QCM — Produit scalaire dans le plan

Le corrigé complet de ce QCM, question par question — la bonne réponse est surlignée en vert, suivie d'une remarque. Pratique pour réviser ou vérifier après avoir répondu.

1. Question 1

   Le produit scalaire de deux vecteurs non nuls \(\vec u\) et \(\vec v\) est :

   • A\(\|\vec u\|\times\|\vec v\|\)
   • ✓\(\|\vec u\|\,\|\vec v\|\cos(\widehat{\vec u,\vec v})\)
   • C\(\|\vec u\|\,\|\vec v\|\sin(\widehat{\vec u,\vec v})\)
   • D\(\|\vec u\|+\|\vec v\|\)

   Remarque

   Définition géométrique : \(\vec u\cdot\vec v=\|\vec u\|\,\|\vec v\|\cos(\widehat{\vec u,\vec v})\). Le \(\sin\) apparaît, lui, dans l'aire (déterminant).

2. Question 2

   Dans un repère orthonormé, si \(\vec u(x,y)\) et \(\vec v(x',y')\), alors \(\vec u\cdot\vec v=\)

   • ✓\(xx'+yy'\)
   • B\(xy'+x'y\)
   • C\(xx'-yy'\)
   • D\(xy-x'y'\)

   Remarque

   Expression analytique : \(\vec u\cdot\vec v=xx'+yy'\). L'expression \(xy'-x'y\) est le déterminant.

3. Question 3

   Deux vecteurs non nuls \(\vec u\) et \(\vec v\) sont orthogonaux si et seulement si :

   • A\(\vec u\cdot\vec v=1\)
   • ✓\(\vec u\cdot\vec v=0\)
   • C\(\|\vec u\|=\|\vec v\|\)
   • D\(\vec u=\vec v\)

   Remarque

   \(\vec u\perp\vec v\Leftrightarrow\cos(\widehat{\vec u,\vec v})=0\Leftrightarrow\vec u\cdot\vec v=0\).

4. Question 4

   Le produit scalaire \(\vec u\cdot\vec u\) est égal à :

   • A\(\|\vec u\|\)
   • ✓\(\|\vec u\|^2\)
   • C\(2\|\vec u\|\)
   • D\(0\)

   Remarque

   \(\vec u\cdot\vec u=\|\vec u\|\,\|\vec u\|\cos 0=\|\vec u\|^2\). On note souvent \(\vec u^{\,2}=\|\vec u\|^2\).

5. Question 5

   La norme d'un vecteur \(\vec u(x,y)\) est :

   • A\(x+y\)
   • ✓\(\sqrt{x^2+y^2}\)
   • C\(x^2+y^2\)
   • D\(|x|+|y|\)

   Remarque

   \(\|\vec u\|=\sqrt{\vec u\cdot\vec u}=\sqrt{x^2+y^2}\).

6. Question 6

   Pour \(\vec u(1,2)\) et \(\vec v(3,-1)\), \(\vec u\cdot\vec v=\)

   • A\(5\)
   • ✓\(1\)
   • C\(-1\)
   • D\(6\)

   Remarque

   \(\vec u\cdot\vec v=1\times 3+2\times(-1)=3-2=1\).

7. Question 7

   Les vecteurs \(\vec u(2,1)\) et \(\vec v(-1,2)\) sont :

   • Acolinéaires
   • ✓orthogonaux
   • Cégaux
   • Dde même norme mais non orthogonaux

   Remarque

   \(\vec u\cdot\vec v=2\times(-1)+1\times 2=0\) : ils sont orthogonaux.

8. Question 8

   Le produit scalaire est symétrique, c'est-à-dire :

   • A\(\vec u\cdot\vec v=-\,\vec v\cdot\vec u\)
   • ✓\(\vec u\cdot\vec v=\vec v\cdot\vec u\)
   • C\(\vec u\cdot\vec v=\vec u\cdot\vec u\)
   • D\(\vec u\cdot\vec v=0\)

   Remarque

   \(\vec u\cdot\vec v=\vec v\cdot\vec u\) : l'ordre des facteurs est sans importance (symétrie).

9. Question 9

   L'identité de développement de \(\|\vec u+\vec v\|^2\) est :

   • A\(\|\vec u\|^2+\|\vec v\|^2\)
   • ✓\(\|\vec u\|^2+2\,\vec u\cdot\vec v+\|\vec v\|^2\)
   • C\(\|\vec u\|^2-2\,\vec u\cdot\vec v+\|\vec v\|^2\)
   • D\(\|\vec u\|^2+\vec u\cdot\vec v+\|\vec v\|^2\)

   Remarque

   \(\|\vec u+\vec v\|^2=(\vec u+\vec v)\cdot(\vec u+\vec v)=\|\vec u\|^2+2\,\vec u\cdot\vec v+\|\vec v\|^2\).

10. Question 10

    Le théorème d'Al-Kashi dans un triangle \(ABC\) s'écrit \(a^2=\)

    • A\(b^2+c^2\)
    • ✓\(b^2+c^2-2bc\cos A\)
    • C\(b^2+c^2+2bc\cos A\)
    • D\(b^2-c^2-2bc\cos A\)

    Remarque

    Al-Kashi (loi des cosinus) : \(a^2=b^2+c^2-2bc\cos\widehat A\), généralisation du théorème de Pythagore.

11. Question 11

    On peut retrouver \(\vec u\cdot\vec v\) à partir des normes par :

    • ✓\(\tfrac12\big(\|\vec u+\vec v\|^2-\|\vec u\|^2-\|\vec v\|^2\big)\)
    • B\(\tfrac12\big(\|\vec u\|^2+\|\vec v\|^2\big)\)
    • C\(\|\vec u+\vec v\|^2-\|\vec u\|^2-\|\vec v\|^2\)
    • D\(\|\vec u\|\,\|\vec v\|\)

    Remarque

    En isolant dans \(\|\vec u+\vec v\|^2=\|\vec u\|^2+2\,\vec u\cdot\vec v+\|\vec v\|^2\) : \(\vec u\cdot\vec v=\tfrac12\big(\|\vec u+\vec v\|^2-\|\vec u\|^2-\|\vec v\|^2\big)\).

12. Question 12

    Le cosinus de l'angle entre deux vecteurs non nuls est :

    • A\(\dfrac{\vec u\cdot\vec v}{\|\vec u\|+\|\vec v\|}\)
    • ✓\(\dfrac{\vec u\cdot\vec v}{\|\vec u\|\,\|\vec v\|}\)
    • C\(\dfrac{\|\vec u\|\,\|\vec v\|}{\vec u\cdot\vec v}\)
    • D\(\vec u\cdot\vec v\)

    Remarque

    De la définition, \(\cos(\widehat{\vec u,\vec v})=\dfrac{\vec u\cdot\vec v}{\|\vec u\|\,\|\vec v\|}\).

13. Question 13

    L'équation du cercle de centre \(\Omega(a,b)\) et de rayon \(r\) est :

    • A\((x-a)^2+(y-b)^2=r\)
    • ✓\((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)
    • C\((x+a)^2+(y+b)^2=r^2\)
    • D\(x^2+y^2=r^2\)

    Remarque

    Un point \(M(x,y)\) est sur le cercle \(\Leftrightarrow \Omega M=r\Leftrightarrow(x-a)^2+(y-b)^2=r^2\).

14. Question 14

    L'ensemble des points \(M\) tels que \(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0\) est :

    • Ala droite \((AB)\)
    • ✓le cercle de diamètre \([AB]\)
    • Cla médiatrice de \([AB]\)
    • Dle segment \([AB]\)

    Remarque

    \(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0\) signifie que \(\widehat{AMB}\) est droit : \(M\) décrit le cercle de diamètre \([AB]\).

15. Question 15

    La distance \(AB\) entre \(A(x_A,y_A)\) et \(B(x_B,y_B)\) est :

    • A\(|x_B-x_A|+|y_B-y_A|\)
    • ✓\(\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\)
    • C\((x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2\)
    • D\(\sqrt{x_B x_A+y_B y_A}\)

    Remarque

    \(AB=\|\overrightarrow{AB}\|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\).

16. Question 16

    Le produit scalaire est bilinéaire ; en particulier \((k\vec u)\cdot\vec v=\)

    • ✓\(k(\vec u\cdot\vec v)\)
    • B\(k^2(\vec u\cdot\vec v)\)
    • C\(\vec u\cdot\vec v\)
    • D\(k+\vec u\cdot\vec v\)

    Remarque

    Linéarité par rapport à chaque facteur : \((k\vec u)\cdot\vec v=k(\vec u\cdot\vec v)\) et \(\vec u\cdot(\vec v+\vec w)=\vec u\cdot\vec v+\vec u\cdot\vec w\).

17. Question 17

    L'angle entre \(\vec u(1,0)\) et \(\vec v(1,1)\) mesure :

    • A\(30^\circ\)
    • ✓\(45^\circ\)
    • C\(60^\circ\)
    • D\(90^\circ\)

    Remarque

    \(\cos\theta=\dfrac{\vec u\cdot\vec v}{\|\vec u\|\,\|\vec v\|}=\dfrac{1}{1\times\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}{2}\), d'où \(\theta=45^\circ\).

18. Question 18

    L'identité de développement de \(\|\vec u-\vec v\|^2\) est :

    • A\(\|\vec u\|^2+2\,\vec u\cdot\vec v+\|\vec v\|^2\)
    • ✓\(\|\vec u\|^2-2\,\vec u\cdot\vec v+\|\vec v\|^2\)
    • C\(\|\vec u\|^2-\|\vec v\|^2\)
    • D\(\|\vec u\|^2+\|\vec v\|^2\)

    Remarque

    \(\|\vec u-\vec v\|^2=\|\vec u\|^2-2\,\vec u\cdot\vec v+\|\vec v\|^2\).

19. Question 19

    Si \(\vec u\cdot\vec v>0\) (vecteurs non nuls), alors l'angle \((\widehat{\vec u,\vec v})\) est :

    • ✓aigu
    • Bdroit
    • Cobtus
    • Dplat

    Remarque

    Le signe du produit scalaire est celui de \(\cos\theta\) : \(>0\) donne un angle aigu, \(<0\) un angle obtus, \(=0\) un angle droit.

20. Question 20

    Un vecteur normal à la droite d'équation \(ax+by+c=0\) est :

    • A\(\vec n(b,-a)\)
    • ✓\(\vec n(a,b)\)
    • C\(\vec n(-b,a)\)
    • D\(\vec n(c,0)\)

    Remarque

    \(\vec n(a,b)\) est orthogonal à la droite \(ax+by+c=0\) ; \(\vec u(-b,a)\) en est, lui, un vecteur directeur.

21. Question 21

    Le produit scalaire \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\) peut s'interpréter à l'aide de la projection : c'est \(\|\overrightarrow{AB}\|\times\overline{AH}\), où \(H\) est :

    • Ale milieu de \([AC]\)
    • ✓le projeté orthogonal de \(C\) sur la droite \((AB)\)
    • Cle symétrique de \(A\)
    • Dle pied de la hauteur issue de \(A\)

    Remarque

    \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AH}\) où \(H\) est le projeté orthogonal de \(C\) sur \((AB)\) : le produit scalaire « mesure » cette projection.

22. Question 22

    Dans un triangle \(ABC\), \(\widehat A=90^\circ\) équivaut à :

    • ✓\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=0\)
    • B\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}>0\)
    • C\(\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=0\)
    • D\(AB=AC\)

    Remarque

    L'angle en \(A\) est formé par \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) ; il est droit \(\Leftrightarrow\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=0\).