QCM — Ensembles et applications

Le corrigé complet de ce QCM, question par question — la bonne réponse est surlignée en vert, suivie d'une remarque. Pratique pour réviser ou vérifier après avoir répondu.

1. Question 1

   L'assertion \(x\in A\cap B\) signifie :

   • A\(x\in A\) ou \(x\in B\)
   • ✓\(x\in A\) et \(x\in B\)
   • C\(x\in A\) et \(x\notin B\)
   • D\(x\notin A\) et \(x\notin B\)

   Remarque

   L'intersection rassemble les éléments communs : \(x\in A\cap B\Leftrightarrow(x\in A\ \text{et}\ x\in B)\).

2. Question 2

   L'inclusion \(A\subset B\) se traduit par :

   • ✓\(\forall x,\ (x\in A\Rightarrow x\in B)\)
   • B\(\forall x,\ (x\in B\Rightarrow x\in A)\)
   • C\(\exists x,\ x\in A\ \text{et}\ x\in B\)
   • D\(A=B\)

   Remarque

   \(A\subset B\) veut dire : tout élément de \(A\) est aussi élément de \(B\), soit \(x\in A\Rightarrow x\in B\).

3. Question 3

   L'ensemble vide \(\varnothing\) :

   • An'est inclus dans aucun ensemble
   • ✓est inclus dans tout ensemble
   • Cest égal à \(\{0\}\)
   • Dcontient l'élément \(\varnothing\)

   Remarque

   \(\varnothing\subset E\) pour tout \(E\) (l'implication \(x\in\varnothing\Rightarrow x\in E\) est vraie car l'hypothèse est toujours fausse). De plus \(\{0\}\neq\varnothing\).

4. Question 4

   Si \(E\) a \(3\) éléments, alors l'ensemble des parties \(\mathcal{P}(E)\) en a :

   • A\(3\)
   • B\(6\)
   • ✓\(8\)
   • D\(9\)

   Remarque

   \(\operatorname{card}\big(\mathcal{P}(E)\big)=2^{\operatorname{card}E}=2^3=8\).

5. Question 5

   D'après les lois de De Morgan, le complémentaire de \(A\cup B\) dans \(E\) est :

   • A\(\overline A\cup\overline B\)
   • ✓\(\overline A\cap\overline B\)
   • C\(A\cap B\)
   • D\(\overline{A}\cap B\)

   Remarque

   \(\overline{A\cup B}=\overline A\cap\overline B\) (et \(\overline{A\cap B}=\overline A\cup\overline B\)).

6. Question 6

   La différence \(A\setminus B\) est égale à :

   • ✓\(A\cap\overline B\)
   • B\(A\cup\overline B\)
   • C\(\overline A\cap B\)
   • D\(A\cap B\)

   Remarque

   \(A\setminus B=\{x\ /\ x\in A\ \text{et}\ x\notin B\}=A\cap\overline B\).

7. Question 7

   Si \(\operatorname{card}A=4\) et \(\operatorname{card}B=3\), alors \(\operatorname{card}(A\times B)\) vaut :

   • A\(7\)
   • ✓\(12\)
   • C\(24\)
   • D\(64\)

   Remarque

   \(\operatorname{card}(A\times B)=\operatorname{card}A\times\operatorname{card}B=4\times 3=12\).

8. Question 8

   Deux couples sont égaux, \((a,b)=(a',b')\), si et seulement si :

   • A\(a=b'\) et \(b=a'\)
   • ✓\(a=a'\) et \(b=b'\)
   • C\(a+b=a'+b'\)
   • D\(\{a,b\}=\{a',b'\}\)

   Remarque

   Dans un couple l'ordre compte : \((a,b)=(a',b')\Leftrightarrow(a=a'\ \text{et}\ b=b')\). C'est ce qui distingue un couple d'une paire \(\{a,b\}\).

9. Question 9

   Une application \(f:E\to F\) associe à chaque élément de \(E\) :

   • Aau moins une image
   • ✓exactement une image
   • Cau plus une image
   • Dun antécédent

   Remarque

   Par définition d'une application, tout élément du départ \(E\) a une unique image dans \(F\).

10. Question 10

    \(f\) est injective si et seulement si :

    • Atout \(y\in F\) a au moins un antécédent
    • ✓\(f(x)=f(x')\Rightarrow x=x'\)
    • Ctout \(y\in F\) a exactement un antécédent
    • D\(f\) est croissante

    Remarque

    Injective = « deux éléments distincts ont des images distinctes » : \(f(x)=f(x')\Rightarrow x=x'\).

11. Question 11

    \(f:E\to F\) est surjective si et seulement si :

    • ✓tout \(y\in F\) admet au moins un antécédent par \(f\)
    • Btout \(y\in F\) admet au plus un antécédent
    • C\(f(x)=f(x')\Rightarrow x=x'\)
    • D\(E=F\)

    Remarque

    Surjective : \(f(E)=F\), c'est-à-dire tout élément d'arrivée est atteint (au moins un antécédent).

12. Question 12

    L'application \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\ x\mapsto x^2\) est :

    • Ainjective
    • Bsurjective
    • ✓ni injective ni surjective
    • Dbijective

    Remarque

    Non injective car \(f(-1)=f(1)=1\) ; non surjective car \(-1\) n'a pas d'antécédent (\(x^2\ge 0\)).

13. Question 13

    L'application \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\ x\mapsto 2x+3\) est bijective, de réciproque :

    • A\(f^{-1}(y)=\dfrac{y+3}{2}\)
    • B\(f^{-1}(y)=2y-3\)
    • ✓\(f^{-1}(y)=\dfrac{y-3}{2}\)
    • D\(f^{-1}(y)=\dfrac{1}{2x+3}\)

    Remarque

    On résout \(y=2x+3\) : \(x=\dfrac{y-3}{2}\). Donc \(f^{-1}(y)=\dfrac{y-3}{2}\).

14. Question 14

    L'application \(f:\mathbb{R}\to[0,+\infty[,\ x\mapsto x^2\) est :

    • Ainjective mais non surjective
    • ✓surjective mais non injective
    • Cbijective
    • Dni l'un ni l'autre

    Remarque

    En restreignant l'arrivée à \([0,+\infty[\), tout \(y\ge 0\) a l'antécédent \(\sqrt y\) : surjective. Mais toujours pas injective (\(\pm x\) ont même carré).

15. Question 15

    La composée \((g\circ f)(x)\) est définie par :

    • A\(g(x)\cdot f(x)\)
    • B\(f\big(g(x)\big)\)
    • ✓\(g\big(f(x)\big)\)
    • D\(g(x)+f(x)\)

    Remarque

    On applique \(f\) d'abord, puis \(g\) : \((g\circ f)(x)=g\big(f(x)\big)\).

16. Question 16

    Si \(f:E\to F\) est bijective, alors \(f\circ f^{-1}\) est égale à :

    • A\(\mathrm{id}_E\)
    • ✓\(\mathrm{id}_F\)
    • C\(f\)
    • Dl'application nulle

    Remarque

    \(f\circ f^{-1}=\mathrm{id}_F\) (sur l'arrivée) et \(f^{-1}\circ f=\mathrm{id}_E\) (sur le départ).

17. Question 17

    Pour \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\ x\mapsto x^2-1\), l'image réciproque \(f^{-1}(\{0\})\) est :

    • A\(\{1\}\)
    • ✓\(\{-1,1\}\)
    • C\(\{0\}\)
    • D\(\varnothing\)

    Remarque

    \(f^{-1}(\{0\})=\{x\ /\ x^2-1=0\}=\{-1,\,1\}\). (Ici \(f\) n'a pas besoin d'être bijective : \(f^{-1}(\{0\})\) désigne l'image réciproque d'une partie.)

18. Question 18

    La composée de deux bijections \(f\) et \(g\) est bijective, et \((g\circ f)^{-1}\) vaut :

    • ✓\(f^{-1}\circ g^{-1}\)
    • B\(g^{-1}\circ f^{-1}\)
    • C\(f^{-1}\circ g\)
    • D\(g\circ f\)

    Remarque

    On « défait dans l'ordre inverse » : \((g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}\).

19. Question 19

    L'application \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\ x\mapsto x^3\) est :

    • Anon injective
    • ✓bijective, de réciproque \(y\mapsto\sqrt[3]{y}\)
    • Csurjective mais non injective
    • Dinjective mais non surjective

    Remarque

    \(x\mapsto x^3\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\) et prend toutes les valeurs réelles : bijective, de réciproque \(y\mapsto\sqrt[3]{y}\).

20. Question 20

    Deux applications \(f\) et \(g\) sont égales si et seulement si :

    • A\(f(x)=g(x)\) pour une valeur de \(x\)
    • ✓elles ont même ensemble de départ, même ensemble d'arrivée, et \(f(x)=g(x)\) pour tout \(x\)
    • Celles ont la même formule
    • Delles ont même ensemble image

    Remarque

    L'égalité de deux applications exige mêmes ensembles de départ et d'arrivée, plus \(f(x)=g(x)\) pour tout \(x\) du domaine.

21. Question 21

    La restriction \(f_{|A}\) de \(f:E\to F\) à une partie \(A\subset E\) est l'application :

    • ✓\(A\to F,\ x\mapsto f(x)\)
    • B\(E\to A,\ x\mapsto f(x)\)
    • C\(F\to A,\ x\mapsto f^{-1}(x)\)
    • D\(A\to A,\ x\mapsto f(x)\)

    Remarque

    On garde la même règle mais on réduit le départ à \(A\) : \(f_{|A}:A\to F,\ x\mapsto f(x)\).

22. Question 22

    Si \(A\subset B\), que peut-on dire de \(A\cup B\) et \(A\cap B\) ?

    • A\(A\cup B=A\) et \(A\cap B=B\)
    • ✓\(A\cup B=B\) et \(A\cap B=A\)
    • C\(A\cup B=A\cap B\)
    • D\(A\cup B=E\)

    Remarque

    Quand \(A\subset B\), la réunion absorbe le plus grand (\(A\cup B=B\)) et l'intersection retient le plus petit (\(A\cap B=A\)).