QCM — Suites numériques

Le corrigé complet de ce QCM, question par question — la bonne réponse est surlignée en vert, suivie d'une remarque. Pratique pour réviser ou vérifier après avoir répondu.

1. Question 1

   Une suite \((u_n)\) est arithmétique de raison \(r\) lorsque :

   • A\(u_{n+1}=r\,u_n\)
   • ✓\(u_{n+1}=u_n+r\)
   • C\(u_{n+1}=u_n^2+r\)
   • D\(u_{n+1}=\dfrac{u_n}{r}\)

   Remarque

   Arithmétique : on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours la même raison \(r\), soit \(u_{n+1}=u_n+r\).

2. Question 2

   Pour une suite géométrique de premier terme \(u_0\) et de raison \(q\), le terme général est :

   • A\(u_n=u_0+nq\)
   • ✓\(u_n=u_0\,q^{\,n}\)
   • C\(u_n=u_0\,q^{\,n-1}\)
   • D\(u_n=n\,q\)

   Remarque

   Géométrique à partir de \(u_0\) : \(u_n=u_0\,q^{\,n}\) (si l'on part de \(u_1\), c'est \(u_1\,q^{\,n-1}\)).

3. Question 3

   Une suite arithmétique de premier terme \(u_0=3\) et de raison \(r=2\) a pour terme \(u_5\) :

   • A\(10\)
   • B\(11\)
   • ✓\(13\)
   • D\(16\)

   Remarque

   \(u_n=u_0+nr\), donc \(u_5=3+5\times 2=13\).

4. Question 4

   Une suite géométrique avec \(u_0=2\) et \(q=3\) a pour terme \(u_4\) :

   • A\(24\)
   • B\(54\)
   • ✓\(162\)
   • D\(486\)

   Remarque

   \(u_4=u_0\,q^4=2\times 3^4=2\times 81=162\).

5. Question 5

   Pour une suite arithmétique, la somme \(u_0+u_1+\dots+u_n\) vaut :

   • ✓\((n+1)\dfrac{u_0+u_n}{2}\)
   • B\(n\dfrac{u_0+u_n}{2}\)
   • C\(\dfrac{u_0+u_n}{2}\)
   • D\((n+1)(u_0+u_n)\)

   Remarque

   Somme de termes en progression arithmétique = (nombre de termes) × (moyenne des extrêmes) : \((n+1)\dfrac{u_0+u_n}{2}\).

6. Question 6

   La somme \(1+2+3+\dots+100\) vaut :

   • A\(5000\)
   • ✓\(5050\)
   • C\(10100\)
   • D\(4950\)

   Remarque

   \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k=\dfrac{n(n+1)}{2}\), donc pour \(n=100\) : \(\dfrac{100\times 101}{2}=5050\).

7. Question 7

   Pour une suite géométrique de raison \(q\neq 1\), la somme \(u_0+u_1+\dots+u_n\) vaut :

   • A\(u_0\,\dfrac{1-q^{\,n}}{1-q}\)
   • ✓\(u_0\,\dfrac{1-q^{\,n+1}}{1-q}\)
   • C\(u_0\,\dfrac{q^{\,n+1}-1}{q}\)
   • D\((n+1)u_0\)

   Remarque

   Il y a \(n+1\) termes : \(\displaystyle\sum_{k=0}^{n}u_0\,q^{k}=u_0\,\dfrac{1-q^{\,n+1}}{1-q}\).

8. Question 8

   La somme \(1+2+4+8+\dots+2^{n}\) vaut :

   • A\(2^{n}-1\)
   • ✓\(2^{n+1}-1\)
   • C\(2^{n+1}\)
   • D\(2^{n}\)

   Remarque

   Somme géométrique de raison \(2\), \(n+1\) termes : \(1\cdot\dfrac{2^{\,n+1}-1}{2-1}=2^{\,n+1}-1\).

9. Question 9

   Pour étudier le sens de variation d'une suite \((u_n)\), on étudie le plus souvent le signe de :

   • A\(u_n\)
   • ✓\(u_{n+1}-u_n\)
   • C\(u_{n+1}+u_n\)
   • D\(u_n^2\)

   Remarque

   Si \(u_{n+1}-u_n\ge 0\) pour tout \(n\), la suite est croissante ; si \(\le 0\), décroissante. (Pour une suite à termes positifs on peut aussi comparer \(\tfrac{u_{n+1}}{u_n}\) à \(1\).)

10. Question 10

    Une suite arithmétique de raison \(r\) est strictement croissante si et seulement si :

    • ✓\(r>0\)
    • B\(r<0\)
    • C\(r=0\)
    • D\(u_0>0\)

    Remarque

    \(u_{n+1}-u_n=r\) : le sens de variation ne dépend que du signe de \(r\). Croissante \(\Leftrightarrow r>0\).

11. Question 11

    Une suite géométrique de premier terme \(u_0>0\) et de raison \(q>1\) est :

    • Adécroissante
    • ✓croissante
    • Cconstante
    • Dnon monotone

    Remarque

    \(u_{n+1}-u_n=u_0\,q^{n}(q-1)\). Avec \(u_0>0\), \(q^{n}>0\) et \(q-1>0\), la différence est positive : croissante.

12. Question 12

    Dire que la suite \((u_n)\) est majorée signifie :

    • ✓\(\exists M\in\mathbb{R},\ \forall n,\ u_n\le M\)
    • B\(\forall M,\ \exists n,\ u_n\le M\)
    • C\(\exists m,\ \forall n,\ u_n\ge m\)
    • D\((u_n)\) est croissante

    Remarque

    Majorée : il existe un réel \(M\) tel que tous les termes vérifient \(u_n\le M\).

13. Question 13

    La suite définie par \(u_n=\dfrac{1}{n}\) (pour \(n\ge 1\)) est :

    • Acroissante et majorée par \(1\)
    • ✓décroissante et minorée par \(0\)
    • Cconstante
    • Dnon bornée

    Remarque

    \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{1}{n+1}-\dfrac1n<0\) : décroissante ; et \(u_n>0\) : minorée par \(0\) (majorée par \(u_1=1\)).

14. Question 14

    La suite \(u_n=(-1)^{n}\) est :

    • Acroissante
    • Bdécroissante
    • ✓bornée mais non monotone
    • Dnon bornée

    Remarque

    Ses termes valent alternativement \(1\) et \(-1\) : elle est bornée (\(-1\le u_n\le 1\)) mais n'est ni croissante ni décroissante.

15. Question 15

    Pour une suite définie par récurrence \(u_{n+1}=f(u_n)\), il est indispensable de connaître :

    • Ala limite de \((u_n)\)
    • ✓le premier terme \(u_0\)
    • Cune majoration de \((u_n)\)
    • Dla raison

    Remarque

    La relation \(u_{n+1}=f(u_n)\) ne suffit pas : sans le premier terme \(u_0\), la suite n'est pas déterminée.

16. Question 16

    Pour démontrer que « \(u_n>0\) pour tout \(n\in\mathbb{N}\) » sur une suite récurrente, on utilise le plus souvent :

    • Aun contre-exemple
    • ✓le raisonnement par récurrence
    • Cle calcul de la limite
    • Dla contraposée

    Remarque

    Une propriété portant sur tous les entiers et où \(u_{n+1}\) dépend de \(u_n\) se prouve naturellement par récurrence.

17. Question 17

    Trois réels \(a,b,c\) sont en progression arithmétique (dans cet ordre) si et seulement si :

    • A\(b^2=ac\)
    • ✓\(2b=a+c\)
    • C\(b=\dfrac{ac}{2}\)
    • D\(a+b+c=0\)

    Remarque

    En progression arithmétique, \(b\) est la moyenne arithmétique de \(a\) et \(c\) : \(2b=a+c\).

18. Question 18

    Trois réels non nuls \(a,b,c\) sont en progression géométrique (dans cet ordre) si et seulement si :

    • A\(2b=a+c\)
    • ✓\(b^2=ac\)
    • C\(b=a+c\)
    • D\(abc=1\)

    Remarque

    Le rapport est constant : \(\dfrac{b}{a}=\dfrac{c}{b}\), donc \(b^2=ac\) (\(b\) est moyenne géométrique).

19. Question 19

    La suite \(u_n=2n+1\) est arithmétique de raison :

    • A\(1\)
    • ✓\(2\)
    • C\(3\)
    • D\(n\)

    Remarque

    \(u_{n+1}-u_n=\big(2(n+1)+1\big)-(2n+1)=2\) : raison \(2\), premier terme \(u_0=1\).

20. Question 20

    La suite \(u_n=5\cdot 2^{n}\) est géométrique de raison :

    • A\(5\)
    • ✓\(2\)
    • C\(10\)
    • D\(2^n\)

    Remarque

    \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{5\cdot 2^{n+1}}{5\cdot 2^{n}}=2\) : raison \(2\), premier terme \(u_0=5\).

21. Question 21

    Une suite \((u_n)\) est bornée si et seulement si elle est :

    • Amajorée
    • Bminorée
    • ✓à la fois majorée et minorée
    • Dmonotone

    Remarque

    Bornée = majorée et minorée : il existe \(m,M\) tels que \(m\le u_n\le M\) pour tout \(n\).

22. Question 22

    Si \(u_{n+1}-u_n=3\) pour tout \(n\), alors la suite \((u_n)\) est :

    • Agéométrique de raison \(3\)
    • ✓arithmétique strictement croissante
    • Cdécroissante
    • Dconstante

    Remarque

    Une différence constante \(=3>0\) caractérise une suite arithmétique de raison \(3\), strictement croissante.