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Les polynômes constituent un chapitre algébrique riche et très présent dans les sujets de Sciences Maths. Cette fiche réunit le degré, les racines, la factorisation par (x − α), la division euclidienne, le schéma de Horner et l'étude du trinôme du second degré. En 1ʳᵉ Bac SM, le théorème reine est que P(α) = 0 équivaut à ce que (x − α) divise P : une racine trouvée, c'est un degré de moins. Le réflexe malin pour un reste modulo un polynôme scindé : évaluer en ses racines plutôt que poser la division.

P(x)
Fiche de révision · 1ʳᵉ Bac Sciences Maths

Polynômes — Racines, division, Horner, trinôme

Math Excellence
1 · Degré, racines & division
Polynôme
P(x)=anxn+⋯+a0P(x)=a_nx^n+\cdots+a_0
degré nn si an≠0a_n\neq0
Degré
deg⁡(PQ)=deg⁡P+deg⁡Q\deg(PQ)=\deg P+\deg Q
deg⁡(P+Q)≤max⁡\deg(P+Q)\le\max
Racine (théorème-clé)
P(α)=0  ⟺  (x−α)∣PP(\alpha)=0\iff(x-\alpha)\mid P
un facteur, un degré de moins
Nombre de racines
au plus nn
plus de nn zéros ⇒\Rightarrow nul
Division euclidienne
A=BQ+R,\ \deg R<\deg B
couple (Q,R)(Q,R) unique
Identification
mêmes coefficients
identité →\to système
2 · Horner & reste
Schéma de Horner
  • diviser par (x−α)(x-\alpha) en une seule ligne
  • recopier ana_n, puis ×α\times\alpha et ajouter le suivant
dernière case =P(α)==P(\alpha)= reste
Deux usages pour le prix d'un
  • Horner factorise et évalue en même temps
  • façon la plus rapide de calculer P(α)P(\alpha)
Chercher une racine évidente
  • tester 0, ±1, ±2,…0,\ \pm1,\ \pm2,\dots (diviseurs du terme constant)
  • une racine →\to un facteur (x−α)(x-\alpha)
Reste par évaluation
  • BB scindé : évaluer en ses racines
  • reste modulo (x2−1)(x^2-1) : R=αx+βR=\alpha x+\beta via A(1),A(−1)A(1),A(-1)
Astuce : bien plus rapide que la division posée.
3 · Formules & réflexes
P(α)=0  ⟺  (x−α)∣PP(\alpha)=0\iff(x-\alpha)\mid P
deg⁡(PQ)=deg⁡P+deg⁡Q\deg(PQ)=\deg P+\deg Q
au plus nn racines
A=BQ+R,\ \deg R<\deg B
Horner : dernière case =P(α)=P(\alpha)
Δ=b2−4ac\Delta=b^2-4ac
x1+x2=−bax_1+x_2=-\tfrac ba, x1x2=cax_1x_2=\tfrac ca
signe de aa sauf entre les racines
4 · Trinôme du second degré
Discriminant Δ=b2−4ac\Delta=b^2-4ac
  • Δ>0\Delta>0 : deux racines ; Δ=0\Delta=0 : racine double
  • \Delta<0 : aucune racine réelle
Racines & factorisation
  • x1,2=−b±Δ2ax_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a}
  • P(x)=a(x−x1)(x−x2)P(x)=a(x-x_1)(x-x_2)
Somme & produit
  • x1+x2=−ba,x1x2=cax_1+x_2=-\dfrac ba,\quad x_1x_2=\dfrac ca
  • retrouver des racines de tête
Signe du trinôme
  • du signe de aa, sauf entre les racines
  • \Delta<0 : signe de aa sur tout R\mathbb{R}
★ Astuces géniales
  • Théorème reine : P(α)=0  ⟺  (x−α)∣PP(\alpha)=0\iff(x-\alpha)\mid P — une racine trouvée, c'est un degré de moins.
  • Horner factorise et évalue d'un coup ; la dernière case vaut P(α)P(\alpha).
  • Pour un reste modulo un BB scindé, évaluer en les racines de BB — sans division posée.
  • Trinôme : Δ=b2−4ac\Delta=b^2-4ac, somme −ba-\tfrac ba, produit ca\tfrac ca, signe de aa hors des racines.
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