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1ʳᵉ Bac · Sciences Maths · Chapitre 4

Suites numériques

1 · Résumé du cours

1.1 Généralités sur les suites

Définition Pour I⊂NI\subset\mathbb{N}, une suite numérique est une application u:I→R, n↦unu:I\to\mathbb{R},\ n\mapsto u_n. Le réel unu_n est le terme d'indice nn ; on note (un)n∈I(u_n)_{n\in I}, ou (un)(u_n).
Indices : une écriture à respecter Le terme qui suit unu_n est un+1u_{n+1} — à ne pas confondre avec un+1u_n+1. Le premier terme n'est pas toujours u0u_0 : si la suite est définie pour n≥2n\ge2, il vaut u2u_2.

1.1.1 Modes de définition

Définition
  • explicite : unu_n donné directement en fonction de nn, ex. un=n2+12n+1u_n=\frac{n^2+1}{2n+1} — on calcule u100u_{100} sans les précédents ;
  • par récurrence : premier(s) terme(s) + relation, ex. ordre 1 u0=2, un+1=2un+3u_0=2,\ u_{n+1}=2u_n+3 ; ordre 2 v0=0, v1=1, vn+2=vn+1+vnv_0=0,\ v_1=1,\ v_{n+2}=v_{n+1}+v_n.
Exemple : u0=2, un+1=2un+3u_0=2,\ u_{n+1}=2u_n+3 donne u1=7, u2=17, u3=37u_1=7,\ u_2=17,\ u_3=37.
Explicite ou récurrente ? Une formule explicite donne u100u_{100} directement ; une récurrence demande en principe les termes précédents. On cherche donc souvent à transformer une récurrence en formule explicite.

1.1.2 Suites majorées, minorées, bornées

Définition (un)(u_n) est majorée si ∃M, ∀n, un≤M\exists M,\ \forall n,\ u_n\le M ; minorée si ∃m, un≥m\exists m,\ u_n\ge m ; bornée si les deux, c.-à-d. ∃A≥0, ∀n, ∣un∣≤A\exists A\ge0,\ \forall n,\ |u_n|\le A.
Exemple : un=nn+1u_n=\frac{n}{n+1} vérifie 0≤un<10\le u_n<1 : minorée par 00, majorée par 11, donc bornée.
Méthode — borne d'une suite récurrente Souvent par récurrence : (1) vérifier au premier indice ; (2) supposer un≤Mu_n\le M ; (3) via la relation, démontrer un+1≤Mu_{n+1}\le M. Avec racine/quotient, vérifier d'abord définition et signe.

1.1.3 Sens de variation

Définition (un)(u_n) est croissante si p≤n⇒up≤unp\le n\Rightarrow u_p\le u_n ; décroissante si p≤n⇒up≥unp\le n\Rightarrow u_p\ge u_n ; monotone si l'un des deux. Pour des indices consécutifs : (un) croissante  ⟺  ∀n, un+1−un≥0,(un) deˊcroissante  ⟺  un+1−un≤0.(u_n)\text{ croissante}\iff\forall n,\ u_{n+1}-u_n\ge0,\qquad (u_n)\text{ décroissante}\iff u_{n+1}-u_n\le0.
Méthode — étudier la monotonie
  1. étudier le signe de un+1−unu_{n+1}-u_n ;
  2. si un>0u_n>0, comparer un+1un\frac{u_{n+1}}{u_n} à 11 ;
  3. si un=f(n)u_n=f(n), étudier les variations de ff ;
  4. si un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_n), transformer un+1−unu_{n+1}-u_n via les bornes de unu_n.
Exemple : un=n2−nu_n=n^2-n : un+1−un=2n≥0u_{n+1}-u_n=2n\ge0, donc croissante.

1.2 Suites arithmétiques

Définition (un)(u_n) est arithmétique de raison rr si ∀n, un+1=un+r\forall n,\ u_{n+1}=u_n+r : on ajoute toujours le même rr. Caractérisation : un+1−unu_{n+1}-u_n est constant.
Exemple : un=3n−5u_n=3n-5 : un+1−un=3u_{n+1}-u_n=3, arithmétique de raison 33.
Terme général & variation un=up+(n−p)r,en particulier un=u0+nr.u_n=u_p+(n-p)r,\qquad\text{en particulier } u_n=u_0+nr. Variation : strictement croissante si r>0r>0, constante si r=0r=0, strictement décroissante si r<0r<0.
Trois termes a,b,ca,b,c consécutifs   ⟺  2b=a+c\iff 2b=a+c.
Somme de termes consécutifs up+up+1+⋯+un=(n−p+1)⋅up+un2=(nb termes)×1er+dernier2.u_p+u_{p+1}+\dots+u_n=(n-p+1)\cdot\frac{u_p+u_n}{2}=\text{(nb termes)}\times\frac{\text{1er}+\text{dernier}}{2}. En particulier 1+2+⋯+n=n(n+1)21+2+\dots+n=\frac{n(n+1)}2.
Compter les termes De upu_p à unu_n, il y a n−p+1n-p+1 termes ; de u0u_0 à unu_n, donc n+1n+1. Toujours vérifier ce compte avant d'appliquer une formule de somme.

1.3 Suites géométriques

Définition (un)(u_n) est géométrique de raison qq si ∀n, un+1=q un\forall n,\ u_{n+1}=q\,u_n : on multiplie toujours par le même qq. Si les termes sont non nuls, caractérisation : un+1un\frac{u_{n+1}}{u_n} est constant.
Terme général & variation un=up q n−p,en particulier un=u0 qn.u_n=u_p\,q^{\,n-p},\qquad\text{en particulier } u_n=u_0\,q^n. Pour des termes strictement positifs : croissante si q>1q>1, constante si q=1q=1, décroissante si 0<q<10<q<1. Si q<0q<0, les signes alternent (non monotone en général).
Trois termes a,b,ca,b,c consécutifs ⇒b2=ac\Rightarrow b^2=ac (réciproque si a≠0a\neq0, avec q=baq=\frac ba).
Somme de termes consécutifs Si q=1q=1 : up+⋯+un=(n−p+1)upu_p+\dots+u_n=(n-p+1)u_p. Si q≠1q\neq1 : up+up+1+⋯+un=up⋅1−q n−p+11−q,1+q+⋯+qn=1−qn+11−q.u_p+u_{p+1}+\dots+u_n=u_p\cdot\frac{1-q^{\,n-p+1}}{1-q},\qquad 1+q+\dots+q^n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}.
Méthode — retrouver la somme Poser S=up+⋯+unS=u_p+\dots+u_n, multiplier par qq : qS=up+1+⋯+un+1qS=u_{p+1}+\dots+u_{n+1}. Par soustraction, les termes intermédiaires s'éliminent : (1−q)S=up−un+1(1-q)S=u_p-u_{n+1}, avec un+1=up qn−p+1u_{n+1}=u_p\,q^{n-p+1}.
Formule à retenir Pour q≠1q\neq1 : somme=1er terme×1−q nb termes1−q\text{somme}=\text{1er terme}\times\dfrac{1-q^{\,\text{nb termes}}}{1-q}. C'est le nombre de termes, pas le dernier indice, qui donne l'exposant de qq.

1.4 Suites auxiliaires : un+1=aun+bu_{n+1}=au_n+b

Certaines suites ne sont ni arithmétiques ni géométriques, mais s'y ramènent par un changement de variable.

Méthode — point fixe Pour a≠1a\neq1, on cherche α\alpha tel que α=aα+b\alpha=a\alpha+b, soit α=b1−a\alpha=\dfrac{b}{1-a}. En posant vn=un−αv_n=u_n-\alpha : vn+1=un+1−α=a(un−α)=a vn,v_{n+1}=u_{n+1}-\alpha=a(u_n-\alpha)=a\,v_n, donc (vn)(v_n) est géométrique de raison aa. On exprime vnv_n, puis unu_n, en fonction de nn.
Exemple : un+1=2un+3u_{n+1}=2u_n+3 : α=2α+3⇒α=−3\alpha=2\alpha+3\Rightarrow\alpha=-3 ; vn=un+3v_n=u_n+3 vérifie vn+1=2vnv_{n+1}=2v_n.

2 · Exercices résolus

Arithmétique

Exercice 1

(un)(u_n) : u0=5u_0=5, un+1=un−3u_{n+1}=u_n-3. Nature, terme général, puis S=u0+u1+⋯+u10S=u_0+u_1+\dots+u_{10}.

Voir la correction

un+1−un=−3u_{n+1}-u_n=-3 constant : arithmétique de raison r=−3r=-3, donc un=5−3nu_n=5-3n. La somme compte 1111 termes, u10=−25u_{10}=-25 :

S=11×u0+u102=11×5+(−25)2=11×(−10)=−110S=11\times\dfrac{u_0+u_{10}}{2}=11\times\dfrac{5+(-25)}2=11\times(-10)=-110. ∎

Géométrique

Exercice 2

(vn)(v_n) géométrique, v0=2v_0=2, q=3q=3. Calculer v5v_5 et S=v0+⋯+v5S=v_0+\dots+v_5.

Voir la correction

vn=2⋅3nv_n=2\cdot3^n, donc v5=2⋅243=486v_5=2\cdot243=486. Somme de 66 termes :

S=v01−q61−q=2×1−729−2=728S=v_0\dfrac{1-q^6}{1-q}=2\times\dfrac{1-729}{-2}=728. ∎

Suite auxiliaire

Exercice 3

(wn)(w_n) : w0=1w_0=1, wn+1=2wn+3w_{n+1}=2w_n+3. On pose tn=wn+3t_n=w_n+3. Montrer que (tn)(t_n) est géométrique, puis exprimer wnw_n.

Voir la correction

tn+1=wn+1+3=2wn+6=2(wn+3)=2tnt_{n+1}=w_{n+1}+3=2w_n+6=2(w_n+3)=2t_n : géométrique de raison 22, t0=4t_0=4. Donc tn=4⋅2n=2n+2t_n=4\cdot2^n=2^{n+2}, d'où wn=tn−3=2n+2−3w_n=t_n-3=2^{n+2}-3. ∎

L'essentiel du chapitre
  • Arithmétique : +r+r, un=u0+nru_n=u_0+nr, variation selon le signe de rr.
  • Géométrique : ×q\times q, un=u0qnu_n=u_0q^n.
  • Sommes : arithmétique = (nb termes)×1er+dernier2\times\frac{\text{1er}+\text{dernier}}2 ; géométrique = (1er)×1−qnb termes1−q\times\frac{1-q^{\text{nb termes}}}{1-q}.
  • Monotonie : signe de un+1−unu_{n+1}-u_n, ou un+1un\frac{u_{n+1}}{u_n} vs 11 (termes positifs).
  • Une suite auxiliaire vn=un−αv_n=u_n-\alpha transforme un+1=aun+bu_{n+1}=au_n+b en suite géométrique.
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