QCM — Géométrie analytique de l'espace

Le corrigé complet de ce QCM, question par question — la bonne réponse est surlignée en vert, suivie d'une remarque. Pratique pour réviser ou vérifier après avoir répondu.

1. Question 1

   Dans un repère orthonormé, la distance \(AB\) est égale à :

   • A\((x_B-x_A)+(y_B-y_A)+(z_B-z_A)\)
   • ✓\(\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}\)
   • C\((x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2\)
   • D\(\sqrt{|x_B-x_A|+|y_B-y_A|+|z_B-z_A|}\)

   Remarque

   \(AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}\) (formule valable seulement en repère orthonormé).

2. Question 2

   Pour \(A(2,-1,3)\) et \(B(4,1,3)\), la distance \(AB\) vaut :

   • A\(2\)
   • ✓\(2\sqrt2\)
   • C\(4\)
   • D\(\sqrt{10}\)

   Remarque

   \(AB=\sqrt{2^2+2^2+0^2}=\sqrt8=2\sqrt2\).

3. Question 3

   La norme du vecteur \(\vec u(2,1,2)\) est :

   • A\(5\)
   • ✓\(3\)
   • C\(\sqrt5\)
   • D\(2\sqrt2\)

   Remarque

   \(\|\vec u\|=\sqrt{2^2+1^2+2^2}=\sqrt9=3\).

4. Question 4

   Les coordonnées du milieu \(I\) de \([AB]\) avec \(A(1,2,3)\) et \(B(3,0,1)\) sont :

   • ✓\((2,1,2)\)
   • B\((4,2,4)\)
   • C\((2,-2,-2)\)
   • D\((1,1,1)\)

   Remarque

   \(I=\Big(\dfrac{1+3}{2},\dfrac{2+0}{2},\dfrac{3+1}{2}\Big)=(2,1,2)\).

5. Question 5

   Trois vecteurs de l'espace sont coplanaires si et seulement si leur déterminant est :

   • Aégal à \(1\)
   • ✓nul
   • Cstrictement positif
   • Dstrictement négatif

   Remarque

   \(\det(\vec u,\vec v,\vec w)=0\Leftrightarrow\) les trois vecteurs sont coplanaires (donc ne forment pas une base).

6. Question 6

   Les vecteurs \(\vec u(1,1,0)\), \(\vec v(1,0,1)\), \(\vec w(2,1,1)\) sont :

   • Aune base (déterminant non nul)
   • ✓coplanaires, car \(\vec w=\vec u+\vec v\)
   • Cdeux à deux orthogonaux
   • Dcolinéaires

   Remarque

   \(\vec u+\vec v=(2,1,1)=\vec w\) : \(\vec w\) est combinaison linéaire de \(\vec u,\vec v\), donc les trois vecteurs sont coplanaires (déterminant nul).

7. Question 7

   Une représentation paramétrique de la droite passant par \(A(x_0,y_0,z_0)\) de vecteur directeur \(\vec u(a,b,c)\) est :

   • ✓\(\begin{cases}x=x_0+ta\\ y=y_0+tb\\ z=z_0+tc\end{cases}\ (t\in\mathbb{R})\)
   • B\(ax+by+cz=0\)
   • C\(\begin{cases}x=ta\\ y=tb\\ z=tc\end{cases}\)
   • D\(x_0x+y_0y+z_0z=0\)

   Remarque

   On ajoute au point \(A\) le vecteur \(t\vec u\) : \(x=x_0+ta,\ y=y_0+tb,\ z=z_0+tc\), avec \(t\in\mathbb{R}\).

8. Question 8

   Un vecteur directeur de la droite \(\begin{cases}x=1+2t\\ y=3-t\\ z=t\end{cases}\) est :

   • A\((1,3,0)\)
   • ✓\((2,-1,1)\)
   • C\((1,-3,1)\)
   • D\((2,1,1)\)

   Remarque

   Les coefficients de \(t\) donnent le vecteur directeur : \(\vec u(2,-1,1)\). Le point \((1,3,0)\) est un point de la droite.

9. Question 9

   L'équation cartésienne d'un plan de l'espace est de la forme :

   • ✓\(ax+by+cz+d=0\) avec \((a,b,c)\neq(0,0,0)\)
   • B\(ax+by=c\)
   • C\(x^2+y^2+z^2=r^2\)
   • D\(y=ax+b\)

   Remarque

   Un plan a une équation cartésienne \(ax+by+cz+d=0\) où \((a,b,c)\neq(0,0,0)\). \(x^2+y^2+z^2=r^2\) est celle d'une sphère.

10. Question 10

    Le point \(A(1,0,1)\) appartient-il au plan \((P):\ 2x-y+z-3=0\) ?

    • ✓Oui, car \(2(1)-0+1-3=0\)
    • BNon, car on obtient \(3\)
    • CNon, car on obtient \(-3\)
    • DOn ne peut pas savoir

    Remarque

    On remplace : \(2(1)-0+1-3=0\). L'égalité est vérifiée, donc \(A\in(P)\).

11. Question 11

    Une représentation paramétrique d'un plan nécessite :

    • Aun point et un vecteur directeur
    • ✓un point et deux vecteurs directeurs non colinéaires
    • Ctrois points alignés
    • Dun seul paramètre

    Remarque

    Un plan est engendré par un point et deux vecteurs directeurs non colinéaires : \(M=A+t\vec u+s\vec v\), avec deux paramètres \(t,s\).

12. Question 12

    Le nombre de paramètres d'une représentation paramétrique d'une droite / d'un plan est respectivement :

    • A\(1\) et \(1\)
    • ✓\(1\) et \(2\)
    • C\(2\) et \(3\)
    • D\(2\) et \(1\)

    Remarque

    Une droite est de « dimension 1 » (\(1\) paramètre), un plan de « dimension 2 » (\(2\) paramètres).

13. Question 13

    Deux droites de l'espace sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont :

    • Aorthogonaux
    • ✓colinéaires
    • Cde même norme
    • Dnon coplanaires

    Remarque

    Parallélisme de droites \(\Leftrightarrow\) vecteurs directeurs colinéaires.

14. Question 14

    \(\det(\vec u,\vec v,\vec w)\neq 0\) signifie que \((\vec u,\vec v,\vec w)\) :

    • ✓est une base de l'espace
    • Best une famille coplanaire
    • Ccontient le vecteur nul
    • Dest colinéaire

    Remarque

    Déterminant non nul \(\Leftrightarrow\) vecteurs non coplanaires \(\Leftrightarrow\) base de l'espace.

15. Question 15

    Trois points \(A,B,C\) non alignés définissent :

    • Aune droite
    • ✓un unique plan
    • Cune sphère
    • Daucun objet précis

    Remarque

    Trois points non alignés déterminent un et un seul plan (celui contenant \(A,B,C\)).

16. Question 16

    Sur la droite \(\begin{cases}x=t\\ y=1+t\\ z=2-t\end{cases}\), le point obtenu pour \(t=1\) est :

    • ✓\((1,2,1)\)
    • B\((1,1,2)\)
    • C\((0,1,2)\)
    • D\((1,0,1)\)

    Remarque

    Pour \(t=1\) : \(x=1,\ y=1+1=2,\ z=2-1=1\), soit le point \((1,2,1)\).

17. Question 17

    La distance de l'origine \(O\) au point \(A(3,4,0)\) vaut :

    • A\(7\)
    • ✓\(5\)
    • C\(\sqrt7\)
    • D\(12\)

    Remarque

    \(OA=\sqrt{3^2+4^2+0^2}=\sqrt{25}=5\).

18. Question 18

    Le plan \((xOy)\) a pour équation cartésienne :

    • A\(x=0\)
    • B\(y=0\)
    • ✓\(z=0\)
    • D\(x+y=0\)

    Remarque

    \((xOy)\) est l'ensemble des points de cote nulle : son équation est \(z=0\).

19. Question 19

    L'axe \((Ox)\) est dirigé par le vecteur :

    • ✓\(\vec i(1,0,0)\)
    • B\(\vec j(0,1,0)\)
    • C\(\vec k(0,0,1)\)
    • D\((1,1,1)\)

    Remarque

    \((Ox)\) passe par \(O\) et est dirigé par le premier vecteur de base \(\vec i(1,0,0)\).

20. Question 20

    Le plan parallèle à \((xOy)\) passant par le point \((0,0,3)\) a pour équation :

    • A\(x=3\)
    • B\(y=3\)
    • ✓\(z=3\)
    • D\(x+y+z=3\)

    Remarque

    Parallèle à \((xOy)\) : \(z=\text{cste}\). En passant par \((0,0,3)\), l'équation est \(z=3\).

21. Question 21

    Les vecteurs \(\vec u(1,-2,3)\) et \(\vec v(2,-4,6)\) sont colinéaires car :

    • ✓\(\vec v=2\vec u\)
    • B\(\vec u\cdot\vec v=0\)
    • Cils ont la même norme
    • Dleur déterminant vaut \(1\)

    Remarque

    Chaque coordonnée de \(\vec v\) est le double de celle de \(\vec u\) : \(\vec v=2\vec u\), donc colinéarité.

22. Question 22

    Si le déterminant de trois vecteurs est nul, ces vecteurs :

    • Aforment une base de l'espace
    • ✓ne peuvent pas former une base de l'espace
    • Csont nécessairement égaux
    • Dsont deux à deux orthogonaux

    Remarque

    Déterminant nul \(\Leftrightarrow\) coplanaires : ils ne sont pas indépendants, donc ne forment pas une base.