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1ʳᵉ Bac · Sciences Maths · Chapitre 7

Calcul trigonométrique (1)

1 · Résumé du cours

1.1 Cercle trigonométrique et mesures

Définition Le cercle trigonométrique est de centre OO, rayon 11, d'origine II, orienté dans le sens direct (inverse des aiguilles = positif). La mesure en radians d'un angle égale la longueur algébrique de l'arc : un tour =2π=2\pi, un demi-tour =π=\pi, un quart =π2=\frac\pi2.
Conversion degrés ↔ radians Puisque 180∘=π180^\circ=\pi rad : x rad=(180xπ)∘x\text{ rad}=\big(\tfrac{180x}\pi\big)^\circ et α∘=απ180 rad\alpha^\circ=\tfrac{\alpha\pi}{180}\text{ rad}. Ex. 60∘=π360^\circ=\frac\pi3, 5π6=150∘\frac{5\pi}6=150^\circ.
Abscisse curviligne & mesure principale L'enroulement associe à xx un point MM ; toutes les abscisses de MM sont x+2kπ, k∈Zx+2k\pi,\ k\in\mathbb{Z}. L'unique mesure dans ]−π,π]]-\pi,\pi] est la mesure principale. On l'obtient en ajoutant/retranchant des 2π2\pi.
Exemples : 17π6−2π=5π6\frac{17\pi}6-2\pi=\frac{5\pi}6 ; −13π4+4π=3π4-\frac{13\pi}4+4\pi=\frac{3\pi}4.

1.1.1 Cosinus, sinus, tangente

Définition Dans le repère orthonormé direct, si MM est associé à xx : M(cos⁡x,sin⁡x)M(\cos x,\sin x). Lorsque cos⁡x≠0\cos x\neq0 : tan⁡x=sin⁡xcos⁡x\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x} (non définie pour x=π2+kπx=\frac\pi2+k\pi).
Identités et périodicité cos⁡2x+sin⁡2x=1,−1≤cos⁡x≤1,−1≤sin⁡x≤1,1+tan⁡2x=1cos⁡2x.\cos^2x+\sin^2x=1,\qquad -1\le\cos x\le1,\qquad -1\le\sin x\le1,\qquad 1+\tan^2x=\frac1{\cos^2x}. cos⁡,sin⁡\cos,\sin sont 2π2\pi-périodiques ; tan⁡\tan est π\pi-périodique : cos⁡(x+2kπ)=cos⁡x\cos(x+2k\pi)=\cos x, tan⁡(x+kπ)=tan⁡x\tan(x+k\pi)=\tan x.
Valeurs remarquables x0π6π4π3π2cos⁡x13222120sin⁡x01222321tan⁡x03313n.d.\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline x & 0 & \tfrac\pi6 & \tfrac\pi4 & \tfrac\pi3 & \tfrac\pi2\\ \hline \cos x & 1 & \tfrac{\sqrt3}2 & \tfrac{\sqrt2}2 & \tfrac12 & 0\\ \hline \sin x & 0 & \tfrac12 & \tfrac{\sqrt2}2 & \tfrac{\sqrt3}2 & 1\\ \hline \tan x & 0 & \tfrac{\sqrt3}3 & 1 & \sqrt3 & \text{n.d.}\\ \hline\end{array}
Signes selon le quadrant x]0,π2[]π2,π[]π,3π2[]3π2,2π[cos⁡x+−−+sin⁡x++−−tan⁡x+−+−\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline x & ]0,\tfrac\pi2[ & ]\tfrac\pi2,\pi[ & ]\pi,\tfrac{3\pi}2[ & ]\tfrac{3\pi}2,2\pi[\\ \hline \cos x & + & - & - & +\\ \hline \sin x & + & + & - & -\\ \hline \tan x & + & - & + & -\\ \hline\end{array}

1.2 Angles associés

Cosinus et sinus anglecos⁡sin⁡−xcos⁡x−sin⁡xπ−x−cos⁡xsin⁡xπ+x−cos⁡x−sin⁡xπ2−xsin⁡xcos⁡xπ2+x−sin⁡xcos⁡x\begin{array}{|c|c|c|}\hline \text{angle} & \cos & \sin\\ \hline -x & \cos x & -\sin x\\ \hline \pi-x & -\cos x & \sin x\\ \hline \pi+x & -\cos x & -\sin x\\ \hline \tfrac\pi2-x & \sin x & \cos x\\ \hline \tfrac\pi2+x & -\sin x & \cos x\\ \hline\end{array} En particulier, cos⁡\cos est paire, sin⁡\sin est impaire.
Tangente tan⁡(−x)=−tan⁡x,tan⁡(π−x)=−tan⁡x,tan⁡(π+x)=tan⁡x,tan⁡(π2−x)=1tan⁡x.\tan(-x)=-\tan x,\quad \tan(\pi-x)=-\tan x,\quad \tan(\pi+x)=\tan x,\quad \tan\big(\tfrac\pi2-x\big)=\frac1{\tan x}.
Retrouver les signes Placer le point associé à xx et appliquer la symétrie voulue : réflexion / (Ox)(Ox) change le signe du sinus ; / (Oy)(Oy) change celui du cosinus ; symétrie centrale change les deux.

1.3 Formules d'addition

Cosinus et sinus cos⁡(a+b)=cos⁡acos⁡b−sin⁡asin⁡b,cos⁡(a−b)=cos⁡acos⁡b+sin⁡asin⁡b,\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b,\qquad \cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b, sin⁡(a+b)=sin⁡acos⁡b+cos⁡asin⁡b,sin⁡(a−b)=sin⁡acos⁡b−cos⁡asin⁡b.\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b,\qquad \sin(a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b.
Démonstration (produit scalaire) Avec u⃗=(cos⁡a,sin⁡a)\vec u=(\cos a,\sin a), v⃗=(cos⁡b,sin⁡b)\vec v=(\cos b,\sin b) unitaires, l'angle entre eux vaut a−ba-b : u⃗⋅v⃗=cos⁡(a−b)=cos⁡acos⁡b+sin⁡asin⁡b\vec u\cdot\vec v=\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b. Les autres suivent en remplaçant bb par −b-b.
Tangente tan⁡(a+b)=tan⁡a+tan⁡b1−tan⁡atan⁡b,tan⁡(a−b)=tan⁡a−tan⁡b1+tan⁡atan⁡b\tan(a+b)=\frac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b},\qquad \tan(a-b)=\frac{\tan a-\tan b}{1+\tan a\tan b} (dénominateurs non nuls sous les conditions de définition).
Mémoriser les signes « Le cosinus contrarie, le sinus suit » : dans cos⁡(a+b)\cos(a+b) le signe intérieur est changé, dans sin⁡(a+b)\sin(a+b) il est conservé.
Exemple : cos⁡5π12=cos⁡(π4+π6)=6−24\cos\frac{5\pi}{12}=\cos(\frac\pi4+\frac\pi6)=\frac{\sqrt6-\sqrt2}4.

1.4 Duplication, demi-angle, paramétrage

Angle double cos⁡(2x)=cos⁡2x−sin⁡2x=2cos⁡2x−1=1−2sin⁡2x,sin⁡(2x)=2sin⁡xcos⁡x,tan⁡(2x)=2tan⁡x1−tan⁡2x.\cos(2x)=\cos^2x-\sin^2x=2\cos^2x-1=1-2\sin^2x,\qquad \sin(2x)=2\sin x\cos x,\qquad \tan(2x)=\frac{2\tan x}{1-\tan^2x}.
Demi-angle cos⁡2x2=1+cos⁡x2,sin⁡2x2=1−cos⁡x2,sin⁡x=2sin⁡x2cos⁡x2.\cos^2\frac x2=\frac{1+\cos x}2,\qquad \sin^2\frac x2=\frac{1-\cos x}2,\qquad \sin x=2\sin\frac x2\cos\frac x2. Pour cos⁡x2\cos\frac x2 ou sin⁡x2\sin\frac x2, choisir le signe de la racine selon le quadrant de x2\frac x2.
Exemple : cos⁡π8=1+cos⁡(π/4)2=2+22\cos\frac\pi8=\sqrt{\frac{1+\cos(\pi/4)}2}=\frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2.
Changement t=tan⁡x2t=\tan\frac x2 Pour x≠π+2kπx\neq\pi+2k\pi, avec t=tan⁡x2t=\tan\frac x2 : cos⁡x=1−t21+t2,sin⁡x=2t1+t2,tan⁡x=2t1−t2.\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2},\qquad \sin x=\frac{2t}{1+t^2},\qquad \tan x=\frac{2t}{1-t^2}.
Quand utiliser t=tan⁡x2t=\tan\frac x2 Ce changement rend une expression en sin⁡x,cos⁡x\sin x,\cos x rationnelle en tt. Avant de l'employer dans une équation, traiter à part les valeurs exclues x=π+2kπx=\pi+2k\pi.

1.5 Linéarisation & somme–produit

Linéariser Transformer produits ou puissances en une somme de sinus/cosinus du premier degré : cos⁡2x=1+cos⁡(2x)2,sin⁡2x=1−cos⁡(2x)2,sin⁡xcos⁡x=12sin⁡(2x).\cos^2x=\frac{1+\cos(2x)}2,\qquad \sin^2x=\frac{1-\cos(2x)}2,\qquad \sin x\cos x=\frac12\sin(2x). En répétant : cos⁡3x=3cos⁡x+cos⁡(3x)4\cos^3x=\frac{3\cos x+\cos(3x)}4, sin⁡3x=3sin⁡x−sin⁡(3x)4\sin^3x=\frac{3\sin x-\sin(3x)}4.
Produit → somme cos⁡acos⁡b=12[cos⁡(a−b)+cos⁡(a+b)],sin⁡asin⁡b=12[cos⁡(a−b)−cos⁡(a+b)],\cos a\cos b=\tfrac12[\cos(a-b)+\cos(a+b)],\qquad \sin a\sin b=\tfrac12[\cos(a-b)-\cos(a+b)], sin⁡acos⁡b=12[sin⁡(a+b)+sin⁡(a−b)],cos⁡asin⁡b=12[sin⁡(a+b)−sin⁡(a−b)].\sin a\cos b=\tfrac12[\sin(a+b)+\sin(a-b)],\qquad \cos a\sin b=\tfrac12[\sin(a+b)-\sin(a-b)].
Somme → produit cos⁡p+cos⁡q=2cos⁡p+q2cos⁡p−q2,cos⁡p−cos⁡q=−2sin⁡p+q2sin⁡p−q2,\cos p+\cos q=2\cos\tfrac{p+q}2\cos\tfrac{p-q}2,\qquad \cos p-\cos q=-2\sin\tfrac{p+q}2\sin\tfrac{p-q}2, sin⁡p+sin⁡q=2sin⁡p+q2cos⁡p−q2,sin⁡p−sin⁡q=2cos⁡p+q2sin⁡p−q2.\sin p+\sin q=2\sin\tfrac{p+q}2\cos\tfrac{p-q}2,\qquad \sin p-\sin q=2\cos\tfrac{p+q}2\sin\tfrac{p-q}2.
Choisir la bonne transformation
  • éliminer un carré/une puissance → linéariser ;
  • simplifier un produit → produit vers somme ;
  • factoriser / préparer une équation → somme vers produit ;
  • rationaliser sin⁡x\sin x et cos⁡x\cos x → t=tan⁡x2t=\tan\frac x2 (valeurs exclues).

2 · Exercices résolus

Addition

Exercice 1

Calculer cos⁡π12\cos\dfrac{\pi}{12}.

Voir la correction

π12=π3−π4\frac\pi{12}=\frac\pi3-\frac\pi4, donc cos⁡π12=cos⁡π3cos⁡π4+sin⁡π3sin⁡π4=12⋅22+32⋅22=2+64\cos\frac\pi{12}=\cos\frac\pi3\cos\frac\pi4+\sin\frac\pi3\sin\frac\pi4=\frac12\cdot\frac{\sqrt2}2+\frac{\sqrt3}2\cdot\frac{\sqrt2}2=\dfrac{\sqrt2+\sqrt6}4. ∎

Angles associés

Exercice 2

Simplifier A=cos⁡(π2−a)+cos⁡(π−a)+cos⁡(π+a)A=\cos(\tfrac\pi2-a)+\cos(\pi-a)+\cos(\pi+a).

Voir la correction

cos⁡(π2−a)=sin⁡a\cos(\tfrac\pi2-a)=\sin a, cos⁡(π−a)=−cos⁡a\cos(\pi-a)=-\cos a, cos⁡(π+a)=−cos⁡a\cos(\pi+a)=-\cos a. Donc A=sin⁡a−2cos⁡aA=\sin a-2\cos a. ∎

Linéarisation

Exercice 3

Linéariser sin⁡2xcos⁡2x\sin^2x\cos^2x.

Voir la correction

sin⁡xcos⁡x=12sin⁡(2x)\sin x\cos x=\frac12\sin(2x) donc sin⁡2xcos⁡2x=14sin⁡2(2x)=14⋅1−cos⁡(4x)2=1−cos⁡(4x)8\sin^2x\cos^2x=\frac14\sin^2(2x)=\frac14\cdot\frac{1-\cos(4x)}2=\dfrac{1-\cos(4x)}8. ∎

L'essentiel du chapitre
  • Angles associés : symétries sur le cercle (−a, π−a, π+a, π2−a-a,\ \pi-a,\ \pi+a,\ \frac\pi2-a).
  • Addition : « le cos contrarie, le sin suit ».
  • Duplication : cos⁡2a\cos2a a trois formes ; d'où la linéarisation cos⁡2a=1+cos⁡2a2\cos^2a=\frac{1+\cos2a}2, sin⁡2a=1−cos⁡2a2\sin^2a=\frac{1-\cos2a}2.
  • Produit → somme pour linéariser ; somme → produit pour factoriser.
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