1ʳᵉ Bac · Sciences Maths · Chapitre 15

QCM — Vecteurs de l'espace

Colinéarité, vecteurs coplanaires, combinaisons linéaires, base et repère de l'espace, coordonnées, relation de Chasles et caractérisations de l'alignement et de la coplanarité. Questions auto-corrigées avec correction détaillée.

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Question 1 / 22

Trois vecteurs de l'espace forment une base si et seulement s'ils sont :

0 / 22 répondue

Réviser : les 22 questions et leur corrigé

Le corrigé complet de ce QCM, question par question — la bonne réponse est surlignée en vert, suivie d'une remarque. Pratique pour réviser ou vérifier après avoir répondu.

Question 1
Trois vecteurs de l'espace forment une base si et seulement s'ils sont :
- Acolinéaires
- Bcoplanaires
- ✓non coplanaires
- Dorthogonaux
Remarque
Une base de l'espace est constituée de trois vecteurs non coplanaires (l'orthogonalité n'est pas requise).
Question 2
Deux vecteurs \(\vec u\) et \(\vec v\) (\(\vec u\neq\vec 0\)) sont colinéaires si et seulement si :
- A\(\vec u=\vec v\)
- ✓il existe \(k\in\mathbb{R}\) tel que \(\vec v=k\vec u\)
- C\(\vec u\cdot\vec v=0\)
- Dils forment une base
Remarque
Colinéaires : l'un est un multiple de l'autre, \(\vec v=k\vec u\).
Question 3
Trois vecteurs sont coplanaires si et seulement si :
- ✓l'un est combinaison linéaire des deux autres
- Bils sont deux à deux orthogonaux
- Cils forment une base
- Dils sont tous égaux
Remarque
Coplanaires \(\Leftrightarrow\) l'un s'écrit \(\vec w=a\vec u+b\vec v\) : ils appartiennent à un même plan (vectoriel).
Question 4
La relation de Chasles s'écrit :
- ✓\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\)
- B\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}\)
- C\(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\)
- D\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\vec 0\)
Remarque
\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\), valable dans le plan comme dans l'espace.
Question 5
Les coordonnées du milieu \(I\) de \([AB]\) dans un repère de l'espace sont :
- A\(\big(x_A+x_B,\ y_A+y_B,\ z_A+z_B\big)\)
- ✓\(\Big(\dfrac{x_A+x_B}{2},\ \dfrac{y_A+y_B}{2},\ \dfrac{z_A+z_B}{2}\Big)\)
- C\(\big(x_B-x_A,\ y_B-y_A,\ z_B-z_A\big)\)
- D\(\Big(\dfrac{x_A+x_B}{3},\ \dfrac{y_A+y_B}{3},\ \dfrac{z_A+z_B}{3}\Big)\)
Remarque
Le milieu a pour coordonnées les moyennes : \(\Big(\dfrac{x_A+x_B}{2},\dfrac{y_A+y_B}{2},\dfrac{z_A+z_B}{2}\Big)\).
Question 6
Les coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{AB}\) sont :
- A\((x_A+x_B,\ y_A+y_B,\ z_A+z_B)\)
- ✓\((x_B-x_A,\ y_B-y_A,\ z_B-z_A)\)
- C\((x_A-x_B,\ y_A-y_B,\ z_A-z_B)\)
- D\(\Big(\dfrac{x_A+x_B}{2},\dots\Big)\)
Remarque
\(\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A,\ y_B-y_A,\ z_B-z_A)\) : coordonnées de l'extrémité moins celles de l'origine.
Question 7
Un repère de l'espace \((O,\vec i,\vec j,\vec k)\) est valable lorsque les vecteurs \(\vec i,\vec j,\vec k\) sont :
- Acolinéaires
- Bcoplanaires
- ✓non coplanaires
- Dde même norme
Remarque
Il faut que \((\vec i,\vec j,\vec k)\) soit une base, donc trois vecteurs non coplanaires.
Question 8
Un point de l'espace est repéré par :
- A\(1\) coordonnée
- B\(2\) coordonnées
- ✓\(3\) coordonnées
- D\(4\) coordonnées
Remarque
Dans un repère de l'espace, un point \(M\) est déterminé par un triplet \((x,y,z)\).
Question 9
Les vecteurs \(\vec u(1,2,3)\) et \(\vec v(2,4,6)\) sont :
- Aorthogonaux
- ✓colinéaires
- Cnon colinéaires
- Dcoplanaires seulement
Remarque
\(\vec v=2\vec u\) : les vecteurs sont colinéaires.
Question 10
Quatre points \(A,B,C,D\) sont coplanaires si et seulement si les vecteurs :
- ✓\(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\) sont coplanaires
- B\(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\) forment une base
- C\(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\) sont égaux
- D\(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires
Remarque
Les quatre points sont dans un même plan \(\Leftrightarrow\) les trois vecteurs \(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\) sont coplanaires.
Question 11
Dans une base \((\vec i,\vec j,\vec k)\), tout vecteur \(\vec u\) s'écrit \(\vec u=x\vec i+y\vec j+z\vec k\) :
- Ad'au moins deux façons
- ✓de façon unique
- Cseulement si \(\vec u\neq\vec 0\)
- Dseulement si \(\vec u\) est colinéaire à \(\vec i\)
Remarque
L'existence et l'unicité de la décomposition \((x,y,z)\) caractérisent une base.
Question 12
Si \(\vec u(x,y,z)\) et \(\vec v(x',y',z')\), alors \(\vec u+\vec v\) a pour coordonnées :
- A\((xx',yy',zz')\)
- ✓\((x+x',\ y+y',\ z+z')\)
- C\((x-x',\ y-y',\ z-z')\)
- D\((x+y+z,\ x'+y'+z')\)
Remarque
On additionne coordonnée par coordonnée : \((x+x',\ y+y',\ z+z')\).
Question 13
Le vecteur \(k\vec u\) (avec \(\vec u(x,y,z)\)) a pour coordonnées :
- ✓\((kx,\ ky,\ kz)\)
- B\((x+k,\ y+k,\ z+k)\)
- C\((k,\ k,\ k)\)
- D\((x^k,\ y^k,\ z^k)\)
Remarque
Multiplier un vecteur par un réel \(k\) multiplie chaque coordonnée : \((kx,ky,kz)\).
Question 14
Si \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\) sont colinéaires, alors les droites \((AB)\) et \((CD)\) sont :
- Asécantes
- ✓parallèles ou confondues
- Corthogonales
- Dtoujours confondues
Remarque
Des vecteurs directeurs colinéaires donnent des droites parallèles (ou confondues si elles ont un point commun).
Question 15
Trois points \(A,B,C\) sont alignés si et seulement si :
- ✓\(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires
- B\(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont orthogonaux
- C\(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\) forment une base
- D\(AB=AC\)
Remarque
Alignés \(\Leftrightarrow\) \(\overrightarrow{AC}=k\,\overrightarrow{AB}\), c'est-à-dire \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) colinéaires.
Question 16
Le vecteur nul \(\vec 0\) :
- An'est colinéaire à aucun vecteur
- ✓est colinéaire à tout vecteur
- Cforme une base à lui seul
- Da des coordonnées non définies
Remarque
\(\vec 0=0\cdot\vec u\) pour tout \(\vec u\) : le vecteur nul (coordonnées \((0,0,0)\)) est colinéaire à tout vecteur.
Question 17
Si \(\vec u\) et \(\vec v\) ne sont pas colinéaires et que \(\vec w\) est coplanaire à \(\vec u,\vec v\), alors :
- ✓il existe des réels \(a,b\) tels que \(\vec w=a\vec u+b\vec v\)
- B\(\vec w=\vec 0\)
- C\(\vec w\) est colinéaire à \(\vec u\)
- D\((\vec u,\vec v,\vec w)\) est une base
Remarque
\(\vec u,\vec v\) non colinéaires engendrent un plan ; \(\vec w\) coplanaire s'y décompose : \(\vec w=a\vec u+b\vec v\).
Question 18
Le milieu \(I\) de \([AB]\) vérifie :
- A\(\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AB}\)
- ✓\(\overrightarrow{AI}=\dfrac12\,\overrightarrow{AB}\)
- C\(\overrightarrow{AI}=2\,\overrightarrow{AB}\)
- D\(\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB}\) mais \(\overrightarrow{AI}\neq\dfrac12\overrightarrow{AB}\)
Remarque
\(I\) milieu \(\Rightarrow\overrightarrow{AI}=\dfrac12\,\overrightarrow{AB}\) (et \(\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB}\)).
Question 19
Deux vecteurs de l'espace \(\vec u\) et \(\vec v\) sont :
- ✓toujours coplanaires
- Bjamais coplanaires
- Ccoplanaires seulement s'ils sont colinéaires
- Dcoplanaires seulement s'ils sont orthogonaux
Remarque
Deux vecteurs appartiennent toujours à un même plan : la coplanarité n'est une vraie contrainte qu'à partir de trois vecteurs.
Question 20
Les coordonnées d'un vecteur dans une base donnée sont :
- Amultiples
- ✓uniques
- Ctoujours positives
- Dau nombre de deux
Remarque
Dans une base fixée, un vecteur admet un unique triplet de coordonnées.
Question 21
\(ABCDEFGH\) est un cube. Le vecteur \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}\) est égal à :
- ✓\(\overrightarrow{AG}\) (la diagonale du cube)
- B\(\overrightarrow{AC}\)
- C\(\vec 0\)
- D\(\overrightarrow{AH}\)
Remarque
Dans un cube (parallélépipède), la somme des trois arêtes issues de \(A\) donne la grande diagonale : \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AG}\).
Question 22
Si \((\vec u,\vec v,\vec w)\) est une base de l'espace, alors ces trois vecteurs sont :
- Acoplanaires
- ✓non coplanaires (donc linéairement indépendants)
- Cdeux à deux colinéaires
- Dtous égaux au vecteur nul
Remarque
Une base est faite de trois vecteurs non coplanaires ; aucun n'est combinaison linéaire des deux autres.

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