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1ʳᵉ Bac · Sciences Maths · Chapitre 16

Géométrie analytique de l'espace

1 · Résumé du cours

1.1 Coordonnées dans un repère

Définition On fixe un repère (O,ı⃗,ȷ⃗,k⃗)(O,\vec\imath,\vec\jmath,\vec k) de l'espace. Un point MM a pour coordonnées (x,y,z)(x,y,z) si OM→=xı⃗+yȷ⃗+zk⃗\overrightarrow{OM}=x\vec\imath+y\vec\jmath+z\vec k. Un vecteur u⃗\vec u a pour coordonnées (x,y,z)(x,y,z) dans la base (ı⃗,ȷ⃗,k⃗)(\vec\imath,\vec\jmath,\vec k) si u⃗=xı⃗+yȷ⃗+zk⃗\vec u=x\vec\imath+y\vec\jmath+z\vec k.
Calculs sur les coordonnées Si A(xA,yA,zA)A(x_A,y_A,z_A) et B(xB,yB,zB)B(x_B,y_B,z_B) : AB→ (xB−xA, yB−yA, zB−zA),milieu de [AB] (xA+xB2,yA+yB2,zA+zB2).\overrightarrow{AB}\,\big(x_B-x_A,\ y_B-y_A,\ z_B-z_A\big),\qquad \text{milieu de }[AB]\ \Big(\tfrac{x_A+x_B}2,\tfrac{y_A+y_B}2,\tfrac{z_A+z_B}2\Big). La somme et la multiplication par un réel se font coordonnée par coordonnée.

1.2 Déterminant de trois vecteurs

Définition Le déterminant de u⃗(x,y,z)\vec u(x,y,z), v⃗(x′,y′,z′)\vec v(x',y',z'), w⃗(x′′,y′′,z′′)\vec w(x'',y'',z'') est le réel det⁡(u⃗,v⃗,w⃗)=∣xx′x′′yy′y′′zz′z′′∣=x∣y′y′′z′z′′∣−x′∣yy′′zz′′∣+x′′∣yy′zz′∣,\det(\vec u,\vec v,\vec w)=\begin{vmatrix} x & x' & x''\\ y & y' & y''\\ z & z' & z''\end{vmatrix}=x\begin{vmatrix} y' & y''\\ z' & z''\end{vmatrix}-x'\begin{vmatrix} y & y''\\ z & z''\end{vmatrix}+x''\begin{vmatrix} y & y'\\ z & z'\end{vmatrix}, où ∣abcd∣=ad−bc\begin{vmatrix} a & b\\ c & d\end{vmatrix}=ad-bc.
Colinéarité de deux vecteurs u⃗(x,y,z)\vec u(x,y,z) et v⃗(x′,y′,z′)\vec v(x',y',z') sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles, c.-à-d. si les trois « déterminants 2×22\times2 » yz′−y′zyz'-y'z, zx′−z′xzx'-z'x, xy′−x′yxy'-x'y sont tous nuls.
Coplanarité de trois vecteurs u⃗,v⃗,w⃗\vec u,\vec v,\vec w sont coplanaires si et seulement si det⁡(u⃗,v⃗,w⃗)=0\det(\vec u,\vec v,\vec w)=0. S'il est non nul, les trois vecteurs forment une base de l'espace.
Le déterminant, test de « vraie 3D » det⁡=0\det=0 signifie « les trois vecteurs tiennent dans un plan » ; det⁡≠0\det\neq0 signifie « ils remplissent l'espace ». C'est l'outil analytique pour prouver qu'un point est dans un plan, ou que quatre points sont coplanaires.

1.3 Représentation paramétrique d'une droite

Définition La droite (D)(D) passant par A(xA,yA,zA)A(x_A,y_A,z_A) et de vecteur directeur u⃗(a,b,c)\vec u(a,b,c) admet la représentation paramétrique {x=xA+t ay=yA+t bz=zA+t ct∈R.\begin{cases} x=x_A+t\,a\\ y=y_A+t\,b\\ z=z_A+t\,c\end{cases}\qquad t\in\mathbb{R}.
Positions relatives de deux droites Deux droites de vecteurs directeurs u⃗\vec u et u⃗′\vec u' :
  • u⃗,u⃗′\vec u,\vec u' colinéaires : les droites sont parallèles (confondues ou strictement) ;
  • u⃗,u⃗′\vec u,\vec u' non colinéaires : elles sont sécantes (si coplanaires) ou non coplanaires (« gauches »).

1.4 Plan : paramétrique et équation cartésienne

Représentation paramétrique Le plan (P)(P) passant par AA et dirigé par u⃗(a,b,c)\vec u(a,b,c), v⃗(a′,b′,c′)\vec v(a',b',c') non colinéaires est l'ensemble des points {x=xA+t a+s a′y=yA+t b+s b′z=zA+t c+s c′t,s∈R.\begin{cases} x=x_A+t\,a+s\,a'\\ y=y_A+t\,b+s\,b'\\ z=z_A+t\,c+s\,c'\end{cases}\qquad t,s\in\mathbb{R}.
Équation cartésienne Tout plan admet une équation cartésienne ax+by+cz+d=0ax+by+cz+d=0 avec (a,b,c)≠(0,0,0)(a,b,c)\neq(0,0,0), et réciproquement toute telle équation représente un plan.
Positions relatives de deux plans Deux plans ax+by+cz+d=0ax+by+cz+d=0 et a′x+b′y+c′z+d′=0a'x+b'y+c'z+d'=0 :
  • si (a,b,c)(a,b,c) et (a′,b′,c′)(a',b',c') sont proportionnels : plans parallèles (confondus si dd suit la même proportion, strictement parallèles sinon) ;
  • sinon : plans sécants selon une droite.
Droite comme intersection de deux plans Une droite de l'espace peut être décrite par deux équations cartésiennes (intersection de deux plans sécants) : (D): {ax+by+cz+d=0a′x+b′y+c′z+d′=0(D):\ \begin{cases} ax+by+cz+d=0\\ a'x+b'y+c'z+d'=0\end{cases}
Position d'une droite et d'un plan Pour (D)(D) de vecteur directeur u⃗\vec u et (P):ax+by+cz+d=0(P):ax+by+cz+d=0, on reporte la paramétrisation de (D)(D) dans l'équation de (P)(P). L'équation obtenue en tt a :
  • une solution : (D)(D) sécante à (P)(P) (un point) ;
  • aucune solution : (D)(D) strictement parallèle à (P)(P) ;
  • une infinité : (D)(D) incluse dans (P)(P).

2 · Exercices résolus

Coplanarité

Exercice 1

Les points A(1,0,1)A(1,0,1), B(2,1,0)B(2,1,0), C(0,1,2)C(0,1,2), D(1,2,1)D(1,2,1) sont-ils coplanaires ?

Voir la correction

On teste la coplanarité de AB→(1,1,−1)\overrightarrow{AB}(1,1,-1), AC→(−1,1,1)\overrightarrow{AC}(-1,1,1), AD→(0,2,0)\overrightarrow{AD}(0,2,0) : det⁡=∣1−10112−110∣=1(1⋅0−2⋅1)−(−1)(1⋅0−2⋅(−1))+0=−2+2=0.\det=\begin{vmatrix} 1 & -1 & 0\\ 1 & 1 & 2\\ -1 & 1 & 0\end{vmatrix}=1(1\cdot0-2\cdot1)-(-1)(1\cdot0-2\cdot(-1))+0=-2+2=0. Le déterminant est nul : les quatre points sont coplanaires. ∎

Droite ∩ plan

Exercice 2

Déterminer l'intersection de la droite (D):{x=1+ty=2tz=−t(D):\begin{cases}x=1+t\\ y=2t\\ z=-t\end{cases} et du plan (P):x+y+z−4=0(P):x+y+z-4=0.

Voir la correction

On reporte la paramétrisation dans (P)(P) : (1+t)+(2t)+(−t)−4=0  ⟺  2t−3=0  ⟺  t=32(1+t)+(2t)+(-t)-4=0\iff2t-3=0\iff t=\frac32.

Une seule solution : (D)(D) est sécante à (P)(P). Le point d'intersection (pour t=32t=\frac32) : x=52, y=3, z=−32x=\frac52,\ y=3,\ z=-\frac32, soit I(52,3,−32)I\big(\frac52,3,-\frac32\big). ∎

L'essentiel du chapitre
  • Coordonnées : tout se calcule coordonnée par coordonnée (vecteur AB→\overrightarrow{AB}, milieu).
  • Déterminant de trois vecteurs : nul   ⟺  \iff coplanaires ; non nul   ⟺  \iff base de l'espace.
  • Droite : paramétrique (point + vecteur directeur), ou intersection de deux plans.
  • Plan : paramétrique (point + deux vecteurs), ou cartésienne ax+by+cz+d=0ax+by+cz+d=0.
  • Position droite/plan : reporter la paramétrisation dans l'équation du plan et compter les solutions.
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