Fiche de révision — Suites numériques · 1ʳᵉ Bac SM

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Les suites numériques introduisent en 1ʳᵉ Bac Sciences Maths le raisonnement par récurrence et la première approche des limites. Cette fiche réunit les suites arithmétiques et géométriques, les sommes de termes, la monotonie, les suites majorées ou minorées et les suites récurrentes uₙ₊₁ = f(uₙ). En SM, on attend une rédaction soignée des récurrences et une étude propre de la monotonie via le signe de uₙ₊₁ − uₙ. Le point clé : reconnaître la nature d'une suite (arithmétique ou géométrique) avant d'appliquer aveuglément une formule de somme.

uₙ

Fiche de révision · 1ʳᵉ Bac Sciences Maths

Suites numériques — Arithmétiques, géométriques, sommes

Math Excellence

1 · Arithmétique vs géométrique

Arithmétique

u_{n+1}=u_n+r

u_{n+1}-u_n=r

constant

Géométrique

u_{n+1}=q\,u_n

\frac{u_{n+1}}{u_n}=q

constant

Terme général (arith.)

u_n=u_0+nr

u_n=u_p+(n-p)r

Terme général (géo.)

u_n=u_0\,q^n

u_n=u_p\,q^{\,n-p}

Milieu (arith.)

2b=a+c

a,b,c

consécutifs

Milieu (géo.)

b^2=ac

a,b,c

consécutifs

2 · Sommes & monotonie

Somme arithmétique

$=(\text{nb termes})\times\dfrac{\text{1er}+\text{dernier}}2$

1+2+\dots+n=\dfrac{n(n+1)}2

Somme géométrique

(q\neq1)

$=(\text{1er})\times\dfrac{1-q^{\,\text{nb termes}}}{1-q}$

1+q+\dots+q^n=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}

Variation (arith.)

$r>0$ : $\nearrow$ ; $r=0$ : constante ; $r<0$ : $\searrow$

Variation (géo.

>0

)

$q>1$ : $\nearrow$ ; $0<q<1$ : $\searrow$
$q<0$ : signes qui alternent

Étudier la monotonie

signe de $u_{n+1}-u_n$
si $u_n>0$ : comparer $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ à $1$
si $u_n=f(n)$ : variations de $f$

Compter les termes

de $u_p$ à $u_n$ : $n-p+1$ termes
de $u_0$ à $u_n$ : $n+1$ termes

Piège : vérifier ce compte avant toute somme.

3 · Valeurs & réflexes

1+2+\dots+n=\dfrac{n(n+1)}2

1+q+\dots+q^n=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}

exposant de

q

= nb de termes

arith. :

2b=a+c

géo. :

b^2=ac

bornée

\iff

\exists A,\ |u_n|\le A

u_{n+1}\neq u_n+1

u_n=\frac{n}{n+1}

0\le u_n&lt;1

4 · Méthodes types

Reconnaître la nature

$u_{n+1}-u_n$ constant ⇒ arithmétique
$\frac{u_{n+1}}{u_n}$ constant ⇒ géométrique

Suite auxiliaire

u_{n+1}=au_n+b

point fixe $\alpha=\frac{b}{1-a}\ (a\neq1)$
$v_n=u_n-\alpha$ est géométrique de raison $a$
exprimer $v_n$ puis $u_n$

u_{n+1}=2u_n+3\Rightarrow\alpha=-3,\ v_n=u_n+3

Borne par récurrence

vérifier au 1er indice
supposer $u_n\le M$ , montrer $u_{n+1}\le M$

Somme par décalage

poser $S$ , calculer $qS$ , soustraire
$(1-q)S=u_p-u_{n+1}$

★ Astuces géniales

Arithmétique $=+r$ , $u_n=u_0+nr$ ; géométrique $=\times q$ , $u_n=u_0q^n$ .
Somme : c'est le nombre de termes qui donne l'exposant de $q$ , pas le dernier indice.
Une suite auxiliaire $v_n=u_n-\alpha$ transforme $u_{n+1}=au_n+b$ en géométrique.
Monotonie : signe de $u_{n+1}-u_n$ , ou $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ vs $1$ si les termes sont positifs.

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