QCM — Produit scalaire dans l'espace

Le corrigé complet de ce QCM, question par question — la bonne réponse est surlignée en vert, suivie d'une remarque. Pratique pour réviser ou vérifier après avoir répondu.

1. Question 1

   En repère orthonormé, le produit scalaire \(\vec u\cdot\vec v\) de \(\vec u(x,y,z)\) et \(\vec v(x',y',z')\) vaut :

   • ✓\(xx'+yy'+zz'\)
   • B\(xy'+yz'+zx'\)
   • C\((x+x')(y+y')(z+z')\)
   • D\(\sqrt{xx'+yy'+zz'}\)

   Remarque

   L'expression analytique du produit scalaire en repère orthonormé est \(\vec u\cdot\vec v=xx'+yy'+zz'\).

2. Question 2

   Deux vecteurs non nuls \(\vec u\) et \(\vec v\) sont orthogonaux si et seulement si :

   • A\(\vec u=\vec v\)
   • ✓\(\vec u\cdot\vec v=0\)
   • C\(\vec u\cdot\vec v=1\)
   • D\(\vec u\wedge\vec v=\vec 0\)

   Remarque

   Orthogonalité \(\Leftrightarrow\) produit scalaire nul : \(\vec u\cdot\vec v=0\).

3. Question 3

   Pour tout vecteur \(\vec u\), on a \(\vec u\cdot\vec u\) égal à :

   • A\(0\)
   • B\(\|\vec u\|\)
   • ✓\(\|\vec u\|^2\)
   • D\(2\|\vec u\|\)

   Remarque

   \(\vec u\cdot\vec u=\|\vec u\|^2\), d'où \(\|\vec u\|=\sqrt{\vec u\cdot\vec u}\).

4. Question 4

   Le produit scalaire de \(\vec u(1,2,-1)\) et \(\vec v(2,-1,3)\) vaut :

   • A\(3\)
   • ✓\(-3\)
   • C\(7\)
   • D\(0\)

   Remarque

   \(\vec u\cdot\vec v=1\times2+2\times(-1)+(-1)\times3=2-2-3=-3\).

5. Question 5

   Les vecteurs \(\vec u(1,1,1)\) et \(\vec v(1,-2,1)\) sont :

   • Acolinéaires
   • ✓orthogonaux
   • Cégaux
   • Dde norme \(1\)

   Remarque

   \(\vec u\cdot\vec v=1-2+1=0\) : les vecteurs sont orthogonaux.

6. Question 6

   Un vecteur normal au plan \((P):\ ax+by+cz+d=0\) est :

   • ✓\((a,b,c)\)
   • B\((d,d,d)\)
   • C\((-a,-b,-c,-d)\)
   • D\((b,c,a)\)

   Remarque

   Les coefficients \((a,b,c)\) des inconnues donnent un vecteur normal \(\vec n(a,b,c)\) au plan.

7. Question 7

   Un vecteur normal au plan \((P):\ 2x-y+2z-3=0\) est :

   • ✓\((2,-1,2)\)
   • B\((-3,0,0)\)
   • C\((2,1,2)\)
   • D\((3,3,3)\)

   Remarque

   On lit les coefficients : \(\vec n(2,-1,2)\).

8. Question 8

   La distance d'un point \(M(x_0,y_0,z_0)\) au plan \((P):\ ax+by+cz+d=0\) est :

   • A\(\dfrac{ax_0+by_0+cz_0+d}{a+b+c}\)
   • ✓\(\dfrac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\)
   • C\(|ax_0+by_0+cz_0+d|\)
   • D\(\sqrt{a^2+b^2+c^2}\)

   Remarque

   \(d(M,(P))=\dfrac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\).

9. Question 9

   La distance de l'origine \(O\) au plan \((P):\ x+2y+2z-6=0\) vaut :

   • A\(6\)
   • ✓\(2\)
   • C\(3\)
   • D\(\dfrac{6}{\sqrt6}\)

   Remarque

   \(d=\dfrac{|0+0+0-6|}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}}=\dfrac{6}{\sqrt9}=\dfrac{6}{3}=2\).

10. Question 10

    L'équation du plan passant par \(A(x_A,y_A,z_A)\) et de vecteur normal \(\vec n(a,b,c)\) est :

    • ✓\(a(x-x_A)+b(y-y_A)+c(z-z_A)=0\)
    • B\(ax_A+by_A+cz_A=0\)
    • C\(a x+b y+c z=1\)
    • D\((x-x_A)^2+(y-y_A)^2+(z-z_A)^2=0\)

    Remarque

    \(M\in(P)\Leftrightarrow\overrightarrow{AM}\cdot\vec n=0\), soit \(a(x-x_A)+b(y-y_A)+c(z-z_A)=0\).

11. Question 11

    L'équation d'une sphère de centre \(\Omega(a,b,c)\) et de rayon \(R\) est :

    • A\(x^2+y^2+z^2=R\)
    • ✓\((x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2\)
    • C\((x-a)+(y-b)+(z-c)=R\)
    • D\(ax+by+cz=R^2\)

    Remarque

    La sphère est l'ensemble des points à distance \(R\) de \(\Omega\) : \((x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2\).

12. Question 12

    L'équation de la sphère de centre \(O\) et de rayon \(3\) est :

    • A\(x^2+y^2+z^2=3\)
    • ✓\(x^2+y^2+z^2=9\)
    • C\(x+y+z=9\)
    • D\((x-3)^2+y^2+z^2=0\)

    Remarque

    Centre \(O\), rayon \(3\) : \(x^2+y^2+z^2=3^2=9\).

13. Question 13

    Un point \(M\) appartient à la sphère de diamètre \([AB]\) si et seulement si :

    • ✓\(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0\)
    • B\(\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{MB}\)
    • C\(\overrightarrow{MA}\wedge\overrightarrow{MB}=\vec 0\)
    • D\(MA=MB\)

    Remarque

    La sphère de diamètre \([AB]\) est l'ensemble des \(M\) tels que \(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0\) (angle droit en \(M\)).

14. Question 14

    Le plan \((P)\) coupe la sphère de centre \(\Omega\) et de rayon \(R\) suivant un cercle si et seulement si :

    • A\(d(\Omega,(P))>R\)
    • B\(d(\Omega,(P))=R\)
    • ✓\(d(\Omega,(P))<R\)
    • D\(d(\Omega,(P))=0\) seulement

    Remarque

    Si \(d(\Omega,(P))<R\) l'intersection est un cercle ; si \(=R\) elle est réduite à un point (plan tangent) ; si \(>R\) elle est vide.

15. Question 15

    Le produit vectoriel \(\vec u\wedge\vec v\) est un vecteur :

    • Acolinéaire à \(\vec u\)
    • ✓orthogonal à la fois à \(\vec u\) et à \(\vec v\)
    • Cégal à \(\vec u\cdot\vec v\)
    • Dde norme \(1\)

    Remarque

    \(\vec u\wedge\vec v\) est orthogonal au plan de \(\vec u\) et \(\vec v\), donc orthogonal aux deux vecteurs.

16. Question 16

    La norme \(\|\vec u\wedge\vec v\|\) est égale à :

    • ✓l'aire du parallélogramme construit sur \(\vec u\) et \(\vec v\)
    • B\(\vec u\cdot\vec v\)
    • C\(\|\vec u\|+\|\vec v\|\)
    • Dtoujours \(1\)

    Remarque

    \(\|\vec u\wedge\vec v\|=\|\vec u\|\,\|\vec v\|\,|\sin\theta|\) : c'est l'aire du parallélogramme de côtés \(\vec u,\vec v\).

17. Question 17

    \(\vec u\wedge\vec v=\vec 0\) (avec \(\vec u,\vec v\) non nuls) si et seulement si \(\vec u\) et \(\vec v\) sont :

    • Aorthogonaux
    • ✓colinéaires
    • Cde même norme
    • Dégaux à \(\vec i\)

    Remarque

    Le produit vectoriel est nul \(\Leftrightarrow\) les vecteurs sont colinéaires (\(\sin\theta=0\)).

18. Question 18

    Dans une base orthonormée directe, \(\vec i\wedge\vec j\) vaut :

    • ✓\(\vec k\)
    • B\(-\vec k\)
    • C\(\vec 0\)
    • D\(\vec i\)

    Remarque

    \(\vec i\wedge\vec j=\vec k\) dans une base orthonormée directe.

19. Question 19

    Le produit vectoriel vérifie \(\vec v\wedge\vec u=\) :

    • A\(\vec u\wedge\vec v\)
    • ✓\(-(\vec u\wedge\vec v)\)
    • C\(\vec 0\)
    • D\(\vec u\cdot\vec v\)

    Remarque

    Le produit vectoriel est antisymétrique : \(\vec v\wedge\vec u=-(\vec u\wedge\vec v)\).

20. Question 20

    Le cosinus de l'angle \(\theta=(\widehat{\vec u,\vec v})\) est donné par :

    • ✓\(\dfrac{\vec u\cdot\vec v}{\|\vec u\|\,\|\vec v\|}\)
    • B\(\dfrac{\|\vec u\wedge\vec v\|}{\|\vec u\|\,\|\vec v\|}\)
    • C\(\vec u\cdot\vec v\)
    • D\(\dfrac{\|\vec u\|\,\|\vec v\|}{\vec u\cdot\vec v}\)

    Remarque

    \(\vec u\cdot\vec v=\|\vec u\|\,\|\vec v\|\cos\theta\), d'où \(\cos\theta=\dfrac{\vec u\cdot\vec v}{\|\vec u\|\,\|\vec v\|}\).

21. Question 21

    La distance d'un point \(M\) à la droite \((D)\) passant par \(A\) et de vecteur directeur \(\vec u\) est :

    • A\(\dfrac{\overrightarrow{AM}\cdot\vec u}{\|\vec u\|}\)
    • ✓\(\dfrac{\|\overrightarrow{AM}\wedge\vec u\|}{\|\vec u\|}\)
    • C\(\|\overrightarrow{AM}\wedge\vec u\|\)
    • D\(\dfrac{\|\vec u\|}{\|\overrightarrow{AM}\|}\)

    Remarque

    \(d(M,(D))=\dfrac{\|\overrightarrow{AM}\wedge\vec u\|}{\|\vec u\|}\) (aire du parallélogramme divisée par la base).

22. Question 22

    Le produit scalaire dans l'espace est :

    • ✓commutatif et distributif sur l'addition
    • Bnon commutatif
    • Cdéfini seulement pour des vecteurs orthogonaux
    • Dtoujours positif

    Remarque

    \(\vec u\cdot\vec v=\vec v\cdot\vec u\) (commutatif) et \(\vec u\cdot(\vec v+\vec w)=\vec u\cdot\vec v+\vec u\cdot\vec w\) (distributif) ; il peut être négatif.