Aller au contenu principal
MathExcellence
← Toutes les fiches

Les ensembles et les applications fournissent le cadre dans lequel travaille tout le programme de Sciences Mathématiques. Cette fiche condense les opérations sur les ensembles (réunion, intersection, complémentaire, produit cartésien), le vocabulaire des applications et les notions d'injection, de surjection et de bijection. En 1ʳᵉ Bac SM, ces définitions servent à raisonner proprement sur les fonctions et préparent l'algèbre des structures. Le point souvent mal maîtrisé : une application est bijective lorsqu'elle est à la fois injective et surjective — c'est la condition d'existence de la réciproque.

∈
Fiche de révision · 1ʳᵉ Bac Sciences Maths

Ensembles & applications — Opérations, images, bijection

Math Excellence
1 · Ensembles & opérations
Inclusion
A⊂EA\subset E
∀x, x∈A⇒x∈E\forall x,\ x\in A\Rightarrow x\in E
Égalité
A=BA=B
  ⟺  A⊂B\iff A\subset B et B⊂AB\subset A
Intersection · réunion
A∩B, A∪BA\cap B,\ A\cup B
« et » · « ou »
Complément · différence
A‾, A∖B\overline A,\ A\setminus B
A∖B=A∩B‾A\setminus B=A\cap\overline B
Produit cartésien
E×FE\times F
couples (x,y)(x,y), l'ordre compte
Parties de EE
P(E)\mathcal P(E)
A⊂E  ⟺  A∈P(E)A\subset E\iff A\in\mathcal P(E), ∣P(E)∣=2n|\mathcal P(E)|=2^n
2 · Applications : images, inj / surj / bij
Application f:E→Ff:E\to F
  • à chaque xx : une seule image f(x)f(x)
  • f=g  ⟺  f=g\iff mêmes domaines et f(x)=g(x)f(x)=g(x)
Images directe / réciproque
  • f(A)={f(x)∣x∈A}f(A)=\{f(x)\mid x\in A\}
  • f−1(B)={x∣f(x)∈B}f^{-1}(B)=\{x\mid f(x)\in B\}
Piège : f−1(B)f^{-1}(B) existe même si ff n'est pas bijective.
Injective
  • f(x)=f(x′)⇒x=x′f(x)=f(x')\Rightarrow x=x'
  • f(x)=yf(x)=y : au plus une solution
Surjective
  • ∀y∈F, ∃x, f(x)=y\forall y\in F,\ \exists x,\ f(x)=y
  • f(x)=yf(x)=y : au moins une solution
Bijective
  • injective et surjective
  • f(x)=yf(x)=y : exactement une solution
réciproque : f(x)=y  ⟺  x=f−1(y)f(x)=y\iff x=f^{-1}(y)
Composée g∘fg\circ f
  • (g∘f)(x)=g(f(x))(g\circ f)(x)=g(f(x)), ff d'abord
  • bij ∘\circ bij = bij, (g∘f)−1=f−1∘g−1(g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}
3 · Formules & réflexes
A∪B‾=A‾∩B‾\overline{A\cup B}=\overline A\cap\overline B
A∩B‾=A‾∪B‾\overline{A\cap B}=\overline A\cup\overline B
A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)
A⊂B  ⟺  A∩B=A  ⟺  A∪B=BA\subset B\iff A\cap B=A\iff A\cup B=B
∣E∣=n⇒∣P(E)∣=2n|E|=n\Rightarrow|\mathcal P(E)|=2^n
f−1(B∪B′)=f−1(B)∪f−1(B′)f^{-1}(B\cup B')=f^{-1}(B)\cup f^{-1}(B')
f(A∩A′)⊂f(A)∩f(A′)f(A\cap A')\subset f(A)\cap f(A')
∅⊂A⊂A\varnothing\subset A\subset A
∈\in élément ≠\neq ⊂\subset partie
4 · Méthodes types
Montrer A=BA=B
  • x∈A⇒x∈Bx\in A\Rightarrow x\in B (donc A⊂BA\subset B)
  • x∈B⇒x∈Ax\in B\Rightarrow x\in A (donc B⊂AB\subset A)
Double inclusion : la méthode reine.
Identité ensembliste
  • traduire x∈…x\in\dots en logique
  • enchaîner des   ⟺  \iff (et, ou, non)
A∖(B∪C)=(A∖B)∩(A∖C)A\setminus(B\cup C)=(A\setminus B)\cap(A\setminus C)
Prouver l'injectivité
  • supposer f(x)=f(x′)f(x)=f(x'), aboutir à x=x′x=x'
  • nier : un couple x≠x′x\neq x', f(x)=f(x′)f(x)=f(x')
Déterminer f−1f^{-1}
  • poser y=f(x)y=f(x), résoudre en xx
  • vérifier f−1∘f=idf^{-1}\circ f=\mathrm{id}
f(x)=2x−3⇒f−1(y)=y+32f(x)=2x-3\Rightarrow f^{-1}(y)=\frac{y+3}2
★ Astuces géniales
  • Égalité d'ensembles ⇒\Rightarrow toujours double inclusion.
  • Ne pas confondre ∈\in (élément) et ⊂\subset (partie) : a∈Ea\in E mais {a}⊂E\{a\}\subset E.
  • Inj / surj / bij = nombre de solutions de f(x)=yf(x)=y : au plus / au moins / exactement une.
  • La fonction f−1f^{-1} n'existe que si ff est bijective ; l'image réciproque f−1(B)f^{-1}(B), toujours.
Math Excellence · Travail — Méthode — Réussite · mathexce.com
Le cours completRevois le chapitre en détail — définitions, théorèmes et exemples résolusLire le coursQCM interactifTeste-toi sur ce chapitre — 22 questions auto-corrigéesCommencer le QCM