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Le calcul trigonométrique ouvre en 1ʳᵉ Bac Sciences Maths une boîte à outils indispensable aux fonctions et à la géométrie. Cette fiche réunit le cercle trigonométrique, les valeurs remarquables, les angles associés et les formules d'addition et de duplication. En SM, la maîtrise de ces formules conditionne la réussite des chapitres suivants (équations trigonométriques, étude de fonctions). Le réflexe à installer : mémoriser cos²x + sin²x = 1 et les formules d'addition, dont tout le reste se déduit.

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Fiche de révision · 1ʳᵉ Bac Sciences Maths

Calcul trigonométrique (1) — Cercle, angles associés, addition

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1 · Identités & valeurs
Identité fondamentale
cos⁡2x+sin⁡2x=1\cos^2x+\sin^2x=1
−1≤cos⁡x,sin⁡x≤1-1\le\cos x,\sin x\le1
Tangente
tan⁡x=sin⁡xcos⁡x\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}
si cos⁡x≠0\cos x\neq0
Relation tan
1+tan⁡2x=1cos⁡2x1+\tan^2x=\dfrac1{\cos^2x}
x≠π2+kπx\neq\tfrac\pi2+k\pi
Périodicité
cos⁡,sin⁡:2π\cos,\sin:2\pi ; tan⁡:π\tan:\pi
cos⁡(x+2kπ)=cos⁡x\cos(x+2k\pi)=\cos x
Parité
cos⁡\cos paire, sin⁡\sin impaire
cos⁡(−x)=cos⁡x\cos(-x)=\cos x
Radians
180∘=π180^\circ=\pi
60∘=π360^\circ=\tfrac\pi3, 5π6=150∘\tfrac{5\pi}6=150^\circ
x0π6π4π3π2cos⁡x13222120sin⁡x01222321tan⁡x03313n.d.\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline x & 0 & \tfrac\pi6 & \tfrac\pi4 & \tfrac\pi3 & \tfrac\pi2\\ \hline \cos x & 1 & \tfrac{\sqrt3}2 & \tfrac{\sqrt2}2 & \tfrac12 & 0\\ \hline \sin x & 0 & \tfrac12 & \tfrac{\sqrt2}2 & \tfrac{\sqrt3}2 & 1\\ \hline \tan x & 0 & \tfrac{\sqrt3}3 & 1 & \sqrt3 & \text{n.d.}\\ \hline\end{array}
2 · Angles associés & addition
Angles associés
  • cos⁡(−x)=cos⁡x, sin⁡(−x)=−sin⁡x\cos(-x)=\cos x,\ \sin(-x)=-\sin x
  • cos⁡(π−x)=−cos⁡x, sin⁡(π−x)=sin⁡x\cos(\pi-x)=-\cos x,\ \sin(\pi-x)=\sin x
  • cos⁡(π+x)=−cos⁡x, sin⁡(π+x)=−sin⁡x\cos(\pi+x)=-\cos x,\ \sin(\pi+x)=-\sin x
Complémentaires π2±x\tfrac\pi2\pm x
  • cos⁡(π2−x)=sin⁡x, sin⁡(π2−x)=cos⁡x\cos(\tfrac\pi2-x)=\sin x,\ \sin(\tfrac\pi2-x)=\cos x
  • cos⁡(π2+x)=−sin⁡x\cos(\tfrac\pi2+x)=-\sin x
Astuce : placer le point sur le cercle, appliquer la symétrie.
Addition — cosinus
  • cos⁡(a±b)=cos⁡acos⁡b∓sin⁡asin⁡b\cos(a\pm b)=\cos a\cos b\mp\sin a\sin b
Le cos contrarie le signe intérieur
Addition — sinus
  • sin⁡(a±b)=sin⁡acos⁡b±cos⁡asin⁡b\sin(a\pm b)=\sin a\cos b\pm\cos a\sin b
Le sin suit le signe intérieur
Addition — tangente
  • tan⁡(a±b)=tan⁡a±tan⁡b1∓tan⁡atan⁡b\tan(a\pm b)=\dfrac{\tan a\pm\tan b}{1\mp\tan a\tan b}
3 · Formules & réflexes
cos⁡2x+sin⁡2x=1\cos^2x+\sin^2x=1
cos⁡(a+b)=cos⁡acos⁡b−sin⁡asin⁡b\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b
sin⁡(a+b)=sin⁡acos⁡b+cos⁡asin⁡b\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b
cos⁡2x=2cos⁡2x−1=1−2sin⁡2x\cos2x=2\cos^2x-1=1-2\sin^2x
sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x\sin2x=2\sin x\cos x
cos⁡(π2−x)=sin⁡x\cos(\tfrac\pi2-x)=\sin x
1+tan⁡2x=1cos⁡2x1+\tan^2x=\dfrac1{\cos^2x}
cos⁡\cos paire, sin⁡\sin impaire
4 · Duplication, linéarisation, transformation
Angle double
  • cos⁡2x=cos⁡2x−sin⁡2x\cos2x=\cos^2x-\sin^2x (3 formes)
  • sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x, tan⁡2x=2tan⁡x1−tan⁡2x\sin2x=2\sin x\cos x,\ \tan2x=\dfrac{2\tan x}{1-\tan^2x}
Demi-angle
  • cos⁡2x2=1+cos⁡x2\cos^2\tfrac x2=\dfrac{1+\cos x}2
  • sin⁡2x2=1−cos⁡x2\sin^2\tfrac x2=\dfrac{1-\cos x}2
Piège : choisir le signe de la racine selon le quadrant.
Linéariser
  • cos⁡2x=1+cos⁡2x2, sin⁡2x=1−cos⁡2x2\cos^2x=\dfrac{1+\cos2x}2,\ \sin^2x=\dfrac{1-\cos2x}2
  • sin⁡xcos⁡x=12sin⁡2x\sin x\cos x=\tfrac12\sin2x
Transformer
  • produit → somme : cos⁡acos⁡b=12[cos⁡(a−b)+cos⁡(a+b)]\cos a\cos b=\tfrac12[\cos(a-b)+\cos(a+b)]
  • somme → produit : cos⁡p+cos⁡q=2cos⁡p+q2cos⁡p−q2\cos p+\cos q=2\cos\tfrac{p+q}2\cos\tfrac{p-q}2
t=tan⁡x2t=\tan\tfrac x2 : rend sin⁡x,cos⁡x\sin x,\cos x rationnels
★ Astuces géniales
  • Addition : « le cosinus contrarie, le sinus suit » — le signe intérieur change pour cos⁡\cos, se conserve pour sin⁡\sin.
  • cos⁡2x\cos2x a trois formes : chacune donne une linéarisation (cos⁡2\cos^2, sin⁡2\sin^2).
  • Linéariser pour éliminer une puissance ; somme → produit pour factoriser.
  • Angles associés : ne jamais mémoriser par cœur — lire les symétries du cercle.
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