QCM — Statistiques

Le corrigé complet de ce QCM, question par question — la bonne réponse est surlignée en vert, suivie d'une remarque. Pratique pour réviser ou vérifier après avoir répondu.

1. Question 1

   La moyenne d'une série statistique \((x_i)\) d'effectifs \((n_i)\) et d'effectif total \(N\) est :

   • ✓\(\bar{x}=\dfrac{1}{N}\sum n_i x_i\)
   • B\(\bar{x}=\sum x_i\)
   • C\(\bar{x}=\dfrac{\sum x_i}{\sum n_i^2}\)
   • D\(\bar{x}=\dfrac{N}{\sum n_i x_i}\)

   Remarque

   La moyenne pondérée vaut \(\bar{x}=\dfrac{1}{N}\sum n_i x_i\) avec \(N=\sum n_i\).

2. Question 2

   La médiane d'une série ordonnée est la valeur qui :

   • Aa le plus grand effectif
   • ✓partage la série en deux moitiés de même effectif
   • Cest la plus grande valeur
   • Dest la moyenne des extrêmes

   Remarque

   La médiane sépare la série ordonnée en deux parties de \(50\%\) des effectifs chacune.

3. Question 3

   Le mode d'une série statistique est :

   • Ala valeur centrale
   • ✓la valeur de plus grand effectif
   • Cla moyenne arrondie
   • Dl'écart entre max et min

   Remarque

   Le mode est la valeur (ou la classe) qui a le plus grand effectif.

4. Question 4

   L'étendue d'une série est égale à :

   • A\(\text{max}+\text{min}\)
   • B\(\text{max}\times\text{min}\)
   • ✓\(\text{max}-\text{min}\)
   • Dla moyenne des valeurs

   Remarque

   L'étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur : \(\text{max}-\text{min}\).

5. Question 5

   La variance \(V\) d'une série est définie par :

   • ✓\(V=\dfrac{1}{N}\sum n_i(x_i-\bar{x})^2\)
   • B\(V=\dfrac{1}{N}\sum n_i(x_i-\bar{x})\)
   • C\(V=\sqrt{\dfrac{1}{N}\sum n_i x_i^2}\)
   • D\(V=\dfrac{1}{N}\sum n_i|x_i-\bar{x}|\)

   Remarque

   La variance est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne : \(V=\dfrac{1}{N}\sum n_i(x_i-\bar{x})^2\).

6. Question 6

   L'écart-type \(\sigma\) est égal à :

   • A\(V^2\)
   • ✓\(\sqrt{V}\)
   • C\(\dfrac{V}{N}\)
   • D\(2V\)

   Remarque

   L'écart-type est la racine carrée de la variance : \(\sigma=\sqrt{V}\).

7. Question 7

   La fréquence \(f_i\) associée à la valeur \(x_i\) est :

   • A\(n_i\times N\)
   • ✓\(\dfrac{n_i}{N}\)
   • C\(\dfrac{N}{n_i}\)
   • D\(n_i-N\)

   Remarque

   \(f_i=\dfrac{n_i}{N}\) : part de l'effectif total représentée par la valeur \(x_i\).

8. Question 8

   La somme de toutes les fréquences \(\sum f_i\) vaut :

   • A\(N\)
   • B\(0\)
   • ✓\(1\)
   • D\(100\)

   Remarque

   \(\sum f_i=\dfrac{\sum n_i}{N}=\dfrac{N}{N}=1\) (soit \(100\%\)).

9. Question 9

   Pour une série regroupée en classes, le calcul de la moyenne utilise, pour chaque classe :

   • Ala borne supérieure
   • ✓le centre de la classe
   • Cl'amplitude de la classe
   • Dl'effectif cumulé

   Remarque

   On remplace chaque classe par son centre \(c_i=\dfrac{\text{borne inf}+\text{borne sup}}{2}\) pour calculer la moyenne.

10. Question 10

    La formule de König-Huygens exprime la variance sous la forme :

    • ✓\(V=\dfrac{1}{N}\sum n_i x_i^2-\bar{x}^2\)
    • B\(V=\bar{x}^2-\dfrac{1}{N}\sum n_i x_i^2\)
    • C\(V=\dfrac{1}{N}\sum n_i x_i^2+\bar{x}^2\)
    • D\(V=\Big(\dfrac{1}{N}\sum n_i x_i\Big)^2\)

    Remarque

    König-Huygens : \(V=\underbrace{\dfrac{1}{N}\sum n_i x_i^2}_{\text{moyenne des carrés}}-\bar{x}^2\) (« moyenne des carrés moins carré de la moyenne »).

11. Question 11

    Pour une série de valeurs \(2,\ 4,\ 6,\ 8\) (mêmes effectifs), la moyenne est :

    • A\(4\)
    • ✓\(5\)
    • C\(6\)
    • D\(20\)

    Remarque

    \(\bar{x}=\dfrac{2+4+6+8}{4}=\dfrac{20}{4}=5\).

12. Question 12

    L'étendue de la série \(3,\ 7,\ 2,\ 9,\ 5\) est :

    • A\(9\)
    • ✓\(7\)
    • C\(2\)
    • D\(11\)

    Remarque

    \(\text{max}-\text{min}=9-2=7\).

13. Question 13

    Lorsque l'effectif total est pair, la médiane est :

    • Ala valeur centrale unique
    • ✓la moyenne des deux valeurs centrales
    • Cla plus grande des deux valeurs centrales
    • Dtoujours égale à la moyenne

    Remarque

    Effectif pair \(\Rightarrow\) la médiane est la demi-somme des deux valeurs centrales. Ex. pour \(1,3,5,7\) : \(\dfrac{3+5}{2}=4\).

14. Question 14

    L'écart interquartile est égal à :

    • ✓\(Q_3-Q_1\)
    • B\(Q_1-Q_3\)
    • C\(Q_2\)
    • D\(\text{max}-\text{min}\)

    Remarque

    L'écart interquartile \(Q_3-Q_1\) contient les \(50\%\) centraux des données ; \(\text{max}-\text{min}\) est l'étendue.

15. Question 15

    Le premier quartile \(Q_1\) est une valeur telle qu'au moins :

    • ✓\(25\%\) des valeurs lui sont inférieures ou égales
    • B\(50\%\) des valeurs lui sont inférieures
    • C\(75\%\) des valeurs lui sont supérieures
    • D\(10\%\) des valeurs lui sont égales

    Remarque

    \(Q_1\) est la plus petite valeur telle qu'au moins \(25\%\) des données lui soient \(\le\) (et \(Q_3\) pour \(75\%\)).

16. Question 16

    L'écart-type mesure :

    • Ala valeur la plus fréquente
    • ✓la dispersion des valeurs autour de la moyenne
    • Cla valeur centrale
    • Dle nombre de données

    Remarque

    L'écart-type quantifie la dispersion (l'étalement) des valeurs autour de la moyenne \(\bar{x}\).

17. Question 17

    L'effectif cumulé croissant d'une valeur \(x_i\) représente :

    • Al'effectif de \(x_i\) seul
    • ✓le nombre d'individus dont la valeur est \(\le x_i\)
    • Cla fréquence de \(x_i\)
    • Dl'effectif total \(N\)

    Remarque

    L'effectif cumulé croissant en \(x_i\) est le nombre total d'individus de valeur inférieure ou égale à \(x_i\).

18. Question 18

    Si l'on ajoute une même constante \(a\) à toutes les valeurs d'une série, alors :

    • ✓la moyenne augmente de \(a\) et l'écart-type est inchangé
    • Bla moyenne et l'écart-type augmentent de \(a\)
    • Cla moyenne est inchangée
    • Dl'écart-type est multiplié par \(a\)

    Remarque

    Une translation décale la moyenne de \(a\) mais ne modifie pas la dispersion : \(\sigma\) reste inchangé.

19. Question 19

    Si l'on multiplie toutes les valeurs par une constante \(k>0\), alors :

    • ✓la moyenne est multipliée par \(k\) et l'écart-type par \(k\)
    • Bla moyenne par \(k\) et l'écart-type par \(k^2\)
    • Crien ne change
    • Dla moyenne par \(k^2\) et l'écart-type par \(k\)

    Remarque

    \(\bar{x}\to k\bar{x}\), \(\sigma\to k\sigma\) (et la variance \(V\to k^2V\)).

20. Question 20

    La variance d'une série statistique est :

    • Atoujours strictement négative
    • ✓toujours positive ou nulle
    • Ctoujours égale à la moyenne
    • Dtoujours égale à \(1\)

    Remarque

    Somme de carrés d'écarts \(\ge0\) : \(V\ge0\). Elle est nulle uniquement si toutes les valeurs sont égales.

21. Question 21

    Comparée à la moyenne, la médiane est un indicateur :

    • Aplus sensible aux valeurs extrêmes
    • ✓moins sensible aux valeurs extrêmes (plus robuste)
    • Ctoujours égal à la moyenne
    • Dqui dépend de l'écart-type

    Remarque

    La médiane n'utilise que le rang central : elle est peu affectée par les valeurs aberrantes, contrairement à la moyenne.

22. Question 22

    Pour une série de fréquences \((f_i)\), la moyenne peut s'écrire :

    • ✓\(\bar{x}=\sum f_i x_i\)
    • B\(\bar{x}=\dfrac{\sum x_i}{\sum f_i}\)
    • C\(\bar{x}=\sum f_i\)
    • D\(\bar{x}=\dfrac{1}{\sum f_i x_i}\)

    Remarque

    Comme \(f_i=\dfrac{n_i}{N}\), on a \(\bar{x}=\dfrac{1}{N}\sum n_i x_i=\sum f_i x_i\).