QCM — Rotation dans le plan

Le corrigé complet de ce QCM, question par question — la bonne réponse est surlignée en vert, suivie d'une remarque. Pratique pour réviser ou vérifier après avoir répondu.

1. Question 1

   La rotation \(r\) de centre \(\Omega\) et d'angle \(\theta\) transforme \(M\ (\neq\Omega)\) en \(M'\) tel que :

   • ✓\(\Omega M'=\Omega M\) et \((\overrightarrow{\Omega M},\overrightarrow{\Omega M'})=\theta\)
   • B\(\Omega M'=2\,\Omega M\) et \((\overrightarrow{\Omega M},\overrightarrow{\Omega M'})=\theta\)
   • C\(\Omega M'=\Omega M\) et \(\overrightarrow{\Omega M'}=\overrightarrow{\Omega M}\)
   • D\(M'\) est le milieu de \([\Omega M]\)

   Remarque

   Définition : \(M'\) est à la même distance du centre (\(\Omega M'=\Omega M\)) et l'angle orienté \((\overrightarrow{\Omega M},\overrightarrow{\Omega M'})\) vaut \(\theta\).

2. Question 2

   Le centre \(\Omega\) d'une rotation est :

   • Aenvoyé sur un autre point
   • ✓invariant : \(r(\Omega)=\Omega\)
   • Cenvoyé sur le milieu de la figure
   • Dindéfini

   Remarque

   Le centre est le seul point globalement fixe : \(r(\Omega)=\Omega\).

3. Question 3

   Une rotation conserve les distances : si \(M'=r(M)\) et \(N'=r(N)\), alors :

   • A\(M'N'=2\,MN\)
   • ✓\(M'N'=MN\)
   • C\(M'N'=\dfrac{MN}{2}\)
   • D\(M'N'=0\)

   Remarque

   La rotation est une isométrie : elle conserve les longueurs, donc \(M'N'=MN\).

4. Question 4

   Une rotation d'angle \(\pi\) est :

   • Al'identité
   • ✓une symétrie centrale de centre \(\Omega\)
   • Cune translation
   • Dune symétrie axiale

   Remarque

   La rotation de centre \(\Omega\) et d'angle \(\pi\) coïncide avec la symétrie centrale de centre \(\Omega\).

5. Question 5

   Une rotation d'angle \(0\) (ou \(2\pi\)) est :

   • ✓l'identité
   • Bune symétrie centrale
   • Cune translation non nulle
   • Dindéfinie

   Remarque

   Un angle nul laisse chaque point à sa place : c'est l'application identité.

6. Question 6

   Une rotation conserve :

   • Ales longueurs mais pas les angles
   • ✓les angles orientés (et les longueurs)
   • Cni les longueurs ni les angles
   • Duniquement l'aire

   Remarque

   C'est une isométrie directe : elle conserve à la fois les longueurs et les angles orientés (donc l'orientation).

7. Question 7

   L'image d'une droite par une rotation est :

   • Aun cercle
   • ✓une droite
   • Cun segment
   • Dun point

   Remarque

   La rotation transforme toute droite en une droite (l'image d'une figure garde sa nature : droite→droite, cercle→cercle).

8. Question 8

   L'image d'un cercle de rayon \(R\) par une rotation est :

   • Aun cercle de rayon \(2R\)
   • ✓un cercle de même rayon \(R\)
   • Cun cercle de rayon \(\dfrac{R}{2}\)
   • Dune ellipse

   Remarque

   Isométrie \(\Rightarrow\) le rayon est conservé : l'image est un cercle de rayon \(R\) (de centre l'image de l'ancien centre).

9. Question 9

   La composée de deux rotations de même centre \(\Omega\), d'angles \(\theta\) et \(\theta'\), est :

   • Ala rotation de centre \(\Omega\) et d'angle \(\theta\times\theta'\)
   • ✓la rotation de centre \(\Omega\) et d'angle \(\theta+\theta'\)
   • Cune translation
   • Dl'identité

   Remarque

   \(r(\Omega,\theta')\circ r(\Omega,\theta)=r(\Omega,\theta+\theta')\) : les angles s'additionnent.

10. Question 10

    La réciproque de la rotation \(r(\Omega,\theta)\) est :

    • A\(r(\Omega,\theta)\)
    • ✓\(r(\Omega,-\theta)\)
    • C\(r(\Omega,\pi-\theta)\)
    • Dla translation de vecteur \(\theta\)

    Remarque

    Pour « défaire » une rotation d'angle \(\theta\), on tourne de \(-\theta\) autour du même centre : \(r(\Omega,\theta)^{-1}=r(\Omega,-\theta)\).

11. Question 11

    Parmi ces éléments, lequel une rotation ne conserve pas en général ?

    • Ale milieu d'un segment
    • Ble parallélisme de deux droites
    • ✓la direction d'un vecteur
    • Dles longueurs

    Remarque

    Une rotation fait tourner les directions (sauf angle nul ou \(\pi\)) : elle ne conserve pas la direction d'un vecteur. En revanche elle conserve milieux, parallélisme et longueurs.

12. Question 12

    Une rotation conserve les aires : l'image d'une figure d'aire \(\mathcal A\) a pour aire :

    • A\(2\mathcal A\)
    • ✓\(\mathcal A\)
    • C\(\dfrac{\mathcal A}{2}\)
    • D\(0\)

    Remarque

    Étant une isométrie, la rotation conserve les aires : l'image a la même aire \(\mathcal A\).

13. Question 13

    L'image d'un triangle par une rotation est :

    • ✓un triangle isométrique (superposable) au premier
    • Bun triangle de plus grande aire
    • Cun quadrilatère
    • Dun triangle rectangle

    Remarque

    Longueurs et angles étant conservés, l'image est un triangle superposable au triangle de départ.

14. Question 14

    Pour une rotation d'angle \(\dfrac{\pi}{2}\), les vecteurs \(\overrightarrow{\Omega M}\) et \(\overrightarrow{\Omega M'}\) sont :

    • Acolinéaires de même sens
    • ✓orthogonaux et de même norme
    • Copposés
    • Dde normes différentes

    Remarque

    Angle \(\dfrac{\pi}{2}\) : \(\overrightarrow{\Omega M'}\) est le tourné de \(\overrightarrow{\Omega M}\) d'un quart de tour, donc orthogonal et de même longueur.

15. Question 15

    Dans un triangle équilatéral direct \(ABC\) de centre \(O\), la rotation de centre \(O\) et d'angle \(\dfrac{2\pi}{3}\) envoie \(A\) sur :

    • A\(A\)
    • ✓\(B\)
    • C\(C\)
    • D\(O\)

    Remarque

    Les trois sommets sont régulièrement répartis (angles \(\dfrac{2\pi}{3}\)) : la rotation directe d'angle \(\dfrac{2\pi}{3}\) envoie \(A\) sur le sommet suivant, \(B\).

16. Question 16

    Une rotation est une isométrie :

    • Aindirecte (elle renverse l'orientation)
    • ✓directe (elle conserve l'orientation)
    • Cqui change les longueurs
    • Dqui n'a pas de point fixe

    Remarque

    La rotation conserve l'orientation du plan : c'est une isométrie directe (au contraire d'une symétrie axiale, indirecte).

17. Question 17

    Si \(r(\Omega,\theta)(A)=B\) avec \(\theta\neq 0\), alors on a nécessairement :

    • ✓\(\Omega A=\Omega B\)
    • B\(A=B\)
    • C\(\Omega\) est le milieu de \([AB]\)
    • D\(AB=\Omega A\)

    Remarque

    Le centre est équidistant d'un point et de son image : \(\Omega A=\Omega B\) (\(\Omega\) est sur la médiatrice de \([AB]\)).

18. Question 18

    Pour une rotation d'angle \(\theta\neq 0\ [2\pi]\), le nombre de points invariants est :

    • A\(0\)
    • ✓exactement \(1\) (le centre)
    • C\(2\)
    • Dune infinité

    Remarque

    Seul le centre \(\Omega\) est fixe : une rotation d'angle non nul a exactement un point invariant.

19. Question 19

    Parmi ces transformations, laquelle est aussi une isométrie, comme la rotation ?

    • Al'homothétie de rapport \(2\)
    • ✓la translation
    • Cla projection orthogonale
    • Dl'homothétie de rapport \(\dfrac12\)

    Remarque

    La translation conserve les longueurs : c'est une isométrie. Une homothétie de rapport \(\neq\pm 1\) modifie les distances.

20. Question 20

    L'image du segment \([AB]\) par une rotation est :

    • ✓un segment \([A'B']\) avec \(A'B'=AB\)
    • Bun segment \([A'B']\) avec \(A'B'=2AB\)
    • Cun arc de cercle
    • Dune demi-droite

    Remarque

    L'image d'un segment est un segment de même longueur : \([A'B']\) avec \(A'B'=AB\).

21. Question 21

    Si une rotation \(r\) envoie \(A\) sur \(A'\) et \(B\) sur \(B'\), alors l'angle \((\overrightarrow{AB},\overrightarrow{A'B'})\) est égal à :

    • A\(0\)
    • ✓l'angle \(\theta\) de la rotation
    • C\(\pi\)
    • D\(\dfrac{\theta}{2}\)

    Remarque

    Une rotation d'angle \(\theta\) fait tourner tous les vecteurs de \(\theta\) : \((\overrightarrow{AB},\overrightarrow{A'B'})=\theta\).

22. Question 22

    La composée d'une rotation \(r(\Omega,\theta)\) suivie de \(r(\Omega,-\theta)\) est :

    • Aune symétrie centrale
    • ✓l'identité
    • Cla rotation \(r(\Omega,2\theta)\)
    • Dune translation

    Remarque

    Les angles s'ajoutent : \(\theta+(-\theta)=0\), donc la composée est la rotation d'angle nul, c'est-à-dire l'identité.