1ʳᵉ Bac · Sciences Maths · Chapitre 3

Généralités sur les fonctions

1 · Résumé du cours

1.1 Domaine, égalité, courbe

Définition Une fonction numérique associe à chaque

x

d'une partie

D\subset\mathbb{R}

un unique réel

f(x)

. L'ensemble de définition

D_f

est l'ensemble des

x

pour lesquels

f(x)

existe.

Égalité de deux fonctions

f=g \iff D_f=D_g \text{ et } \forall x\in D_f,\ f(x)=g(x).

Une même expression avec deux domaines différents ne définit pas la même fonction.

Les interdits qui restreignent

D_f

dénominateur nul : $\frac1x$ interdit $x=0$ ;
racine d'un négatif : $\sqrt{u(x)}$ impose $u(x)\ge0$ ;
tangente : $\tan u(x)$ impose $\cos u(x)\neq0$ .

Toutes les conditions doivent être vérifiées simultanément.

Reconnaître la courbe d'une fonction Une courbe représente une fonction de

x

lorsque toute droite verticale la coupe en au plus un point : un même

x

ne peut avoir deux images.

1.2 Parité et périodicité

Définition Soit

D_f

symétrique par rapport à $0$ (

x\in D_f\Rightarrow -x\in D_f

$f$ paire si $\forall x\in D_f,\ f(-x)=f(x)$ ;
$f$ impaire si $\forall x\in D_f,\ f(-x)=-f(x)$ .

Traduction graphique

f

paire

\iff

\mathcal C_f

symétrique par rapport à l'axe

(Oy)

;

f

impaire

\iff

\mathcal C_f

symétrique par rapport à l'origine

O

. On peut alors n'étudier

f

que sur

D_f\cap[0,+\infty[

, puis compléter par symétrie.

Méthode — étudier la parité

vérifier que $D_f$ est symétrique (sinon : ni paire ni impaire) ;
calculer $f(-x)$ ;
comparer à $f(x)$ (paire) et à $-f(x)$ (impaire).

Exemple :

f(x)=x^2+\cos x

f(-x)=x^2+\cos x=f(x)

, paire. La seule fonction à la fois paire et impaire est la fonction nulle.

Périodicité

T\neq0

est une période de

f

si, pour tout

x\in D_f

x\pm T\in D_f

f(x+T)=f(x)

. La plus petite période

>0

est la période fondamentale ;

\mathcal C_f

est invariante par la translation

T\vec\imath

. Tout

kT

(

k\in\mathbb{Z}^*

) est aussi une période.

\cos,\sin

: période

2\pi

;

\tan

: période

\pi

1.3 Monotonie (sans dérivée)

Définition Sur un intervalle

I

f

est croissante si

\forall a,b\in I,\ a\le b\Rightarrow f(a)\le f(b)

(elle conserve l'ordre) ; décroissante si

a\le b\Rightarrow f(a)\ge f(b)

(elle inverse l'ordre) ; constante si elle garde la même valeur. Avec des inégalités strictes, la monotonie est stricte.

Taux de variation

\tau=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\qquad(a\neq b).

Sur

I

f

croissante

\iff \tau\ge0

;

f

décroissante

\iff \tau\le0

Méthode Pour

a<b

dans

I

, étudier le signe de

f(b)-f(a)

(ou de

\tau

). Signe constant

\Rightarrow

f

monotone.
Exemple :

f(x)=x^2

sur

[0,+\infty[

f(b)-f(a)=(b-a)(b+a)>0

, donc strictement croissante.

Deux règles pratiques

$k+f$ varie comme $f$ ; $k\,f$ varie comme $f$ si $k>0$ , en sens contraire si $k<0$ .
Sur $-I$ : si $f$ est paire, le sens s'inverse ; si $f$ est impaire, il se conserve.

1.4 Majorée, minorée, bornée · extremums

Définition Sur

D

f

est majorée s'il existe

M

tel que

\forall x,\ f(x)\le M

; minorée s'il existe

m

tel que

f(x)\ge m

; bornée si les deux :

\exists m,M,\ m\le f(x)\le M

. De façon équivalente,

f

bornée

\iff \exists\alpha\ge0,\ |f(x)|\le\alpha

\mathcal C_f

reste entre

y=-\alpha

y=\alpha

Extremums

f

a un maximum absolu en

x_0

\forall x\in D,\ f(x)\le f(x_0)

(minimum :

\ge

). Un extremum est relatif s'il n'est comparé qu'aux valeurs voisines :

\exists I

ouvert contenant

x_0,\ \forall x\in I\cap D,\ f(x)\le f(x_0)

Un majorant n'est pas toujours un maximum

M

majore

f

sans forcément être une valeur de

f

. Pour

f(x)=\frac{x^2}{x^2+1}

f(x)<1

partout :

1

est un majorant, jamais atteint — ce n'est donc pas un maximum.

1.5 Comparaison & image d'un intervalle

Comparer deux fonctions

f\le g

sur

D

\forall x\in D,\ f(x)\le g(x)

. Le signe de $f-g$ situe les courbes :

$f(x)-g(x)>0$ : $\mathcal C_f$ au-dessus ;
$f(x)-g(x)<0$ : $\mathcal C_f$ au-dessous ;
$f(x)-g(x)=0$ : les courbes se coupent.

Tout se ramène à une étude de signe (factorisation, tableau).

Image d'un intervalle (fonction monotone) Si

f

est continue et monotone sur

[a,b]

f\ \text{croissante}\Rightarrow f([a,b])=[f(a),f(b)],\qquad f\ \text{décroissante}\Rightarrow f([a,b])=[f(b),f(a)].

L'ordre des bornes suit le sens de variation Quand

f

décroît, la borne gauche

a

donne la plus grande valeur

f(a)

: l'intervalle image « se retourne ». Écrire toujours la plus petite valeur en premier.

1.6 Composée de deux fonctions

Définition

(v\circ u)(x)=v\big(u(x)\big),\qquad D_{v\circ u}=\{x\in D_u\mid u(x)\in D_v\}.

On détermine

D_u

, puis on impose

u(x)\in D_v

On applique

u

d'abord Dans

v\circ u

, c'est

u

qui agit en premier (« à l'intérieur »), puis

v

. En général

v\circ u\neq u\circ v

Monotonie d'une composée — règle des signes Sur des intervalles où tout est défini :

u,v

de même sens

\Rightarrow v\circ u

croissante ; de sens contraires

\Rightarrow

décroissante. (

+\times+=+

-\times-=+

+\times-=-

.)
Exemple :

h(x)=\sqrt{-x+3}

u(x)=-x+3

décroît,

v(t)=\sqrt t

croît ⇒

h

décroissante.

Transformations de

\mathcal C_f

Sans nouveau calcul, à partir de

\mathcal C_f

$f(x)+k$ : translation verticale $k\,\vec\jmath$ ;
$f(x-a)$ : translation horizontale $a\,\vec\imath$ ;
$-f(x)$ : symétrie par rapport à $(Ox)$ ;
$f(-x)$ : symétrie par rapport à $(Oy)$ ;
$|f(x)|$ : la partie sous $(Ox)$ est rabattue au-dessus.

1.7 Fonctions usuelles de référence

Ces variations se démontrent avec le taux de variation ; elles servent de modèles pour toute fonction obtenue par translation, multiplication ou composition.

1.7.1 Fonction affine $f(x)=ax+b$

Résultat

\frac{f(y)-f(x)}{y-x}=a

. Donc

f

strictement croissante si

a>0

, décroissante si

a<0

, constante si

a=0

. Courbe : droite

y=ax+b

1.7.2 Trinôme $f(x)=ax^2+bx+c$ ( $a\neq0$ )

Forme canonique

f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta,\qquad \alpha=-\frac{b}{2a},\quad \beta=f(\alpha).

a>0

: décroissante sur

]-\infty,\alpha]

, croissante sur

[\alpha,+\infty[

, minimum

\beta

\alpha

. Si

a<0

: l'inverse, maximum

\beta

. Parabole de sommet

S(\alpha,\beta)

, axe

x=\alpha

1.7.3 Fonction homographique $f(x)=\dfrac{ax+b}{cx+d}$ ( $c\neq0,\ ad-bc\neq0$ )

Résultat

D_f=\mathbb{R}\setminus\Big\{-\tfrac dc\Big\},\qquad f(x)=\frac ac+\frac{bc-ad}{c(cx+d)},\qquad \frac{f(y)-f(x)}{y-x}=\frac{ad-bc}{(cx+d)(cy+d)}.

Hyperbole de centre

I\big(-\frac dc,\frac ac\big)

. Sur chaque intervalle de

D_f

f

croît si

ad-bc>0

, décroît si

ad-bc<0

1.7.4 Racine affine et cube

Résultats

$f(x)=\sqrt{ax+b}$ : si $a>0$ , $D_f=[-\frac ba,+\infty[$ croissante ; si $a<0$ , $D_f=]-\infty,-\frac ba]$ décroissante.
$x\mapsto x^3$ : impaire, strictement croissante sur $\mathbb{R}$ . Donc $x\mapsto ax^3$ croît si $a>0$ , décroît si $a<0$ .

Plan d'étude d'une fonction usuelle Dans l'ordre : domaine → symétries → signe du taux de variation → tableau de variations → extremums → éléments géométriques de la courbe.

2 · Exercices résolus

Parité

Exercice 1

Étudier la parité de $f(x)=\dfrac{x^3-x}{x^2+1}$ sur $\mathbb{R}$ .

Voir la correction

$D_f=\mathbb{R}$ est symétrique. $f(-x)=\dfrac{-x^3+x}{x^2+1}=-\dfrac{x^3-x}{x^2+1}=-f(x)$ . Donc $f$ est impaire : $\mathcal C_f$ est symétrique par rapport à $O$ . ∎

Monotonie

Exercice 2

Montrer que $f(x)=\dfrac1x$ est décroissante sur $]0,+\infty[$ .

Voir la correction

Pour $0<a<b$ : $f(b)-f(a)=\dfrac1b-\dfrac1a=\dfrac{a-b}{ab}$ . Or $a-b<0$ et $ab>0$ , donc $f(b)-f(a)<0$ : $f$ est strictement décroissante. ∎

Fonction bornée

Exercice 3

Soit $f(x)=\dfrac{x}{x^2+1}$ . Montrer que $-\dfrac12\le f(x)\le\dfrac12$ pour tout $x\in\mathbb{R}$ .

Voir la correction

Comme $x^2+1>0$ , on multiplie sans changer de sens, et tout se ramène à un carré parfait.

Majoration : $f(x)\le\frac12\iff 2x\le x^2+1\iff 0\le(x-1)^2$ , toujours vrai.

Minoration : $f(x)\ge-\frac12\iff x^2+2x+1\ge0\iff(x+1)^2\ge0$ , toujours vrai.

Donc $-\frac12\le f(x)\le\frac12$ : $f$ est bornée (bornes atteintes en $x=1$ et $x=-1$ ). ∎

L'essentiel du chapitre

Parité : $D_f$ symétrique puis $f(-x)=\pm f(x)$ — on n'étudie qu'une moitié.
Monotonie sans dérivée : signe de $f(b)-f(a)$ pour $a<b$ .
Bornée = majorée et minorée ; un majorant n'est pas toujours un maximum.
Comparer = signe de $f-g$ (position des courbes).
Composée $v\circ u$ : $u$ d'abord ; monotonie par la règle des signes.
Références : affine, trinôme (canonique), homographique, racine, cube.

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Généralités sur les fonctions

1 · Résumé du cours

1.1 Domaine, égalité, courbe

1.2 Parité et périodicité

1.3 Monotonie (sans dérivée)

1.4 Majorée, minorée, bornée · extremums

1.5 Comparaison & image d'un intervalle

1.6 Composée de deux fonctions

1.7 Fonctions usuelles de référence

1.7.1 Fonction affine f(x)=ax+bf(x)=ax+bf(x)=ax+b

1.7.2 Trinôme f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+cf(x)=ax2+bx+c (a≠0a\neq0a=0)

1.7.3 Fonction homographique f(x)=ax+bcx+df(x)=\dfrac{ax+b}{cx+d}f(x)=cx+dax+b​ (c≠0, ad−bc≠0c\neq0,\ ad-bc\neq0c=0, ad−bc=0)

1.7.4 Racine affine et cube

2 · Exercices résolus

Exercice 1

Exercice 2

Exercice 3

1.7.1 Fonction affine $f(x)=ax+b$

1.7.2 Trinôme $f(x)=ax^2+bx+c$ ( $a\neq0$ )

1.7.3 Fonction homographique $f(x)=\dfrac{ax+b}{cx+d}$ ( $c\neq0,\ ad-bc\neq0$ )