Fiche de révision — Généralités sur les fonctions · 1ʳᵉ Bac SM

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Les généralités sur les fonctions rassemblent tous les réflexes d'étude que l'on réutilisera toute l'année en Sciences Maths. Cette fiche récapitule le domaine de définition, la parité, la périodicité, le sens de variation, les extremums, la comparaison de fonctions et la composition. En 1ʳᵉ Bac SM, bien lire ces propriétés sur une expression évite des erreurs coûteuses dans les études plus avancées. Le réflexe utile : exploiter une parité ou une périodicité pour réduire l'intervalle d'étude, puis compléter la courbe par symétrie.

Fiche de révision · 1ʳᵉ Bac Sciences Maths

Généralités sur les fonctions — Parité, variations, composée

Math Excellence

1 · Domaine & symétries

Interdits de

D_f

\frac1x,\ \sqrt{u},\ \tan u

x\neq0

u\ge0

\cos u\neq0

Paire

f(-x)=f(x)

symétrie / axe

(Oy)

Impaire

f(-x)=-f(x)

symétrie / origine

O

Périodique

f(x+T)=f(x)

\cos,\sin:2\pi

;

\tan:\pi

Égalité

f=g

D_f=D_g

f(x)=g(x)

Bornée

|f(x)|\le\alpha

majorée et minorée

2 · Variations, bornes & composée

Monotonie (sans dérivée)

pour $a<b$ , étudier le signe de $f(b)-f(a)$
ou le taux $\tau=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

Astuce :

\tau\ge0

croissante,

\tau\le0

décroissante.

Majorée · minorée · extremums

majorée : $\exists M,\ f(x)\le M$
max absolu en $x_0$ : $f(x)\le f(x_0)$

Piège : un majorant n'est pas toujours un maximum (borne non atteinte).

Comparer

f

g

signe de $f-g$ : au-dessus / au-dessous
$f-g=0$ : les courbes se coupent

Composée

v\circ u

$(v\circ u)(x)=v(u(x))$ , $u$ d'abord
$D:\ x\in D_u$ et $u(x)\in D_v$

Règle des signes : même sens ⇒ croissante ; sens contraires ⇒ décroissante.

Image d'un intervalle

$f\nearrow$ : $f([a,b])=[f(a),f(b)]$
$f\searrow$ : $f([a,b])=[f(b),f(a)]$

l'intervalle « se retourne » si

f\searrow

3 · Fonctions de référence

Affine

ax+b

\tau=a

Trinôme :

a(x-\alpha)^2+\beta,\ \alpha=-\frac{b}{2a}

Sommet

S(\alpha,\beta)

, axe

x=\alpha

Homographique : centre

I(-\frac dc,\frac ac)

\frac{ad-bc}{(cx+d)(cy+d)}

donne le sens

\sqrt{ax+b}

D=[-\frac ba,+\infty[

a>0

x^3

: impaire,

\nearrow

sur

\mathbb{R}

\frac1x

\searrow

sur

]0,+\infty[

4 · Transformations de

\mathcal C_f

Translations

$f(x)+k$ : verticale $k\vec\jmath$
$f(x-a)$ : horizontale $a\vec\imath$

Symétries

$-f(x)$ : / axe $(Ox)$
$f(-x)$ : / axe $(Oy)$

Valeur absolue

|f(x)|

la partie sous $(Ox)$ est rabattue au-dessus

Plan d'étude

domaine → symétries → signe de $\tau$
→ tableau de variations → extremums → courbe

★ Astuces géniales

Parité : vérifier d'abord que $D_f$ est symétrique, sinon ni paire ni impaire — puis n'étudier qu'une moitié.
Monotonie sans dérivée : le signe de $f(b)-f(a)$ pour $a<b$ .
Comparer deux fonctions = étudier le signe de $f-g$ .
Composée : $u$ agit en premier ; le sens suit la règle des signes.

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