1ʳᵉ Bac · Sciences Maths · Chapitre 2

Ensembles & applications

1 · Résumé du cours

1.1 Ensembles et sous-ensembles

Définition Un ensemble

E

est une collection d'objets, ses éléments. On note

x\in E

(«

x

appartient à

E

») et

x\notin E

sinon. L'ensemble sans aucun élément est l'ensemble vide

\varnothing

Deux modes de description

en extension, en énumérant : $A=\{-2,0,2\}$ ;
en compréhension, par une propriété : $A=\{x\in\mathbb{Z}\mid x^2\le4 \text{ et } x \text{ pair}\}$ .

L'ordre et la répétition des éléments ne changent pas un ensemble.

1.1.1 Inclusion et égalité

Inclusion

A

est inclus dans

E

, noté

A\subset E

, lorsque tout élément de

A

est élément de

E

A\subset E \iff \big(\forall x,\ x\in A \Rightarrow x\in E\big).

A

est alors une partie de

E

. Sa négation :

A\not\subset B \iff \exists x\in A,\ x\notin B

Propriétés Pour tous

A,B,C

\ \varnothing\subset A,\quad A\subset A,\quad (A\subset B \text{ et } B\subset C)\Rightarrow A\subset C.

Égalité par double inclusion

A=B \iff \big(A\subset B \ \text{ et }\ B\subset A\big).

C'est la méthode de référence pour prouver que deux ensembles sont égaux.

Méthode — montrer

A=B

prendre $x\in A$ quelconque et montrer $x\in B$ (donc $A\subset B$ ) ;
prendre $x\in B$ quelconque et montrer $x\in A$ (donc $B\subset A$ ).

1.1.2 Ensemble des parties

Définition L'ensemble de toutes les parties de

E

se note

\mathcal P(E)

. On a toujours

\varnothing\in\mathcal P(E)

E\in\mathcal P(E)

, et

A\subset E \iff A\in\mathcal P(E).

Exemple. Pour $E=\{a,b,c\}$ , $\mathcal P(E)=\{\varnothing,\{a\},\{b\},\{c\},\{a,b\},\{a,c\},\{b,c\},E\}$ , soit $8=2^3$ parties. Si $E$ a $n$ éléments, $\mathcal P(E)$ en a $2^n$ .

Ne pas confondre

\in

\subset

Pour

E=\{a,b,c\}

a\in E

(élément), mais

\{a\}\subset E

\{a\}\in\mathcal P(E)

(partie). Un accolade change tout.

1.2 Opérations sur les ensembles

Définition Soient

A,B

deux parties d'un ensemble

E

A\cap B=\{x\mid x\in A \text{ et } x\in B\},\qquad A\cup B=\{x\mid x\in A \text{ ou } x\in B\},

\overline A=\complement_E A=\{x\in E\mid x\notin A\},\qquad A\setminus B=\{x\mid x\in A \text{ et } x\notin B\}.

A\cap B=\varnothing

A

B

sont disjoints.

Règles de calcul Pour toutes parties

A,B,C

E

A\cap A=A,\quad A\cup A=A,\quad A\cap E=A,\quad A\cup\varnothing=A,\quad A\cap\varnothing=\varnothing,\quad A\cup E=E,

A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C),\qquad A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C)\quad(\text{distributivité}),

\overline{A\cup B}=\overline A\cap\overline B,\qquad \overline{A\cap B}=\overline A\cup\overline B\quad(\textbf{De Morgan}),

A\setminus B=A\cap\overline B,\qquad A\subset B \iff A\cap B=A \iff A\cup B=B.

Méthode — identité ensembliste On traduit l'appartenance en logique, par équivalences :

x\in A\setminus(B\cup C)\iff x\in A \text{ et } x\notin B \text{ et } x\notin C \iff x\in(A\setminus B)\cap(A\setminus C).

D'où

A\setminus(B\cup C)=(A\setminus B)\cap(A\setminus C)

1.2.1 Produit cartésien & partition

Produit cartésien

E\times F=\{(x,y)\mid x\in E \text{ et } y\in F\},\qquad E^2=E\times E.

Deux couples sont égaux ssi

(x,y)=(x',y')\iff x=x' \text{ et } y=y'

: l'ordre compte.

Partition Une famille

(A_i)_{i\in I}

de parties non vides de

E

est une partition de

E

\bigcup_{i\in I}A_i=E

i\neq j\Rightarrow A_i\cap A_j=\varnothing

: chaque élément est dans une et une seule partie.
Exemple : les entiers pairs et impairs forment une partition de

\mathbb{Z}

1.3 Applications

Définition Une application

f

E

vers

F

associe à chaque

x\in E

un unique

f(x)\in F

f:E\longrightarrow F,\qquad x\longmapsto f(x).

E

: ensemble de départ,

F

: d'arrivée ;

f(x)

est l'image de

x

, et tout

x

tel que

f(x)=y

est un antécédent de

y

Égalité de deux applications

f,g:E\to F

sont égales ssi elles ont même départ, même arrivée et

\forall x\in E,\ f(x)=g(x)

1.3.1 Image directe, image réciproque

Définition Pour

f:E\to F

A\subset E

B\subset F

f(A)=\{f(x)\mid x\in A\}\subset F \quad(\text{image directe}),

f^{-1}(B)=\{x\in E\mid f(x)\in B\}\subset E \quad(\text{image réciproque}).

Calcul avec les images

A\subset A'\Rightarrow f(A)\subset f(A'),\qquad f(A\cup A')=f(A)\cup f(A'),\qquad f(A\cap A')\subset f(A)\cap f(A'),

f^{-1}(B\cup B')=f^{-1}(B)\cup f^{-1}(B'),\qquad f^{-1}(B\cap B')=f^{-1}(B)\cap f^{-1}(B').

L'inclusion

f(A\cap A')\subset f(A)\cap f(A')

devient une égalité lorsque

f

est injective.

f^{-1}(B)

existe toujours L'image réciproque d'une partie

B

a un sens même si $f$ n'est pas bijective : c'est l'ensemble des antécédents des éléments de

B

. Ne pas la confondre avec la fonction réciproque

f^{-1}

, qui n'existe que pour une bijection.

1.3.2 Restriction et prolongement

Définition Pour

f:E\to F

A\subset E

, la restriction est

f_{|A}:A\to F,\ x\mapsto f(x)

. Inversement, si

E\subset E'

h:E'\to F

coïncide avec

f

sur

E

, alors

h

est un prolongement de

f

(non unique en général).
Exemple :

f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\ x\mapsto x^2

n'est pas injective, mais

f_{|[0,+\infty[}:[0,+\infty[\to[0,+\infty[

est bijective.

1.4 Injection, surjection, bijection

Définition Soit

f:E\to F

injective : $\forall x,x'\in E,\ f(x)=f(x')\Rightarrow x=x'$ ;
surjective : $\forall y\in F,\ \exists x\in E,\ f(x)=y$ ;
bijective : injective et surjective — tout $y\in F$ a exactement un antécédent.

La lecture qui simplifie tout Pour

y\in F

, comptez les solutions de

f(x)=y

: injective = « au plus une » ; surjective = « au moins une » ; bijective = « exactement une ». C'est la lecture la plus efficace en pratique.

Méthodes

Injectivité : supposer $f(x)=f(x')$ et aboutir à $x=x'$ . Pour la nier : un couple $x\neq x'$ avec $f(x)=f(x')$ .
Surjectivité : fixer $y\in F$ quelconque et résoudre $f(x)=y$ (au moins une solution).

Exemple. $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\ f(x)=2x-3$ : $f(x)=f(x')\Rightarrow x=x'$ (injective) ; $2x-3=y\Rightarrow x=\frac{y+3}2$ (surjective) ; donc bijective.

1.5 Composée et bijection réciproque

Composée Pour

f:E\to F

g:F\to G

(g\circ f)(x)=g\big(f(x)\big)

, avec

g\circ f:E\to G

L'ordre de composition Dans

g\circ f

, on applique d'abord $f$ , puis

g

. En général

g\circ f\neq f\circ g

— et parfois une seule des deux est définie.

Identité

\mathrm{id}_E:E\to E,\ x\mapsto x

. Pour tout

f:E\to F

f\circ\mathrm{id}_E=f

\mathrm{id}_F\circ f=f

Propriété La composée de deux injections est injective ; de deux surjections, surjective ; donc de deux bijections, bijective.

Théorème — bijection réciproque Si

f:E\to F

est bijective, il existe une unique application

f^{-1}:F\to E

telle que

f^{-1}\circ f=\mathrm{id}_E \quad\text{et}\quad f\circ f^{-1}=\mathrm{id}_F,

autrement dit

f(x)=y \iff x=f^{-1}(y)

. De plus

(g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}

(l'ordre s'inverse).

Méthode — déterminer

f^{-1}

Poser

y=f(x)

, résoudre en exprimant

x

en fonction de

y

: la formule obtenue définit

f^{-1}

. Contrôler départ/arrivée et

f^{-1}\circ f=\mathrm{id}_E

f\circ f^{-1}=\mathrm{id}_F

2 · Exercices résolus

De Morgan

Exercice 1

Montrer que pour toutes parties $A,B$ de $E$ : $\overline{A\cup B}=\overline A\cap\overline B$ .

Voir la correction

Pour tout $x\in E$ : $x\in\overline{A\cup B}\iff x\notin A\cup B\iff (x\notin A \text{ et } x\notin B)\iff (x\in\overline A \text{ et } x\in\overline B)\iff x\in\overline A\cap\overline B$ . Les deux ensembles ont les mêmes éléments. ∎

Bijection réciproque

Exercice 2

Soit $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\ f(x)=2x-3$ . Montrer que $f$ est bijective et déterminer $f^{-1}$ .

Voir la correction

Pour $y\in\mathbb{R}$ , l'équation $2x-3=y$ donne $x=\frac{y+3}2$ : exactement une solution par $y$ . Donc $f$ est bijective, et $f^{-1}:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\ f^{-1}(y)=\frac{y+3}2$ . ∎

Injectivité · surjectivité

Exercice 3

Soit $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\ f(x)=x^2$ . Étudier l'injectivité et la surjectivité.

Voir la correction

Pas injective : $f(-1)=f(1)=1$ avec $-1\neq1$ . Pas surjective : $-1$ n'a pas d'antécédent car $x^2\ge0$ . En revanche $f:\mathbb{R}_+\to\mathbb{R}_+,\ x\mapsto x^2$ est bijective. ∎

L'essentiel du chapitre

Égalité d'ensembles : double inclusion ; ne pas confondre $\in$ et $\subset$ .
De Morgan : $\overline{A\cup B}=\overline A\cap\overline B$ , $\overline{A\cap B}=\overline A\cup\overline B$ .
Application : une seule image par $x$ ; $f^{-1}(B)$ existe toujours.
Inj / surj / bij = nombre de solutions de $f(x)=y$ : au plus une / au moins une / exactement une.
Une bijection a une réciproque : $f(x)=y\iff x=f^{-1}(y)$ .

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