QCM — Calcul trigonométrique

Le corrigé complet de ce QCM, question par question — la bonne réponse est surlignée en vert, suivie d'une remarque. Pratique pour réviser ou vérifier après avoir répondu.

1. Question 1

   Un angle de \(60^\circ\) vaut, en radians :

   • A\(\dfrac{\pi}{6}\)
   • B\(\dfrac{\pi}{4}\)
   • ✓\(\dfrac{\pi}{3}\)
   • D\(\dfrac{\pi}{2}\)

   Remarque

   \(180^\circ=\pi\) rad, donc \(60^\circ=\dfrac{60}{180}\pi=\dfrac{\pi}{3}\).

2. Question 2

   La relation fondamentale de la trigonométrie est :

   • A\(\cos^2 x-\sin^2 x=1\)
   • ✓\(\cos^2 x+\sin^2 x=1\)
   • C\(\cos x+\sin x=1\)
   • D\(\cos^2 x+\sin^2 x=0\)

   Remarque

   Pour tout réel \(x\), \(\cos^2 x+\sin^2 x=1\) (le point du cercle est à distance \(1\) de l'origine).

3. Question 3

   \(\cos\dfrac{\pi}{3}\) et \(\sin\dfrac{\pi}{3}\) valent respectivement :

   • A\(\dfrac{\sqrt3}{2}\) et \(\dfrac12\)
   • ✓\(\dfrac12\) et \(\dfrac{\sqrt3}{2}\)
   • C\(\dfrac{\sqrt2}{2}\) et \(\dfrac{\sqrt2}{2}\)
   • D\(\dfrac12\) et \(\dfrac12\)

   Remarque

   Valeurs remarquables : \(\cos\dfrac{\pi}{3}=\dfrac12\), \(\sin\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt3}{2}\).

4. Question 4

   Les formules des angles opposés donnent \(\cos(-x)\) et \(\sin(-x)\) :

   • A\(\cos(-x)=-\cos x\) et \(\sin(-x)=\sin x\)
   • ✓\(\cos(-x)=\cos x\) et \(\sin(-x)=-\sin x\)
   • C\(\cos(-x)=-\cos x\) et \(\sin(-x)=-\sin x\)
   • D\(\cos(-x)=\sin x\) et \(\sin(-x)=\cos x\)

   Remarque

   \(\cos\) est paire, \(\sin\) est impaire : \(\cos(-x)=\cos x\), \(\sin(-x)=-\sin x\).

5. Question 5

   \(\cos(\pi-x)\) est égal à :

   • A\(\cos x\)
   • ✓\(-\cos x\)
   • C\(\sin x\)
   • D\(-\sin x\)

   Remarque

   \(\cos(\pi-x)=-\cos x\) (et \(\sin(\pi-x)=\sin x\)).

6. Question 6

   \(\sin(\pi+x)\) est égal à :

   • A\(\sin x\)
   • ✓\(-\sin x\)
   • C\(\cos x\)
   • D\(-\cos x\)

   Remarque

   \(\sin(\pi+x)=-\sin x\) (et \(\cos(\pi+x)=-\cos x\)).

7. Question 7

   \(\cos\!\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)\) est égal à :

   • A\(\cos x\)
   • ✓\(\sin x\)
   • C\(-\sin x\)
   • D\(-\cos x\)

   Remarque

   \(\cos\!\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\sin x\) (angles complémentaires ; de même \(\sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\cos x\)).

8. Question 8

   Par définition, \(\tan x\) (pour \(\cos x\neq 0\)) est :

   • A\(\dfrac{\cos x}{\sin x}\)
   • ✓\(\dfrac{\sin x}{\cos x}\)
   • C\(\sin x\cdot\cos x\)
   • D\(\dfrac{1}{\sin x}\)

   Remarque

   \(\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}\), définie là où \(\cos x\neq 0\).

9. Question 9

   La formule d'addition du cosinus est \(\cos(a+b)=\)

   • A\(\cos a\cos b+\sin a\sin b\)
   • ✓\(\cos a\cos b-\sin a\sin b\)
   • C\(\sin a\cos b+\cos a\sin b\)
   • D\(\cos a\cos b-\sin a\cos b\)

   Remarque

   \(\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b\) (attention au signe « moins »).

10. Question 10

    La formule d'addition du sinus est \(\sin(a+b)=\)

    • ✓\(\sin a\cos b+\cos a\sin b\)
    • B\(\sin a\cos b-\cos a\sin b\)
    • C\(\cos a\cos b-\sin a\sin b\)
    • D\(\sin a\sin b+\cos a\cos b\)

    Remarque

    \(\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b\).

11. Question 11

    La formule de duplication du cosinus, \(\cos(2a)\), n'est pas égale à :

    • A\(\cos^2 a-\sin^2 a\)
    • B\(2\cos^2 a-1\)
    • C\(1-2\sin^2 a\)
    • ✓\(2\sin a\cos a\)

    Remarque

    \(\cos 2a=\cos^2 a-\sin^2 a=2\cos^2 a-1=1-2\sin^2 a\). En revanche \(2\sin a\cos a=\sin 2a\).

12. Question 12

    \(\sin(2a)\) est égal à :

    • A\(2\cos^2 a-1\)
    • ✓\(2\sin a\cos a\)
    • C\(\cos^2 a-\sin^2 a\)
    • D\(\sin^2 a-\cos^2 a\)

    Remarque

    \(\sin 2a=2\sin a\cos a\).

13. Question 13

    Pour \(\cos x\neq 0\), on a \(1+\tan^2 x=\)

    • A\(1\)
    • ✓\(\dfrac{1}{\cos^2 x}\)
    • C\(\dfrac{1}{\sin^2 x}\)
    • D\(\cos^2 x\)

    Remarque

    En divisant \(\cos^2 x+\sin^2 x=1\) par \(\cos^2 x\) : \(1+\tan^2 x=\dfrac{1}{\cos^2 x}\).

14. Question 14

    \(\cos\dfrac{\pi}{4}\) vaut :

    • A\(\dfrac12\)
    • ✓\(\dfrac{\sqrt2}{2}\)
    • C\(\dfrac{\sqrt3}{2}\)
    • D\(1\)

    Remarque

    \(\cos\dfrac{\pi}{4}=\sin\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt2}{2}\).

15. Question 15

    \(\sin\dfrac{\pi}{6}\) vaut :

    • A\(\dfrac{\sqrt3}{2}\)
    • B\(\dfrac{\sqrt2}{2}\)
    • ✓\(\dfrac12\)
    • D\(1\)

    Remarque

    \(\sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac12\) (et \(\cos\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt3}{2}\)).

16. Question 16

    \(\tan\dfrac{\pi}{4}\) vaut :

    • A\(0\)
    • B\(\dfrac{\sqrt3}{3}\)
    • ✓\(1\)
    • D\(\sqrt3\)

    Remarque

    \(\tan\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sin(\pi/4)}{\cos(\pi/4)}=1\).

17. Question 17

    \(\sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)\) est égal à :

    • ✓\(\cos x\)
    • B\(-\cos x\)
    • C\(\sin x\)
    • D\(-\sin x\)

    Remarque

    \(\sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)=\cos x\) (et \(\cos\!\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)=-\sin x\)).

18. Question 18

    La formule \(\cos(a-b)\) est égale à :

    • A\(\cos a\cos b-\sin a\sin b\)
    • ✓\(\cos a\cos b+\sin a\sin b\)
    • C\(\sin a\cos b-\cos a\sin b\)
    • D\(\cos a\sin b+\sin a\cos b\)

    Remarque

    \(\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b\) (le « \(-b\) » change le signe intérieur).

19. Question 19

    Les périodes de \(\cos\), \(\sin\) d'une part et de \(\tan\) d'autre part sont :

    • A\(2\pi\) et \(2\pi\)
    • B\(\pi\) et \(2\pi\)
    • ✓\(2\pi\) et \(\pi\)
    • D\(\pi\) et \(\pi\)

    Remarque

    \(\cos\) et \(\sin\) sont \(2\pi\)-périodiques ; \(\tan\) est \(\pi\)-périodique.

20. Question 20

    Les solutions dans \(\mathbb{R}\) de \(\cos x=\dfrac12\) sont :

    • A\(x=\dfrac{\pi}{3}+2k\pi,\ k\in\mathbb{Z}\) uniquement
    • ✓\(x=\pm\dfrac{\pi}{3}+2k\pi,\ k\in\mathbb{Z}\)
    • C\(x=\pm\dfrac{\pi}{6}+2k\pi,\ k\in\mathbb{Z}\)
    • D\(x=\dfrac{\pi}{3}+k\pi,\ k\in\mathbb{Z}\)

    Remarque

    \(\cos x=\cos\dfrac{\pi}{3}\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{3}+2k\pi\) ou \(x=-\dfrac{\pi}{3}+2k\pi\), \(k\in\mathbb{Z}\).

21. Question 21

    La linéarisation de \(\cos^2 a\) est :

    • ✓\(\dfrac{1+\cos 2a}{2}\)
    • B\(\dfrac{1-\cos 2a}{2}\)
    • C\(\dfrac{1+\sin 2a}{2}\)
    • D\(1-\cos 2a\)

    Remarque

    De \(\cos 2a=2\cos^2 a-1\), on tire \(\cos^2 a=\dfrac{1+\cos 2a}{2}\) (et \(\sin^2 a=\dfrac{1-\cos 2a}{2}\)).

22. Question 22

    L'angle \(\dfrac{5\pi}{6}\) rad vaut, en degrés :

    • A\(120^\circ\)
    • B\(135^\circ\)
    • ✓\(150^\circ\)
    • D\(165^\circ\)

    Remarque

    \(\dfrac{5\pi}{6}\times\dfrac{180}{\pi}=\dfrac{5\times 180}{6}=150^\circ\).