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La dérivation est l'outil central de l'étude des fonctions au lycée. Cette fiche récapitule le nombre dérivé et son interprétation comme pente de la tangente, les dérivées usuelles, les règles de dérivation (produit, quotient, composée) et le lien entre le signe de f′ et les variations. En 1ʳᵉ Bac Sciences Maths, presque chaque étude de fonction repose sur ce chapitre. L'erreur la plus fréquente : se tromper dans l'ordre du numérateur du quotient — retenez (u/v)′ = (u′v − uv′)/v².

f′
Fiche de révision · 1ʳᵉ Bac Sciences Maths

Dérivation — Tangente, dérivées, variations

Math Excellence
1 · Nombre dérivé & dérivées usuelles
Nombre dérivé
f′(x0)=lim⁡h→0f(x0+h)−f(x0)hf'(x_0)=\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}h
pente de la tangente
Tangente
y=f′(x0)(x−x0)+f(x0)y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)
en x0x_0
Dérivabilité
fg′(x0)=fd′(x0)f'_g(x_0)=f'_d(x_0)
sinon : point anguleux
Dérivable ⇒ continue
réciproque fausse
∣x∣|x| continue, non dérivable en 00
Approximation affine
f(x)≈f′(x0)(x−x0)+f(x0)f(x)\approx f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)
près de x0x_0
Tangente verticale
taux →±∞\to\pm\infty
non dérivable, x=x0x=x_0
f(x)f′(x)surxnn xn−1R1x−1x2R∗x12x]0,+∞[cos⁡x−sin⁡xRsin⁡xcos⁡xRtan⁡x1+tan⁡2xcos⁡x≠0\begin{array}{|c|c|c|}\hline f(x) & f'(x) & \text{sur}\\ \hline x^n & n\,x^{n-1} & \mathbb{R}\\ \hline \tfrac1x & -\tfrac1{x^2} & \mathbb{R}^*\\ \hline \sqrt x & \tfrac1{2\sqrt x} & ]0,+\infty[\\ \hline \cos x & -\sin x & \mathbb{R}\\ \hline \sin x & \cos x & \mathbb{R}\\ \hline \tan x & 1+\tan^2x & \cos x\neq0\\ \hline\end{array}
2 · Opérations & composée
Somme & produit
  • (u+v)′=u′+v′(u+v)'=u'+v', (ku)′=ku′(ku)'=ku'
  • (uv)′=u′v+uv′(uv)'=u'v+uv'
Inverse & quotient
  • (1v)′=−v′v2\Big(\dfrac1v\Big)'=-\dfrac{v'}{v^2}
  • (uv)′=u′v−uv′v2\Big(\dfrac uv\Big)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}
Piège : l'ordre u′v−uv′u'v-uv' au numérateur, pas l'inverse.
Composée
  • (v∘u)′=u′×(v′∘u)(v\circ u)'=u'\times(v'\circ u)
Composées usuelles
  • (un)′=n u′ un−1(u^n)'=n\,u'\,u^{n-1}, (u)′=u′2u(\sqrt u)'=\dfrac{u'}{2\sqrt u}
  • (cos⁡u)′=−u′sin⁡u(\cos u)'=-u'\sin u, (sin⁡u)′=u′cos⁡u(\sin u)'=u'\cos u
3 · Formules & réflexes
(xn)′=n xn−1(x^n)'=n\,x^{n-1}
(1x)′=−1x2\big(\tfrac1x\big)'=-\tfrac1{x^2}
(x)′=12x(\sqrt x)'=\tfrac1{2\sqrt x}
(cos⁡x)′=−sin⁡x(\cos x)'=-\sin x, (sin⁡x)′=cos⁡x(\sin x)'=\cos x
(uv)′=u′v+uv′(uv)'=u'v+uv'
(uv)′=u′v−uv′v2\big(\tfrac uv\big)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}
(un)′=n u′ un−1(u^n)'=n\,u'\,u^{n-1}
extremum ⇒f′(x0)=0\Rightarrow f'(x_0)=0
4 · Applications — variations
Signe de f′f' → variations
  • f′≥0f'\ge0 : croissante ; f′≤0f'\le0 : décroissante
  • f′=0f'=0 sur II : constante
Méthode reine : étudier le signe de f′f', dresser le tableau.
Extremum
  • f′f' change de signe en x0x_0 : extremum local
  • +→−+\to- : maximum ; −→+-\to+ : minimum
Équation de tangente
  • calculer f(x0)f(x_0) et f′(x0)f'(x_0)
  • écrire y=f′(x0)(x−x0)+f(x0)y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)
Point anguleux / verticale
  • fg′≠fd′f'_g\neq f'_d : point anguleux
  • taux →±∞\to\pm\infty : tangente verticale
x\sqrt x en 00 : demi-tangente verticale
★ Astuces géniales
  • Le nombre dérivé = pente de la tangente = limite du taux de variation.
  • Dérivable ⇒ continue ; la contraposée (non continue ⇒ non dérivable) conclut sans calcul.
  • Étudier une fonction = étudier le signe de f′f', puis dresser le tableau de variations.
  • f′f' qui change de signe ⇒ extremum ; tangente horizontale f′(x0)=0f'(x_0)=0.
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