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Le produit scalaire dans le plan relie longueurs, angles et orthogonalité en une seule opération. Cette fiche condense les expressions (trigonométrique, analytique, avec projeté), le carré scalaire, la caractérisation de l'orthogonalité et les applications aux droites et au cercle. En 1ʳᵉ Bac Sciences Maths, il est l'outil analytique par excellence pour démontrer une perpendicularité ou trouver une équation de cercle. Le piège fréquent : deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul — pensez-y avant tout calcul d'angle.

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Fiche de révision · 1ʳᵉ Bac Sciences Maths

Le produit scalaire dans le plan — Analytique, droites, cercle

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1 · Définitions & expressions
Trigonométrique
u⃗⋅v⃗=∥u⃗∥ ∥v⃗∥cos⁡(u⃗,v⃗)\vec u\cdot\vec v=\|\vec u\|\,\|\vec v\|\cos(\vec u,\vec v)
signe = signe de l'angle
Analytique (repère O.N.)
u⃗⋅v⃗=xx′+yy′\vec u\cdot\vec v=xx'+yy'
u⃗(x,y), v⃗(x′,y′)\vec u(x,y),\ \vec v(x',y')
Orthogonalité
u⃗⊥v⃗  ⟺  u⃗⋅v⃗=0\vec u\perp\vec v\iff\vec u\cdot\vec v=0
le test clé
Carré scalaire
u⃗⋅u⃗=∥u⃗∥2\vec u\cdot\vec u=\|\vec u\|^2
∥u⃗∥=x2+y2\|\vec u\|=\sqrt{x^2+y^2}
Déterminant
det⁡(u⃗,v⃗)=xy′−x′y\det(\vec u,\vec v)=xy'-x'y
=0  ⟺  =0\iff colinéaires
Distance
AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}
=∥AB→∥=\|\overrightarrow{AB}\|
2 · Identités, angles & inégalités
Identités remarquables
  • ∥u⃗±v⃗∥2=∥u⃗∥2±2u⃗⋅v⃗+∥v⃗∥2\|\vec u\pm\vec v\|^2=\|\vec u\|^2\pm2\vec u\cdot\vec v+\|\vec v\|^2
  • (u⃗+v⃗)⋅(u⃗−v⃗)=∥u⃗∥2−∥v⃗∥2(\vec u+\vec v)\cdot(\vec u-\vec v)=\|\vec u\|^2-\|\vec v\|^2
u⃗⋅v⃗=12(∥u⃗+v⃗∥2−∥u⃗∥2−∥v⃗∥2)\vec u\cdot\vec v=\tfrac12\big(\|\vec u+\vec v\|^2-\|\vec u\|^2-\|\vec v\|^2\big)
Angle & aire
  • cos⁡(u⃗,v⃗)=u⃗⋅v⃗∥u⃗∥ ∥v⃗∥\cos(\vec u,\vec v)=\dfrac{\vec u\cdot\vec v}{\|\vec u\|\,\|\vec v\|}
  • sin⁡(u⃗,v⃗)=det⁡(u⃗,v⃗)∥u⃗∥ ∥v⃗∥\sin(\vec u,\vec v)=\dfrac{\det(\vec u,\vec v)}{\|\vec u\|\,\|\vec v\|}
AABC=12∣det⁡(AB→,AC→)∣\mathcal A_{ABC}=\tfrac12\big|\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})\big|
Cauchy–Schwarz
  • ∣u⃗⋅v⃗∣≤∥u⃗∥ ∥v⃗∥|\vec u\cdot\vec v|\le\|\vec u\|\,\|\vec v\|
  • égalité   ⟺  \iff colinéaires
Inégalité triangulaire
  • ∥u⃗+v⃗∥≤∥u⃗∥+∥v⃗∥\|\vec u+\vec v\|\le\|\vec u\|+\|\vec v\|
  • égalité   ⟺  \iff même sens
3 · Formules & réflexes
u⃗⋅v⃗=xx′+yy′\vec u\cdot\vec v=xx'+yy'
∥u⃗∥=x2+y2\|\vec u\|=\sqrt{x^2+y^2}
u⃗⊥v⃗  ⟺  u⃗⋅v⃗=0\vec u\perp\vec v\iff\vec u\cdot\vec v=0
u⃗⋅u⃗=∥u⃗∥2\vec u\cdot\vec u=\|\vec u\|^2
∥u⃗+v⃗∥2=∥u⃗∥2+2u⃗⋅v⃗+∥v⃗∥2\|\vec u+\vec v\|^2=\|\vec u\|^2+2\vec u\cdot\vec v+\|\vec v\|^2
det⁡(u⃗,v⃗)=xy′−x′y\det(\vec u,\vec v)=xy'-x'y
droite : normal n⃗(a,b)\vec n(a,b), directeur d⃗(−b,a)\vec d(-b,a)
d(M,D)=∣ax0+by0+c∣a2+b2d(M,D)=\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}
4 · Droites & cercle — méthodes
Équation d'une droite
  • par AA, normal n⃗(a,b)\vec n(a,b) : AM→⋅n⃗=0\overrightarrow{AM}\cdot\vec n=0
  • ⇒ax+by+c=0\Rightarrow ax+by+c=0, normal n⃗(a,b)\vec n(a,b)
Positions relatives
  • (D)∥(D′)  ⟺  ab′−a′b=0(D)\parallel(D')\iff ab'-a'b=0
  • (D)⊥(D′)  ⟺  aa′+bb′=0(D)\perp(D')\iff aa'+bb'=0
Reconnaître un cercle
  • forme (x−a)2+(y−b)2=r2(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
  • développée : compléter les carrés
Piège : si \Delta_c<0 l'ensemble est vide, si Δc=0\Delta_c=0 c'est un point.
Cercle de diamètre [AB][AB]
  • M∈C  ⟺  MA→⋅MB→=0M\in\mathcal C\iff\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0
  • droite & cercle : comparer d(Ω,D)d(\Omega,D) au rayon rr
★ Astuces géniales
  • Orthogonalité = produit scalaire nul. C'est le pont entre géométrie et calcul.
  • En repère orthonormé, tout se calcule : u⃗⋅v⃗=xx′+yy′\vec u\cdot\vec v=xx'+yy', ∥u⃗∥=x2+y2\|\vec u\|=\sqrt{x^2+y^2}.
  • Position d'une droite / cercle : comparer la distance du centre au rayon, sans résoudre de système.
  • Équation développée d'un cercle : compléter les carrés donne centre et rayon d'un coup.
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