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1ʳᵉ Bac · Sciences Maths · Chapitre 15

Vecteurs de l'espace

1 · Résumé du cours

1.1 Vecteurs et opérations

Définition Un vecteur de l'espace est caractérisé par une direction, un sens et une norme (longueur). Deux vecteurs sont égaux s'ils ont ces trois éléments en commun : AB→=CD→\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD} signifie que ABDCABDC est un parallélogramme.
Somme et relation de Chasles Comme dans le plan : AB→+BC→=AC→ (Chasles),AB→+AD→=AC→ si ABCD est un paralleˊlogramme.\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\ (\text{Chasles}),\qquad \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}\ \text{si }ABCD\text{ est un parallélogramme}. La multiplication par un réel obéit aux mêmes règles que dans le plan.

1.2 Colinéarité et alignement

Définition Deux vecteurs u⃗\vec u et v⃗\vec v (avec u⃗≠0⃗\vec u\neq\vec0) sont colinéaires s'il existe un réel kk tel que v⃗=k u⃗\vec v=k\,\vec u.
Alignement et parallélisme
  • Trois points A,B,CA,B,C sont alignés   ⟺  \iff AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} sont colinéaires ;
  • les droites (AB)(AB) et (CD)(CD) sont parallèles   ⟺  \iff AB→\overrightarrow{AB} et CD→\overrightarrow{CD} sont colinéaires.
Définition vectorielle d'une droite La droite passant par AA et de vecteur directeur u⃗≠0⃗\vec u\neq\vec0 est l'ensemble des points MM tels que AM→=t u⃗,t∈R.\overrightarrow{AM}=t\,\vec u,\qquad t\in\mathbb{R}.

1.3 Plan et vecteurs coplanaires

Définition vectorielle d'un plan Le plan passant par AA et dirigé par deux vecteurs non colinéaires u⃗\vec u et v⃗\vec v est l'ensemble des points MM tels que AM→=t u⃗+s v⃗,t,s∈R.\overrightarrow{AM}=t\,\vec u+s\,\vec v,\qquad t,s\in\mathbb{R}. Le couple (u⃗,v⃗)(\vec u,\vec v) forme une base du plan.
Vecteurs coplanaires Trois vecteurs u⃗,v⃗,w⃗\vec u,\vec v,\vec w sont coplanaires s'ils admettent des représentants dans un même plan.
Caractérisation Si u⃗\vec u et v⃗\vec v ne sont pas colinéaires, alors u⃗,v⃗,w⃗\vec u,\vec v,\vec w sont coplanaires si et seulement si w⃗\vec w est une combinaison linéaire de u⃗\vec u et v⃗\vec v : ∃ a,b∈R,w⃗=a u⃗+b v⃗.\exists\,a,b\in\mathbb{R},\quad \vec w=a\,\vec u+b\,\vec v.
Coplanaires = « pas de vraie 3D » Trois vecteurs coplanaires « tiennent » dans un même plan : ils ne suffisent pas à décrire tout l'espace. À l'inverse, trois vecteurs non coplanaires forment une base de l'espace — tout vecteur s'écrit alors de façon unique w⃗=au⃗+bv⃗+ct⃗\vec w=a\vec u+b\vec v+c\vec t. C'est l'analogue 3D de « deux vecteurs non colinéaires » dans le plan.
Points coplanaires Quatre points A,B,C,DA,B,C,D sont coplanaires   ⟺  \iff les vecteurs AB→,AC→,AD→\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD} sont coplanaires   ⟺  \iff AD→\overrightarrow{AD} est combinaison linéaire de AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} (si ces deux-là ne sont pas colinéaires).

2 · Exercices résolus

Tétraèdre

Exercice 1

ABCDABCD est un tétraèdre. II est le milieu de [AB][AB], JJ celui de [CD][CD]. Exprimer IJ→\overrightarrow{IJ} en fonction de AC→\overrightarrow{AC} et BD→\overrightarrow{BD}.

Voir la correction

Par Chasles : IJ→=IA→+AC→+CJ→\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CJ} et IJ→=IB→+BD→+DJ→\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DJ}.

En additionnant : IA→+IB→=0⃗\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\vec0 (II milieu de [AB][AB]) et CJ→+DJ→=0⃗\overrightarrow{CJ}+\overrightarrow{DJ}=\vec0 (JJ milieu de [CD][CD]). Il reste 2 IJ→=AC→+BD→2\,\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}, donc IJ→=12(AC→+BD→).\overrightarrow{IJ}=\tfrac12\big(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}\big). ∎

Coplanarité

Exercice 2

On donne u⃗,v⃗,w⃗\vec u,\vec v,\vec w avec w⃗=2u⃗−3v⃗\vec w=2\vec u-3\vec v. Ces trois vecteurs sont-ils coplanaires ?

Voir la correction

w⃗\vec w est une combinaison linéaire de u⃗\vec u et v⃗\vec v (a=2, b=−3a=2,\ b=-3). Par la caractérisation, les trois vecteurs sont donc coplanaires. ∎

L'essentiel du chapitre
  • Tout le calcul vectoriel du plan (Chasles, colinéarité, barycentre) reste valable dans l'espace.
  • Alignement : AB→,AC→\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} colinéaires ; droite : AM→=tu⃗\overrightarrow{AM}=t\vec u.
  • Plan : AM→=tu⃗+sv⃗\overrightarrow{AM}=t\vec u+s\vec v (avec u⃗,v⃗\vec u,\vec v non colinéaires).
  • Coplanaires : w⃗=au⃗+bv⃗\vec w=a\vec u+b\vec v ; trois vecteurs non coplanaires forment une base de l'espace.
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