QCM — Barycentre

Le corrigé complet de ce QCM, question par question — la bonne réponse est surlignée en vert, suivie d'une remarque. Pratique pour réviser ou vérifier après avoir répondu.

1. Question 1

   Le barycentre \(G\) des points pondérés \((A,\alpha)\) et \((B,\beta)\) est défini par :

   • ✓\(\alpha\,\overrightarrow{GA}+\beta\,\overrightarrow{GB}=\vec 0\)
   • B\(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}=\vec 0\)
   • C\(\alpha\,\overrightarrow{GA}-\beta\,\overrightarrow{GB}=\vec 0\)
   • D\(\alpha\,\overrightarrow{GA}=\beta\,\overrightarrow{GB}\)

   Remarque

   Par définition, \(G\) vérifie \(\alpha\,\overrightarrow{GA}+\beta\,\overrightarrow{GB}=\vec 0\).

2. Question 2

   Le barycentre de \((A,\alpha)\) et \((B,\beta)\) existe (et est unique) si et seulement si :

   • A\(\alpha=\beta\)
   • ✓\(\alpha+\beta\neq 0\)
   • C\(\alpha\beta\neq 0\)
   • D\(\alpha+\beta=0\)

   Remarque

   La condition d'existence est \(\alpha+\beta\neq 0\) (la somme des masses doit être non nulle).

3. Question 3

   L'isobarycentre de deux points \(A\) et \(B\) est :

   • Ale point \(A\)
   • ✓le milieu du segment \([AB]\)
   • Cun point de la droite \((AB)\) hors de \([AB]\)
   • Dle symétrique de \(A\) par rapport à \(B\)

   Remarque

   L'isobarycentre (masses égales) de \(A\) et \(B\) est le barycentre de \((A,1),(B,1)\), c'est-à-dire le milieu de \([AB]\).

4. Question 4

   L'isobarycentre \(G\) de trois points \(A,B,C\) est le centre de gravité du triangle, et vérifie \(\overrightarrow{AG}=\)

   • A\(\dfrac12\,\overrightarrow{AM}\)
   • ✓\(\dfrac23\,\overrightarrow{AM}\) où \(M\) est le milieu de \([BC]\)
   • C\(\dfrac13\,\overrightarrow{AM}\)
   • D\(\overrightarrow{AM}\)

   Remarque

   Le centre de gravité est situé aux deux tiers de chaque médiane à partir du sommet : \(\overrightarrow{AG}=\dfrac23\,\overrightarrow{AM}\), \(M\) milieu de \([BC]\).

5. Question 5

   La propriété fondamentale du barycentre \(G\) de \((A,\alpha),(B,\beta)\) : pour tout point \(M\),

   • A\(\alpha\,\overrightarrow{MA}+\beta\,\overrightarrow{MB}=\vec 0\)
   • ✓\(\alpha\,\overrightarrow{MA}+\beta\,\overrightarrow{MB}=(\alpha+\beta)\,\overrightarrow{MG}\)
   • C\(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MG}\)
   • D\(\alpha\,\overrightarrow{MA}+\beta\,\overrightarrow{MB}=(\alpha+\beta)\,\overrightarrow{GM}\)

   Remarque

   C'est la formule de réduction : \(\alpha\,\overrightarrow{MA}+\beta\,\overrightarrow{MB}=(\alpha+\beta)\,\overrightarrow{MG}\), très utile pour simplifier une somme vectorielle.

6. Question 6

   Propriété d'homogénéité : le barycentre de \((A,\alpha),(B,\beta)\) est aussi le barycentre de :

   • A\((A,\alpha+k),(B,\beta+k)\)
   • ✓\((A,k\alpha),(B,k\beta)\) pour tout \(k\neq 0\)
   • C\((A,\alpha^2),(B,\beta^2)\)
   • D\((B,\alpha),(A,\beta)\)

   Remarque

   Multiplier tous les coefficients par un même \(k\neq 0\) ne change pas le barycentre : c'est l'homogénéité.

7. Question 7

   Dans un repère, l'abscisse du barycentre \(G\) de \((A,\alpha),(B,\beta)\) est :

   • A\(x_A+x_B\)
   • ✓\(\dfrac{\alpha x_A+\beta x_B}{\alpha+\beta}\)
   • C\(\dfrac{x_A+x_B}{2}\)
   • D\(\alpha x_A+\beta x_B\)

   Remarque

   Les coordonnées de \(G\) sont les moyennes pondérées : \(x_G=\dfrac{\alpha x_A+\beta x_B}{\alpha+\beta}\) (idem pour \(y_G\)).

8. Question 8

   Le barycentre \(G\) de \((A,3)\) et \((B,1)\) vérifie \(\overrightarrow{AG}=\)

   • ✓\(\dfrac14\,\overrightarrow{AB}\)
   • B\(\dfrac34\,\overrightarrow{AB}\)
   • C\(\dfrac13\,\overrightarrow{AB}\)
   • D\(3\,\overrightarrow{AB}\)

   Remarque

   En général \(\overrightarrow{AG}=\dfrac{\beta}{\alpha+\beta}\,\overrightarrow{AB}=\dfrac{1}{4}\,\overrightarrow{AB}\) : \(G\) est proche de \(A\) (la plus grande masse).

9. Question 9

   Le milieu \(I\) du segment \([AB]\) est le barycentre de :

   • A\((A,1),(B,2)\)
   • ✓\((A,1),(B,1)\)
   • C\((A,2),(B,1)\)
   • D\((A,1),(B,-1)\)

   Remarque

   Masses égales \(\Rightarrow\) milieu : \(I\) est le barycentre de \((A,1),(B,1)\).

10. Question 10

    L'associativité du barycentre permet de :

    • Achanger l'ordre des points sans conséquence
    • ✓remplacer plusieurs points par leur barycentre partiel affecté de la somme de leurs masses
    • Csupprimer une masse nulle
    • Ddiviser toutes les masses par \(2\)

    Remarque

    On peut regrouper : le barycentre partiel de certains points, affecté de la somme de leurs coefficients, se substitue à ces points sans changer le barycentre global.

11. Question 11

    Le barycentre de \((A,2),(B,2),(C,2)\) est :

    • Ale milieu de \([AB]\)
    • ✓l'isobarycentre (centre de gravité) de \(A,B,C\)
    • Cle point \(A\)
    • Dindéfini

    Remarque

    Les masses sont égales : par homogénéité c'est le barycentre de \((A,1),(B,1),(C,1)\), donc le centre de gravité du triangle.

12. Question 12

    Si \(\alpha+\beta=0\) avec \(\alpha\neq 0\), le vecteur \(\alpha\,\overrightarrow{MA}+\beta\,\overrightarrow{MB}\) est :

    • Anul
    • ✓un vecteur constant, indépendant du point \(M\)
    • Cégal à \((\alpha+\beta)\overrightarrow{MG}\)
    • Dimpossible à calculer

    Remarque

    Avec \(\beta=-\alpha\), \(\alpha\,\overrightarrow{MA}-\alpha\,\overrightarrow{MB}=\alpha\,\overrightarrow{BA}\) : un vecteur constant (le barycentre n'existe pas).

13. Question 13

    Pour le barycentre \(G\) de \((A,\alpha),(B,\beta)\), on a \(\overrightarrow{AG}=\)

    • A\(\dfrac{\alpha}{\alpha+\beta}\,\overrightarrow{AB}\)
    • ✓\(\dfrac{\beta}{\alpha+\beta}\,\overrightarrow{AB}\)
    • C\(\dfrac{\alpha+\beta}{\beta}\,\overrightarrow{AB}\)
    • D\((\alpha+\beta)\,\overrightarrow{AB}\)

    Remarque

    En écrivant la définition avec l'origine \(A\) : \(\overrightarrow{AG}=\dfrac{\beta}{\alpha+\beta}\,\overrightarrow{AB}\).

14. Question 14

    Les coordonnées de l'isobarycentre de \(A,B,C\) sont :

    • ✓\(\Big(\dfrac{x_A+x_B+x_C}{3},\ \dfrac{y_A+y_B+y_C}{3}\Big)\)
    • B\(\big(x_A+x_B+x_C,\ y_A+y_B+y_C\big)\)
    • C\(\Big(\dfrac{x_A+x_B+x_C}{2},\ \dfrac{y_A+y_B+y_C}{2}\Big)\)
    • D\(\big(x_A,\ y_A\big)\)

    Remarque

    Masses égales \(\Rightarrow\) moyenne arithmétique des coordonnées : \(x_G=\dfrac{x_A+x_B+x_C}{3}\), \(y_G=\dfrac{y_A+y_B+y_C}{3}\).

15. Question 15

    Si \(\alpha>0\) et \(\beta>0\), le barycentre de \((A,\alpha),(B,\beta)\) appartient :

    • Aà la droite \((AB)\) mais hors du segment
    • ✓au segment \([AB]\)
    • Chors de la droite \((AB)\)
    • Dà la médiatrice de \([AB]\)

    Remarque

    Avec des masses de même signe, \(G\) est situé entre \(A\) et \(B\), donc sur le segment \([AB]\).

16. Question 16

    Le centre de gravité d'un triangle \(ABC\) a pour ordonnée :

    • ✓\(\dfrac{y_A+y_B+y_C}{3}\)
    • B\(\dfrac{y_A+y_B+y_C}{2}\)
    • C\(y_A+y_B+y_C\)
    • D\(\dfrac{y_A+y_B}{2}\)

    Remarque

    C'est l'isobarycentre : \(y_G=\dfrac{y_A+y_B+y_C}{3}\).

17. Question 17

    Le barycentre est un outil efficace pour prouver que trois points sont :

    • Aéquidistants
    • ✓alignés
    • Corthogonaux
    • Dconfondus

    Remarque

    Si l'un des points est barycentre des deux autres, il appartient à leur droite : le barycentre sert typiquement à prouver l'alignement (ou la concourance de droites).

18. Question 18

    Quand \(\alpha+\beta\neq 0\), la somme \(\alpha\,\overrightarrow{MA}+\beta\,\overrightarrow{MB}\) se « réduit » en :

    • ✓\((\alpha+\beta)\,\overrightarrow{MG}\), où \(G\) est le barycentre
    • B\(\overrightarrow{MG}\)
    • C\(\vec 0\)
    • D\((\alpha-\beta)\,\overrightarrow{MG}\)

    Remarque

    La réduction transforme la somme pondérée en un seul terme : \((\alpha+\beta)\,\overrightarrow{MG}\), avec \(G\) le barycentre.

19. Question 19

    Le barycentre de \((A,\alpha),(B,\beta),(C,\gamma)\) existe si et seulement si :

    • A\(\alpha=\beta=\gamma\)
    • ✓\(\alpha+\beta+\gamma\neq 0\)
    • C\(\alpha\beta\gamma\neq 0\)
    • D\(\alpha+\beta+\gamma=1\)

    Remarque

    Pour trois points (ou plus), la condition est que la somme des masses soit non nulle : \(\alpha+\beta+\gamma\neq 0\).

20. Question 20

    Les coordonnées du milieu de \([AB]\) sont :

    • A\(\big(x_A+x_B,\ y_A+y_B\big)\)
    • ✓\(\Big(\dfrac{x_A+x_B}{2},\ \dfrac{y_A+y_B}{2}\Big)\)
    • C\(\Big(\dfrac{x_A+x_B}{3},\ \dfrac{y_A+y_B}{3}\Big)\)
    • D\(\big(x_B-x_A,\ y_B-y_A\big)\)

    Remarque

    Le milieu est l'isobarycentre de \(A\) et \(B\) : coordonnées \(\Big(\dfrac{x_A+x_B}{2},\ \dfrac{y_A+y_B}{2}\Big)\).

21. Question 21

    Le barycentre \(G\) de \((A,1),(B,3)\) vérifie :

    • ✓\(\overrightarrow{AG}=\dfrac34\,\overrightarrow{AB}\), \(G\) proche de \(B\)
    • B\(\overrightarrow{AG}=\dfrac14\,\overrightarrow{AB}\), \(G\) proche de \(A\)
    • C\(G\) est le milieu de \([AB]\)
    • D\(G\) n'existe pas

    Remarque

    \(\overrightarrow{AG}=\dfrac{\beta}{\alpha+\beta}\,\overrightarrow{AB}=\dfrac{3}{4}\,\overrightarrow{AB}\) : \(G\) est plus proche de \(B\), qui porte la plus grande masse.

22. Question 22

    Quel énoncé sur le barycentre est correct ?

    • AIl dépend de l'ordre dans lequel on écrit les points
    • ✓Il est inchangé si l'on permute les points pondérés
    • CIl change si on multiplie toutes les masses par \(-1\)
    • DIl n'existe que si toutes les masses sont positives

    Remarque

    Le barycentre ne dépend pas de l'ordre des points pondérés, et l'homogénéité (avec \(k=-1\)) le laisse invariant. Il peut exister avec des masses de signes différents, tant que leur somme est non nulle.