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Le barycentre est l'outil qui traduit un problème géométrique en calcul vectoriel maîtrisé. Cette fiche réunit la définition du point pondéré, la propriété caractéristique, l'associativité, les coordonnées du barycentre et ses applications à l'alignement et aux lieux géométriques. En 1ʳᵉ Bac Sciences Maths, il simplifie considérablement les sommes de vecteurs pondérés et prépare la notion de centre de gravité. Le réflexe gagnant : réduire une somme α·MA + β·MB en (α+β)·MG, à condition que α + β soit non nul.

G
Fiche de révision · 1ʳᵉ Bac Sciences Maths

Le barycentre dans le plan — Réduction, coordonnées, associativité

Math Excellence
1 · Définition & existence
Point pondéré
(A,α)(A,\alpha)
poids α\alpha, et α≠0\alpha\neq0
Barycentre
α GA→+β GB→=0⃗\alpha\,\overrightarrow{GA}+\beta\,\overrightarrow{GB}=\vec0
existe ssi α+β≠0\alpha+\beta\neq0
Position
AG→=βα+β AB→\overrightarrow{AG}=\dfrac{\beta}{\alpha+\beta}\,\overrightarrow{AB}
A,B,GA,B,G alignés
Isobarycentre
α=β⇒G\alpha=\beta\Rightarrow G milieu
AG→=12AB→\overrightarrow{AG}=\tfrac12\overrightarrow{AB}
Coordonnées
xG=αxA+βxBα+βx_G=\dfrac{\alpha x_A+\beta x_B}{\alpha+\beta}
idem pour yGy_G
Homogénéité
{(A,kα),(B,kβ)}\{(A,k\alpha),(B,k\beta)\}
même GG pour k≠0k\neq0
2 · Réduction, associativité & construction
Propriété caractéristique
  • pour tout point MM : ∑αi MAi→=(∑αi)MG→\sum\alpha_i\,\overrightarrow{MA_i}=\big(\sum\alpha_i\big)\overrightarrow{MG}
Réflexe : une somme pondérée de vecteurs de même origine ⇒ introduire le barycentre.
Associativité (barycentre partiel)
  • H=bar{(A,α),(B,β)}H=\mathrm{bar}\{(A,\alpha),(B,\beta)\} (α+β≠0)(\alpha+\beta\neq0)
  • bar{(A,α),(B,β),(C,γ)}=bar{(H,α+β),(C,γ)}\mathrm{bar}\{(A,\alpha),(B,\beta),(C,\gamma)\}=\mathrm{bar}\{(H,\alpha+\beta),(C,\gamma)\}
Construire GG (3 points)
  • construire H=bar{(A,α),(B,β)}H=\mathrm{bar}\{(A,\alpha),(B,\beta)\}
  • puis G=bar{(H,α+β),(C,γ)}G=\mathrm{bar}\{(H,\alpha+\beta),(C,\gamma)\}
Centre de gravité
  • G=bar{(A,1),(B,1),(C,1)}G=\mathrm{bar}\{(A,1),(B,1),(C,1)\}
  • II milieu de [BC]⇒AG→=23AI→[BC]\Rightarrow\overrightarrow{AG}=\tfrac23\overrightarrow{AI}
aux 23\tfrac23 de chaque médiane depuis le sommet
Signe des poids
  • même signe : G∈ ]A,B[G\in\,]A,B[
  • signes contraires : GG hors de [AB][AB]
3 · Formules & réflexes
existence   ⟺  \iff somme des poids ≠0\neq0
∑αiMAi→=(∑αi)MG→\sum\alpha_i\overrightarrow{MA_i}=(\sum\alpha_i)\overrightarrow{MG}
xG=x_G= moyenne pondérée
×k≠0\times k\neq0 : même barycentre
isobarycentre = milieu / centre de gravité
associativité = barycentre partiel
AG→=23AI→\overrightarrow{AG}=\tfrac23\overrightarrow{AI} (gravité)
4 points : regrouper 2 paires H,KH,K
4 · Méthodes types
Réduire une somme vectorielle
  • vérifier s=∑αi≠0s=\sum\alpha_i\neq0
  • poser GG, remplacer par s MG→s\,\overrightarrow{MG}
2MA→+MB→+MC→=4MG→2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=4\overrightarrow{MG}
Déterminer un lieu
  • ∥s MG→∥=r⇒MG=r∣s∣\big\|s\,\overrightarrow{MG}\big\|=r\Rightarrow MG=\tfrac r{|s|} : cercle
  • MG=MHMG=MH : médiatrice de [GH][GH]
Prouver alignement / concours
  • regrouper deux points par associativité
  • ramener GG à un point d'une droite connue
Calculer des coordonnées
  • vérifier s≠0s\neq0
  • appliquer la moyenne pondérée
Piège : ne jamais diviser par une somme de poids nulle.
★ Astuces géniales
  • Premier réflexe : calculer la somme des poids — le barycentre n'existe que si elle est non nulle.
  • La propriété caractéristique réduit toute somme pondérée en un seul vecteur s MG→s\,\overrightarrow{MG}.
  • Associativité = l'outil des alignements et concours : on regroupe deux points.
  • Multiplier tous les poids par un même k≠0k\neq0 ne change pas le barycentre — on simplifie librement.
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