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1ʳᵉ Bac · Sciences Maths · Chapitre 5

Le barycentre dans le plan

1 · Résumé du cours

1.1 Points et systèmes pondérés

Définition Pour un point AA et un réel α≠0\alpha\neq0, le couple (A,α)(A,\alpha) est un point pondéré ; α\alpha est son poids. Un ensemble {(A1,α1),…,(An,αn)}\{(A_1,\alpha_1),\dots,(A_n,\alpha_n)\} est un système pondéré, de somme des poids s=α1+⋯+αns=\alpha_1+\dots+\alpha_n.
Condition à vérifier en premier Avant tout, calculer la somme des poids. Le barycentre n'est défini que lorsque cette somme est non nulle.

1.2 Barycentre de deux points

Théorème — existence et unicité Si α+β≠0\alpha+\beta\neq0, il existe un unique point GG tel que α GA→+β GB→=0⃗,G=bar{(A,α),(B,β)}.\alpha\,\overrightarrow{GA}+\beta\,\overrightarrow{GB}=\vec0,\qquad G=\mathrm{bar}\{(A,\alpha),(B,\beta)\}. De façon équivalente : AG→=βα+β AB→\overrightarrow{AG}=\dfrac{\beta}{\alpha+\beta}\,\overrightarrow{AB} — ce qui prouve à la fois existence, unicité et alignement de A,B,GA,B,G.
Démonstration Avec GB→=GA→+AB→\overrightarrow{GB}=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AB} : αGA→+βGB→=0⃗  ⟺  (α+β)GA→+βAB→=0⃗  ⟺  AG→=βα+βAB→\alpha\overrightarrow{GA}+\beta\overrightarrow{GB}=\vec0\iff(\alpha+\beta)\overrightarrow{GA}+\beta\overrightarrow{AB}=\vec0\iff\overrightarrow{AG}=\frac{\beta}{\alpha+\beta}\overrightarrow{AB}. Ce vecteur est déterminé : GG est unique.
Pourquoi exclure α+β=0\alpha+\beta=0 ? Si A≠BA\neq B et α+β=0\alpha+\beta=0, la relation donne αAB→=0⃗\alpha\overrightarrow{AB}=\vec0, impossible. Si A=BA=B, tout point convient : pas d'unicité.

1.2.1 Position, construction, isobarycentre

Position de GG Avec t=βα+βt=\dfrac{\beta}{\alpha+\beta} : AG→=t AB→\overrightarrow{AG}=t\,\overrightarrow{AB}. Si α,β\alpha,\beta de même signe, 0<t<10<t<1 et G∈ ]A,B[G\in\,]A,B[ ; de signes contraires, GG est à l'extérieur de [AB][AB].
Exemple : G=bar{(A,2),(B,1)}⇒AG→=13AB→G=\mathrm{bar}\{(A,2),(B,1)\}\Rightarrow\overrightarrow{AG}=\frac13\overrightarrow{AB} : au tiers de [AB][AB] depuis AA.
Homogénéité & isobarycentre Pour tout k≠0k\neq0 : bar{(A,α),(B,β)}=bar{(A,kα),(B,kβ)}\mathrm{bar}\{(A,\alpha),(B,\beta)\}=\mathrm{bar}\{(A,k\alpha),(B,k\beta)\} — on peut simplifier les poids. Lorsque α=β≠0\alpha=\beta\neq0, AG→=12AB→\overrightarrow{AG}=\frac12\overrightarrow{AB} : GG est le milieu de [AB][AB], l'isobarycentre.

1.2.2 Propriété caractéristique

Théorème Pour α+β≠0\alpha+\beta\neq0, GG est le barycentre ssi, pour tout point MM : α MA→+β MB→=(α+β) MG→.\alpha\,\overrightarrow{MA}+\beta\,\overrightarrow{MB}=(\alpha+\beta)\,\overrightarrow{MG}.
La formule qui « réduit » une somme de vecteurs Elle remplace une somme de vecteurs de même origine MM par un seul vecteur. Face à αMA→+βMB→\alpha\overrightarrow{MA}+\beta\overrightarrow{MB}, le réflexe est d'introduire le barycentre.

1.2.3 Coordonnées et lieux

Coordonnées Dans un repère, pour G=bar{(A,α),(B,β)}G=\mathrm{bar}\{(A,\alpha),(B,\beta)\} : xG=αxA+βxBα+β,yG=αyA+βyBα+βx_G=\frac{\alpha x_A+\beta x_B}{\alpha+\beta},\qquad y_G=\frac{\alpha y_A+\beta y_B}{\alpha+\beta} (propriété caractéristique avec M=OM=O).
Exemple : A(3,2),B(4,1)A(3,2),B(4,1), G=bar{(A,1),(B,−5)}G=\mathrm{bar}\{(A,1),(B,-5)\} : xG=3−20−4=174x_G=\frac{3-20}{-4}=\frac{17}4, yG=2−5−4=34y_G=\frac{2-5}{-4}=\frac34.
Méthode — lieux géométriques Avec s=α+β≠0s=\alpha+\beta\neq0 : ∥αMA→+βMB→∥=r  ⟺  ∣s∣ MG=r  ⟺  MG=r∣s∣\big\|\alpha\overrightarrow{MA}+\beta\overrightarrow{MB}\big\|=r\iff|s|\,MG=r\iff MG=\frac r{|s|} → cercle de centre GG, rayon r∣s∣\frac r{|s|}. Si deux réductions donnent sMG→s\overrightarrow{MG} et sMH→s\overrightarrow{MH}, l'égalité des normes donne MG=MHMG=MH → médiatrice de [GH][GH].

1.3 Barycentre de trois points

Définition & propriété caractéristique Si α+β+γ≠0\alpha+\beta+\gamma\neq0, il existe un unique GG tel que αGA→+βGB→+γGC→=0⃗\alpha\overrightarrow{GA}+\beta\overrightarrow{GB}+\gamma\overrightarrow{GC}=\vec0, et pour tout MM : αMA→+βMB→+γMC→=(α+β+γ)MG→.\alpha\overrightarrow{MA}+\beta\overrightarrow{MB}+\gamma\overrightarrow{MC}=(\alpha+\beta+\gamma)\overrightarrow{MG}. Coordonnées : xG=αxA+βxB+γxCα+β+γx_G=\frac{\alpha x_A+\beta x_B+\gamma x_C}{\alpha+\beta+\gamma} (idem pour yGy_G). Invariance par multiplication des poids.
Théorème — associativité (barycentre partiel) Si α+β≠0\alpha+\beta\neq0 et H=bar{(A,α),(B,β)}H=\mathrm{bar}\{(A,\alpha),(B,\beta)\}, alors (pour α+β+γ≠0\alpha+\beta+\gamma\neq0) : bar{(A,α),(B,β),(C,γ)}=bar{(H,α+β),(C,γ)}.\mathrm{bar}\{(A,\alpha),(B,\beta),(C,\gamma)\}=\mathrm{bar}\{(H,\alpha+\beta),(C,\gamma)\}. On remplace une partie du système par son barycentre, affecté de la somme des poids regroupés.
Méthode — construire GG (1) construire H=bar{(A,α),(B,β)}H=\mathrm{bar}\{(A,\alpha),(B,\beta)\} ; (2) l'affecter du poids α+β\alpha+\beta ; (3) construire G=bar{(H,α+β),(C,γ)}G=\mathrm{bar}\{(H,\alpha+\beta),(C,\gamma)\}. Si α+β=0\alpha+\beta=0, regrouper autrement.
L'associativité prouve les concours Elle ramène un barycentre de trois points à un point d'une droite. Pour un alignement, on regroupe deux points dont le barycentre partiel est déjà connu.
Centre de gravité d'un triangle L'isobarycentre G=bar{(A,1),(B,1),(C,1)}G=\mathrm{bar}\{(A,1),(B,1),(C,1)\} est le centre de gravité. Avec II milieu de [BC][BC] : G=bar{(A,1),(I,2)}G=\mathrm{bar}\{(A,1),(I,2)\}, donc AG→=23AI→.\overrightarrow{AG}=\frac23\overrightarrow{AI}. GG est le point de concours des trois médianes, aux 23\frac23 de chacune depuis le sommet.

1.4 Barycentre de quatre points (et plus)

Théorème Si s=α+β+γ+δ≠0s=\alpha+\beta+\gamma+\delta\neq0, il existe un unique GG tel que αGA→+βGB→+γGC→+δGD→=0⃗\alpha\overrightarrow{GA}+\beta\overrightarrow{GB}+\gamma\overrightarrow{GC}+\delta\overrightarrow{GD}=\vec0, et pour tout MM : ∑M⋅→=s MG→\sum\overrightarrow{M\cdot}=s\,\overrightarrow{MG}. Coordonnées : moyenne pondérée, dénominateur ss.
Méthode — regrouper deux paires Si α+β≠0\alpha+\beta\neq0 et γ+δ≠0\gamma+\delta\neq0, poser H=bar{(A,α),(B,β)}H=\mathrm{bar}\{(A,\alpha),(B,\beta)\}, K=bar{(C,γ),(D,δ)}K=\mathrm{bar}\{(C,\gamma),(D,\delta)\}. Alors G=bar{(H,α+β),(K,γ+δ)}G=\mathrm{bar}\{(H,\alpha+\beta),(K,\gamma+\delta)\}.
Tout se généralise Existence (somme ≠0\neq0), propriété caractéristique, coordonnées pondérées, invariance et associativité valent pour un nombre quelconque de points.

2 · Exercices résolus

Coordonnées

Exercice 1

A(1,2)A(1,2), B(4,−1)B(4,-1). Déterminer G=bar{(A,2),(B,1)}G=\mathrm{bar}\{(A,2),(B,1)\}.

Voir la correction

Somme =3≠0=3\neq0. xG=2⋅1+1⋅43=2x_G=\frac{2\cdot1+1\cdot4}3=2, yG=2⋅2+1⋅(−1)3=1y_G=\frac{2\cdot2+1\cdot(-1)}3=1. Donc G(2,1)G(2,1) ; poids de même signe ⇒ G∈[AB]G\in[AB]. ∎

Réduction · lieu

Exercice 2

Réduire 2MA→+MB→+MC→2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}, puis déterminer l'ensemble des MM tels que ∥2MA→+MB→+MC→∥=8\big\|2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\big\|=8.

Voir la correction

Somme des poids =4≠0=4\neq0 : soit G=bar{(A,2),(B,1),(C,1)}G=\mathrm{bar}\{(A,2),(B,1),(C,1)\}. Alors 2MA→+MB→+MC→=4MG→2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=4\overrightarrow{MG}. L'équation ∥4MG→∥=8\|4\overrightarrow{MG}\|=8 donne MG=2MG=2 : cercle de centre GG, rayon 22. ∎

Médiane · associativité

Exercice 3

ABCABC triangle, II milieu de [BC][BC]. Montrer que le centre de gravité GG vérifie AG→=23AI→\overrightarrow{AG}=\frac23\overrightarrow{AI}.

Voir la correction

G=bar{(A,1),(B,1),(C,1)}G=\mathrm{bar}\{(A,1),(B,1),(C,1)\}. Par associativité, I=bar{(B,1),(C,1)}I=\mathrm{bar}\{(B,1),(C,1)\} donne G=bar{(A,1),(I,2)}G=\mathrm{bar}\{(A,1),(I,2)\}. La propriété caractéristique en M=AM=A : 2AI→=3AG→2\overrightarrow{AI}=3\overrightarrow{AG}, d'où AG→=23AI→\overrightarrow{AG}=\frac23\overrightarrow{AI}. ∎

L'essentiel du chapitre
  • Existence : défini dès que la somme des poids ≠0\neq0.
  • Propriété caractéristique : ∑αiMAi→=(∑αi)MG→\sum\alpha_i\overrightarrow{MA_i}=(\sum\alpha_i)\overrightarrow{MG} — elle réduit toute somme pondérée.
  • Coordonnées : moyenne pondérée.
  • Homogénéité : multiplier les poids par k≠0k\neq0 ne change rien.
  • Associativité : barycentre partiel — l'outil des alignements et concours.
  • Isobarycentre d'un triangle = centre de gravité, aux 23\frac23 des médianes.
Fiche de révisionL’essentiel du chapitre en une page — formules, méthodes et astucesVoir la ficheQCM interactifTeste-toi sur ce chapitre — 22 questions auto-corrigéesCommencer le QCM

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