(144)+5(196)+3(256)=192+600+1152+980+768=3692.$ $V=\dfrac{3692}{25}-(11{,}92)^{2}=147{,}68-142{,}0864=5{,}5936.$

Écart-type : $\sigma=\sqrt{5{,}5936}\approx2{,}37$ . ∎

Série en classes

Exercice 2

Les tailles (en cm) de $40$ élèves sont regroupées en classes :

\begin{array}{l|cccc} \text{Classe} & [150;160[ & [160;170[ & [170;180[ & [180;190[\\ \hline \text{Effectif} & 6 & 14 & 15 & 5\end{array}

Déterminer la classe modale et une valeur approchée de la taille moyenne.

Voir la correction

Toutes les classes ont la même amplitude ( $10$ cm), donc la classe modale est celle de plus grand effectif : $[170;180[$ .

Centres des classes : $155,\ 165,\ 175,\ 185$ . Alors $\sum n_{i}c_{i}=6(155)+14(165)+15(175)+5(185)=930+2310+2625+925=6790,$ $\bar x=\dfrac{6790}{40}=169{,}75\ \text{cm (valeur approchée).}$ ∎

Changement affine

Exercice 3

Une série de notes a pour moyenne $\bar x=11$ et pour écart-type $\sigma=2$ . Le professeur décide de majorer chaque note de $2$ points, puis de multiplier le tout par $1{,}5$ . Déterminer la nouvelle moyenne et le nouvel écart-type.

Voir la correction

La transformation est $y=1{,}5\,(x+2)=1{,}5\,x+3$ , donc affine avec $a=1{,}5$ et $b=3$ . $\bar y=1{,}5\times11+3=19{,}5,\qquad \sigma_{y}=|1{,}5|\times2=3.$ La dispersion a été multipliée par $1{,}5$ : ajouter $2$ points n'y change rien, seul le facteur multiplicatif agit. ∎

L'essentiel du chapitre

$N=\sum n_{i}$ , $\ f_{i}=\frac{n_{i}}N$ , $\ \sum f_{i}=1$ .
Position : $\bar x=\frac1N\sum n_{i}x_{i}$ ; la médiane partage l'effectif en deux ; le mode est la valeur la plus fréquente.
Moyenne sensible aux valeurs extrêmes, médiane non.
Dispersion : $V=\frac1N\sum n_{i}x_{i}^{2}-\bar x^{\,2}$ (König–Huygens, la plus rapide) et $\sigma=\sqrt V$ , dans l'unité des données. Toujours $V\ge0$ .
Changement affine $y=ax+b$ : $\bar y=a\bar x+b$ et $\sigma_{y}=|a|\sigma_{x}$ — le $+b$ ne disperse pas.
Classes : remplacer chaque classe par son centre ; les résultats sont approchés.

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