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La limite d'une fonction inaugure l'analyse fine du programme de 1ʳᵉ Bac Sciences Maths. Cette fiche réunit la définition avec ε, les limites de référence, les opérations, les quatre formes indéterminées, la limite d'une composée et le théorème des gendarmes. En SM, on attend une justification rigoureuse : une forme indéterminée ne se conclut jamais directement, on factorise, on simplifie ou on conjugue. Le réflexe indispensable : à l'infini, seul le terme dominant d'un polynôme ou d'une fraction compte.

lim
Fiche de révision · 1ʳᵉ Bac Sciences Maths

Limite d'une fonction — Opérations, formes indéterminées, gendarmes

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1 · Définitions & références
Limite finie
lim⁡x→x0f(x)=ℓ\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=\ell
f(x)f(x) proche de ℓ\ell
Asymptote verticale
lim⁡x→af=±∞\displaystyle\lim_{x\to a}f=\pm\infty
droite x=ax=a
Asymptote horizontale
lim⁡x→±∞f=ℓ\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}f=\ell
droite y=ℓy=\ell
Définition ε\varepsilon (SM)
|x-x_0|<\alpha\Rightarrow|f(x)-\ell|<\varepsilon
∀ε>0, ∃α>0\forall\varepsilon>0,\ \exists\alpha>0
Gauche / droite
lim⁡x0+=lim⁡x0−=ℓ\displaystyle\lim_{x_0^+}=\lim_{x_0^-}=\ell
  ⟺  lim⁡x0f=ℓ\iff\lim_{x_0}f=\ell
Références ∞\infty
xn→+∞, 1xn→0x^n\to+\infty,\ \tfrac1{x^n}\to0
x→+∞\sqrt x\to+\infty
2 · Opérations, F.I. & composée
Opérations
  • lim⁡(f+g), lim⁡(fg), lim⁡fg\lim(f+g),\ \lim(fg),\ \lim\tfrac fg se combinent
  • quotient : dénominateur ≠0\neq0
Les 4 formes indéterminées
  • ∞−∞,0×∞,∞∞,00\infty-\infty,\quad 0\times\infty,\quad \dfrac\infty\infty,\quad \dfrac00
Réflexe : factoriser, simplifier ou conjuguer.
À l'infini
  • polynôme ∼\sim terme de plus haut degré
  • fraction ∼\sim quotient des termes dominants
2x2−x+3x2+5→2\dfrac{2x^2-x+3}{x^2+5}\to2
Composée
  • poser t=u(x)t=u(x), enchaîner les limites
  • lim⁡v(u(x))=ℓ\lim v(u(x))=\ell si u→au\to a et v→ℓv\to\ell
Trigonométrie en 00
  • sin⁡xx→1, 1−cos⁡xx2→12, tan⁡xx→1\dfrac{\sin x}x\to1,\ \dfrac{1-\cos x}{x^2}\to\tfrac12,\ \dfrac{\tan x}x\to1
faire apparaître sin⁡(□)□\dfrac{\sin(\square)}{\square}
Gendarmes & comparaison
  • g≤f≤hg\le f\le h et lim⁡g=lim⁡h=ℓ⇒lim⁡f=ℓ\lim g=\lim h=\ell\Rightarrow\lim f=\ell
  • f≥g, lim⁡g=+∞⇒lim⁡f=+∞f\ge g,\ \lim g=+\infty\Rightarrow\lim f=+\infty
3 · Formules & réflexes
\forall\varepsilon>0,\exists\alpha>0,\ |x-x_0|<\alpha\Rightarrow|f-\ell|<\varepsilon
xn→+∞x^n\to+\infty, 1xn→0\dfrac1{x^n}\to0
polynôme ∼\sim terme dominant
fraction ∼\sim quotient dominants
sin⁡xx→1\dfrac{\sin x}x\to1
1−cos⁡xx2→12\dfrac{1-\cos x}{x^2}\to\dfrac12
10+=+∞\dfrac1{0^+}=+\infty, 10−=−∞\dfrac1{0^-}=-\infty
gendarmes = encadrer
4 · Méthodes types
Lever ∞−∞\infty-\infty (racines)
  • multiplier par la quantité conjuguée
x2+x−x→12\sqrt{x^2+x}-x\to\tfrac12
Lever ∞∞\tfrac\infty\infty
  • factoriser par le terme dominant, simplifier
Limite trigonométrique
  • faire apparaître sin⁡(□)□\dfrac{\sin(\square)}{\square}
sin⁡5xsin⁡2x→52\dfrac{\sin5x}{\sin2x}\to\dfrac52
Encadrer pour conclure
  • borner un facteur (cos⁡,sin⁡∈[−1,1]\cos,\sin\in[-1,1])
  • appliquer les gendarmes
cos⁡xx→0\dfrac{\cos x}x\to0 en +∞+\infty
★ Astuces géniales
  • Face à une F.I. : ne jamais conclure directement — factoriser, simplifier ou conjuguer.
  • À l'infini, seul le terme dominant compte (polynômes et fractions rationnelles).
  • Toute limite trigo en 00 se ramène à sin⁡(□)□→1\dfrac{\sin(\square)}{\square}\to1.
  • Gendarmes : dès qu'un cos⁡\cos ou sin⁡\sin traîne, on encadre plutôt que calculer.
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