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1ʳᵉ Bac · Sciences Maths · Chapitre 6

Le produit scalaire dans le plan

1 · Résumé du cours

1.1 Produit scalaire dans le plan

Repère orthonormé Une base (ı⃗,ȷ⃗)(\vec\imath,\vec\jmath) est orthogonale si ı⃗⊥ȷ⃗\vec\imath\perp\vec\jmath, normée si ∥ı⃗∥=∥ȷ⃗∥=1\|\vec\imath\|=\|\vec\jmath\|=1, orthonormée si les deux. Le repère est direct quand l'orientation ı⃗→ȷ⃗\vec\imath\to\vec\jmath est le sens positif.
Définition — produit scalaire Pour u⃗,v⃗\vec u,\vec v non nuls, en notant HH le projeté orthogonal : u⃗⋅v⃗=∥u⃗∥×(projection algeˊbrique de v⃗ sur u⃗).\vec u\cdot\vec v=\|\vec u\|\times(\text{projection algébrique de }\vec v\text{ sur }\vec u). Si l'un des vecteurs est nul, le produit scalaire est nul.
Expression trigonométrique u⃗⋅v⃗=∥u⃗∥ ∥v⃗∥cos⁡(u⃗,v⃗).\vec u\cdot\vec v=\|\vec u\|\,\|\vec v\|\cos(\vec u,\vec v). Le cosinus ne dépend pas du représentant choisi. Signe : angle aigu ⇒ u⃗⋅v⃗>0\vec u\cdot\vec v>0 ; obtus ⇒ <0<0 ; et surtout u⃗⊥v⃗  ⟺  u⃗⋅v⃗=0\vec u\perp\vec v\iff\vec u\cdot\vec v=0.
Propriétés algébriques Pour tous u⃗,v⃗,w⃗\vec u,\vec v,\vec w et λ∈R\lambda\in\mathbb{R} : u⃗⋅v⃗=v⃗⋅u⃗,u⃗⋅(v⃗+w⃗)=u⃗⋅v⃗+u⃗⋅w⃗,(λu⃗)⋅v⃗=λ(u⃗⋅v⃗),u⃗⋅u⃗=∥u⃗∥2≥0.\vec u\cdot\vec v=\vec v\cdot\vec u,\quad \vec u\cdot(\vec v+\vec w)=\vec u\cdot\vec v+\vec u\cdot\vec w,\quad (\lambda\vec u)\cdot\vec v=\lambda(\vec u\cdot\vec v),\quad \vec u\cdot\vec u=\|\vec u\|^2\ge0. Et u⃗⋅u⃗=0  ⟺  u⃗=0⃗\vec u\cdot\vec u=0\iff\vec u=\vec0.
Identités utiles ∥u⃗+v⃗∥2=∥u⃗∥2+2u⃗⋅v⃗+∥v⃗∥2,∥u⃗−v⃗∥2=∥u⃗∥2−2u⃗⋅v⃗+∥v⃗∥2,\|\vec u+\vec v\|^2=\|\vec u\|^2+2\vec u\cdot\vec v+\|\vec v\|^2,\qquad \|\vec u-\vec v\|^2=\|\vec u\|^2-2\vec u\cdot\vec v+\|\vec v\|^2, (u⃗+v⃗)⋅(u⃗−v⃗)=∥u⃗∥2−∥v⃗∥2,u⃗⋅v⃗=12(∥u⃗+v⃗∥2−∥u⃗∥2−∥v⃗∥2).(\vec u+\vec v)\cdot(\vec u-\vec v)=\|\vec u\|^2-\|\vec v\|^2,\qquad \vec u\cdot\vec v=\tfrac12\big(\|\vec u+\vec v\|^2-\|\vec u\|^2-\|\vec v\|^2\big).

1.2 Expression analytique (repère orthonormé)

Théorème Si u⃗(x,y)\vec u(x,y) et v⃗(x′,y′)\vec v(x',y') dans un repère orthonormé : u⃗⋅v⃗=xx′+yy′\vec u\cdot\vec v=xx'+yy' (car ı⃗⋅ȷ⃗=0\vec\imath\cdot\vec\jmath=0 et ı⃗ 2=ȷ⃗ 2=1\vec\imath^{\,2}=\vec\jmath^{\,2}=1).
Norme, distance, milieu ∥u⃗∥=x2+y2,AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2,I(xA+xB2,yA+yB2).\|\vec u\|=\sqrt{x^2+y^2},\qquad AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2},\qquad I\Big(\tfrac{x_A+x_B}2,\tfrac{y_A+y_B}2\Big).
Angles, déterminant, aire Pour u⃗(x,y),v⃗(x′,y′)\vec u(x,y),\vec v(x',y') non nuls : cos⁡(u⃗,v⃗)=xx′+yy′x2+y2x′2+y′2,det⁡(u⃗,v⃗)=xy′−x′y,sin⁡(u⃗,v⃗)=det⁡(u⃗,v⃗)∥u⃗∥ ∥v⃗∥.\cos(\vec u,\vec v)=\frac{xx'+yy'}{\sqrt{x^2+y^2}\sqrt{x'^2+y'^2}},\qquad \det(\vec u,\vec v)=xy'-x'y,\qquad \sin(\vec u,\vec v)=\frac{\det(\vec u,\vec v)}{\|\vec u\|\,\|\vec v\|}. Aire du triangle : AABC=12∣det⁡(AB→,AC→)∣\mathcal A_{ABC}=\tfrac12\big|\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})\big|.
Forme trigonométrique d'un vecteur Tout u⃗≠0⃗\vec u\neq\vec0 s'écrit u⃗=∥u⃗∥(cos⁡α ı⃗+sin⁡α ȷ⃗)\vec u=\|\vec u\|(\cos\alpha\,\vec\imath+\sin\alpha\,\vec\jmath) avec α=(ı⃗,u⃗)\alpha=(\vec\imath,\vec u). Alors u⃗⋅v⃗=∥u⃗∥∥v⃗∥cos⁡(β−α)\vec u\cdot\vec v=\|\vec u\|\|\vec v\|\cos(\beta-\alpha) et det⁡(u⃗,v⃗)=∥u⃗∥∥v⃗∥sin⁡(β−α)\det(\vec u,\vec v)=\|\vec u\|\|\vec v\|\sin(\beta-\alpha).
Deux inégalités fondamentales Cauchy–Schwarz : ∣u⃗⋅v⃗∣≤∥u⃗∥ ∥v⃗∥|\vec u\cdot\vec v|\le\|\vec u\|\,\|\vec v\| (égalité ssi colinéaires), soit (xx′+yy′)2≤(x2+y2)(x′2+y′2)(xx'+yy')^2\le(x^2+y^2)(x'^2+y'^2).
Inégalité triangulaire : ∥u⃗+v⃗∥≤∥u⃗∥+∥v⃗∥\|\vec u+\vec v\|\le\|\vec u\|+\|\vec v\| (égalité si même sens).
Exemple : u⃗(3,1),v⃗(−2,4)\vec u(3,1),\vec v(-2,4) : u⃗⋅v⃗=−6+4=−2≠0\vec u\cdot\vec v=-6+4=-2\neq0 (non orthogonaux), ∥u⃗∥=10\|\vec u\|=\sqrt{10}.

1.3 Étude analytique des droites

Vecteur normal Un vecteur normal à (D)(D) est un vecteur non nul orthogonal à tout vecteur directeur de (D)(D).
Équation cartésienne La droite par A(xA,yA)A(x_A,y_A) de vecteur normal n⃗(a,b)\vec n(a,b) : a(x−xA)+b(y−yA)=0  ⟺  ax+by+c=0.a(x-x_A)+b(y-y_A)=0\iff ax+by+c=0. Réciproquement, si (a,b)≠(0,0)(a,b)\neq(0,0), ax+by+c=0ax+by+c=0 a pour normal n⃗(a,b)\vec n(a,b) et pour directeur d⃗(−b,a)\vec d(-b,a).
Positions relatives Pour (D):ax+by+c=0(D):ax+by+c=0 et (D′):a′x+b′y+c′=0(D'):a'x+b'y+c'=0 : (D)∥(D′)  ⟺  ab′−a′b=0,(D)⊥(D′)  ⟺  aa′+bb′=0.(D)\parallel(D')\iff ab'-a'b=0,\qquad (D)\perp(D')\iff aa'+bb'=0. Parallèles : confondues si (a,b,c)(a,b,c) et (a′,b′,c′)(a',b',c') proportionnels ; sinon strictement parallèles.
Distance d'un point à une droite d(M,(D))=∣ax0+by0+c∣a2+b2.d\big(M,(D)\big)=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}.
Méthode Pour une droite définie par un point et une orthogonalité : choisir le vecteur normal n⃗\vec n, écrire AM→⋅n⃗=0\overrightarrow{AM}\cdot\vec n=0. Dans ax+by+c=0ax+by+c=0, le normal n⃗(a,b)\vec n(a,b) se lit immédiatement.

1.4 Étude analytique du cercle

Centre et rayon Le cercle de centre Ω(a,b)\Omega(a,b), rayon r>0r>0 : (x−a)2+(y−b)2=r2.(x-a)^2+(y-b)^2=r^2.
Équation générale Pour x2+y2+αx+βy+γ=0x^2+y^2+\alpha x+\beta y+\gamma=0, posons Δc=α2+β2−4γ\Delta_c=\alpha^2+\beta^2-4\gamma. En complétant les carrés : (x+α2)2+(y+β2)2=Δc4\big(x+\tfrac\alpha2\big)^2+\big(y+\tfrac\beta2\big)^2=\tfrac{\Delta_c}4.
  • Δc>0\Delta_c>0 : cercle de centre Ω(−α2,−β2)\Omega(-\tfrac\alpha2,-\tfrac\beta2), rayon r=12Δcr=\tfrac12\sqrt{\Delta_c} ;
  • Δc=0\Delta_c=0 : réduit au point Ω\Omega ;
  • Δc<0\Delta_c<0 : ensemble vide.
Cercle de diamètre [AB][AB] Si A≠BA\neq B : M∈C[AB]  ⟺  MA→⋅MB→=0M\in\mathcal C_{[AB]}\iff\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0. Centre = milieu de [AB][AB], rayon =AB2=\frac{AB}2.
Trois points non alignés déterminent un unique cercle (intersection des médiatrices).
Positions & tangente Point : ΩM<r\Omega M<r intérieur, =r=r sur le cercle, >r>r extérieur. Droite (avec d=d(Ω,(D))d=d(\Omega,(D))) : d>rd>r aucune intersection, d=rd=r tangente, d<rd<r sécante (deux points). Tangente en M0(x0,y0)M_0(x_0,y_0) du cercle (perpendiculaire au rayon) : (x0−a)(x−x0)+(y0−b)(y−y0)=0,ou(x0−a)(x−a)+(y0−b)(y−b)=r2.(x_0-a)(x-x_0)+(y_0-b)(y-y_0)=0,\quad\text{ou}\quad (x_0-a)(x-a)+(y_0-b)(y-b)=r^2.
Représentation paramétrique {x=a+rcos⁡ty=b+rsin⁡tt∈[0,2π[.\begin{cases}x=a+r\cos t\\ y=b+r\sin t\end{cases}\quad t\in[0,2\pi[.
Méthode — reconnaître et étudier un cercle Compléter les carrés pour le centre et le rayon. Pour la position d'une droite, comparer la distance du centre au rayon (inutile de résoudre un système). Pour une tangente en un point connu, le rayon fournit le vecteur normal.

2 · Exercices résolus

Droite · distance

Exercice 1

A(1,2)A(1,2), n⃗(3,−1)\vec n(3,-1). Équation de (D)(D) par AA de normal n⃗\vec n, puis distance de OO à (D)(D).

Voir la correction

(D):3(x−1)−1(y−2)=0(D):3(x-1)-1(y-2)=0, soit 3x−y−1=03x-y-1=0. Distance : d(O,(D))=∣−1∣9+1=110=1010d(O,(D))=\dfrac{|{-1}|}{\sqrt{9+1}}=\dfrac1{\sqrt{10}}=\dfrac{\sqrt{10}}{10}. ∎

Cercle · carrés

Exercice 2

Centre et rayon du cercle x2+y2−4x+6y−3=0x^2+y^2-4x+6y-3=0.

Voir la correction

(x−2)2−4+(y+3)2−9−3=0  ⟺  (x−2)2+(y+3)2=16(x-2)^2-4+(y+3)^2-9-3=0\iff(x-2)^2+(y+3)^2=16. Centre Ω(2,−3)\Omega(2,-3), rayon r=4r=4. ∎

Cercle de diamètre

Exercice 3

A(0,1)A(0,1), B(4,3)B(4,3). Équation du cercle de diamètre [AB][AB].

Voir la correction

MM sur le cercle ssi MA→⋅MB→=0\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0, avec MA→(−x,1−y)\overrightarrow{MA}(-x,1-y), MB→(4−x,3−y)\overrightarrow{MB}(4-x,3-y) : (−x)(4−x)+(1−y)(3−y)=0  ⟺  x2−4x+y2−4y+3=0(-x)(4-x)+(1-y)(3-y)=0\iff x^2-4x+y^2-4y+3=0, soit (x−2)2+(y−2)2=5(x-2)^2+(y-2)^2=5 (centre (2,2)(2,2), rayon 5=AB2\sqrt5=\frac{AB}2). ∎

L'essentiel du chapitre
  • Analytique : u⃗⋅v⃗=xx′+yy′\vec u\cdot\vec v=xx'+yy', ∥u⃗∥=x2+y2\|\vec u\|=\sqrt{x^2+y^2}.
  • Orthogonalité   ⟺  \iff produit scalaire nul ; angle par cos⁡=u⃗⋅v⃗∥u⃗∥∥v⃗∥\cos=\frac{\vec u\cdot\vec v}{\|\vec u\|\|\vec v\|}.
  • Droite ax+by+c=0ax+by+c=0 : normal n⃗(a,b)\vec n(a,b) ; distance ∣ax0+by0+c∣a2+b2\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}.
  • Cercle : (x−a)2+(y−b)2=r2(x-a)^2+(y-b)^2=r^2 ; diamètre [AB][AB] : MA→⋅MB→=0\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0 ; forme développée ⇒ compléter les carrés.
Fiche de révisionL’essentiel du chapitre en une page — formules, méthodes et astucesVoir la ficheQCM interactifTeste-toi sur ce chapitre — 22 questions auto-corrigéesCommencer le QCM

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